第五章 复数（B卷·知识通关练）-2023-2024学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第二册）

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（时间：120 分钟，满分：150 分）
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）
1．（2023春·广东广州·高一广州市第一中学校考期中）复数z=m+1+m-1i纯虚数，则实数m=（ ）.
A．0B．-1C．1D．2
2．已知i为虚数单位，复数z=1+2i1+i，则复数z在复平面上的对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）i为虚数单位，则1+i1-i2023=（ ）
A．iB．-iC．-1D．1
4．（2023·江苏·高一专题练习）若复数1+2ai2-i (a∈R)的共轭复数的实部和虚部相等，则实数a的值为（ ）
A．1B．-1C．16D．-32
5．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）复数z满足zi=2-i，则下列结论正确的是（ ）
A．z2+2z-5=0B．z=1+2i
C．z在复平面内对应的点位于第四象限D．z=5
6．（2023春·高一课时练习）已知复数z=21-i，求z50+z100+z200=（ ）
A．i-1B．i+1C．i+2D．i
7．（2023春·河北邢台·高一河北南宫中学校考阶段练习）已知i是虚数单位，复数z=a+bi，a∈R，b∈R，且z-i=z+2-i，则z-3+3i的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．（2023·陕西渭南·统考二模）棣莫弗公式csx+isinxn=csnx+isinnx（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，若复数z满足z⋅csπ8+i⋅sinπ86=1+i，则复数z对应的点Z落在复平面内的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．已知a，b∈R，a-1i-b=3-2i，z=1+ia-b，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部是2iB．z=2
C．z=-2iD．z对应的点在第二象限
10．已知复数z=-12+32i，则下列结论正确的有（ ）
A．1z=zB．z3+1=0C．z2=|z|2D．z4+z2+1=0
11．对于复数z1,z2,z3，下列命题都成立（ ）
A．z1+z2≤z1+z2
B．z1z2=z12，则z1=z2
C．z1⋅z2=z1⋅z2
D．若非零复数z1,z2,z3，满足z1z2=z1z3，则z2=z3
12．（江苏省常州市教育学会2022-2023学年高一下学期期中数学试题）已知复数z=21+3i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）
A．复数z的共轭复数的模为1B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．复数z是方程x2+x+1=0的解D．复数ω满足ω-z=1，则ω的最大值为2
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2022秋·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知-i是关于x的方程x2+px-q=0(p,q∈R)的一根，则p-q=_________．
14．设复数z满足z⋅i=-1+i，复数z的共轭复数记为z，则z=______．
15．欧拉公式：eix=csx+isinx（i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立起三角函数和指数函数之间的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，求eix-1的最大值为_____
16．在复平面上的单位圆上有三个点Z1，Z2，Z3，其对应的复数为z1，z2，z3．若z1-z2=3z1+z3=3，则△Z1Z2Z3的面积S＝______．
四、解答题（本题共6小题，共70分。）
17．若复数z1满足z1-2+i1+i=1-i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数．
（1）求z1的模长；
（2）求z2．
18．已知复数z=3+bib∈R，且1+3i⋅z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若ω=z2+i，求复数ω以及模|ω|．
19．已知复数z=14-a+32ia∈R,a>0，且1z+z∈R.
（1）求复数z及z；
（2）若复数z+m2m∈R在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.
20．已知复数z=2+im+2ii-1（其中i是虚数单位，m∈R）.
（1）若复数z是纯虚数，求m的值；
（2）求z-1的取值范围.
21．（2022春·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知复数z1=i-a,z2=1-i，其中a是实数．
(1)若z12=-2i，求实数a的值；
(2)若z1z2是纯虚数，求z1z2+z1z22+z1z23+…+z1z22022
22．（2023春·重庆·高一西南大学附中校考期中）欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ=csθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式ei π+1=0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ=csθ+isinθ，解决以下问题：
(1)将复数eπ3i+eπ i表示成a+b i(a,b∈R，i为虚数单位)的形式；
(2)求eπ2i+eθiθ∈R的最大值.