第四章 三角恒等变换（A卷·知识通关练）-2023-2024学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第二册）

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核心知识1同角三角函数的基本关系
1．已知tanα=-32，则sinα+2csαcsα-sinα=（ ）.
A．15B．-15C．45D．-45
2．（2023春·北京·高一北京二十中校考阶段练习）已知sinαcsα=130<α<π，则sinα+csα=（ ）
A．153B．-153C．53D．-53
3．（2022秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则csπ2-θ=（ ）
A．±55B．55C．255D．±255
4．（2023·全国·高一专题练习）若α∈3π4,π，化简：1-2sinαcsα+1+2sinαcsα=（ ）
A．2sinαB．2csα
C．-2sinαD．-2csα
5．（2023秋·浙江衢州·高一统考期末）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若S1S2=25，则sinα+csα2sinα-csα的值为（ ）
A．52B．195C．72D．165
6．（2023春·北京·高一北师大二附中校考阶段练习）已知tanα=3,α是第三象限角，则cs2α-sinα的值为__________.
7．（2023春·广西钦州·高一浦北中学校考阶段练习）若角A是三角形ABC的一个内角，且sinA⋅csA=23，则sinA+csA=_____.
8．（2023春·四川乐山·高一四川省乐山沫若中学校考阶段练习）已知0<α<π2，若csα-sinα=-55，则2sinacsα-csα+11-tana的值为____________
9．（2023春·山东潍坊·高一校考阶段练习）已知sinαcsα=-16,π4<α<3π4，则sinα-csα的值等于__________.
10．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(4m,-3m)(m<0)是角α终边上的一点，则2sinα+csαsinα-csα=______．
11．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）若x∈0,π2，则4sin2x+1cs2x的最小值为__________.
12．（2023·全国·高一专题练习）已知sinθ=1-a1+a，csθ=3a-11+a，且θ是第二象限角，则实数a的值为______．
13．（2023春·北京·高一校考阶段练习）已知sinα=2csα.
(1)求sin2α+sin2α的值；
(2)求csπ-αcsπ2+αsinα-32πsin3π+αsinπ-αcsπ+α
14．（2023秋·四川成都·高一校考期末）（1）已知sinα=34csα，化简fα=sinπ-αcs23π2-αtan-π-αcsπ2-αtan2π+α并求值.
（2）已知关于x的方程2x2-bx+14=0的两根为sinθ和csθ，θ∈π4,π2. 求实数b以及sinθ-csθ的值.
15．（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）（1）已知sinα-2csα-3sinα-5csα=6，求tanα值；
（2）已知-π16．（2023春·山东潍坊·高一校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点P.过点P作圆O的切线，分别交x轴、y轴于点P1x0,0与P20,y0.
(1)若α=π6，求P的坐标
(2)若△OP1P2的面积为2，求tanα的值；
(3)求x02+9y02的最小值.
核心知识2两角和与差的三角函数公式
题型一、两角和与差的余弦公式及其应用
1．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）cs61∘cs59∘-cs29∘cs31∘的值为（ ）
A．0B．12C．32D．-12
2．（2021春·陕西西安·高一校考期中）cs163°cs223°+cs253°cs313°等于（ ）
A．-12B．-32C．32D．12
3．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）若α∈0,π2，sinα-π3=13，则csα的值为（ ）
A．26+16B．26-16C．22+36D．22-36
4．（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若0<α<π2，0<β<π2，cs(α+β)=35，sinβ-π4=513，则csα+π4=（ ）
A．22B．32C．5665D．3665
5．（2021春·陕西西安·高一校考期中）已知sinα-sinβ-sinγ=0，csα+csβ+csγ=0，则cs(α+β)的值是（ ）
A．1B．-1C．12D．-12
6．（2023秋·广东·高一校联考期末）已知csα+csβ=12，sinα-sinβ=13，则csα+β的值为（ ）
A．-1372B．1372C．-5972D．5972
7．（2021春·陕西西安·高一校考期中）已知sin(α+β)=1010，α+β是第二象限角，tanβ=12，β是第三象限角，则csα的值等于（ ）
A．-22B．22C．7210D．-7210
8．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知sinα=53，α∈π2,π，则csα-π6=___________.
9．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知sinα+sinβ=12，csα+csβ=-14.则csα-β=_____.
10．（2023春·江苏常州·高一校考阶段练习）已知csα+β=13,tanαtanβ=-14，则csα-β=__________.
11．（2022秋·四川阿坝·高二校考开学考试）已知cs(α+β)=-12，cs(α-β)=13，则2csαcsβ+3sinαsinβ=________．
12．（2023春·四川成都·高一成都七中统考阶段练习）在△ABC中，∠C=2π3，则csAcsB的取值范围是________．
13．（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=5,c=6,csA=45．
(1)求a和sinB的值；
(2)求csB+π4的值．
14．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3，sinBsinC=23．
(1)求csBcsC；
(2)若a=3，求△ABC的周长．
题型二、两角和与差的正弦、正切公式及其应用
1．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）四边形ADEH由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠EAD=α，∠FAD=β，则tanβ-α=（ ）
A．1B．43C．17D．76
2．（2023秋·吉林辽源·高一校联考期末）若tanα=-1，tanβ=2，则tan(α-β)= （ ）
A．-1B．0C．2D．3
3．（2023春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知α∈0,π2，且sinα=35，则tanα+π4=（ ）
A．-17B．7C．-17或-7D．17或7
4．（2023春·云南·高一校联考阶段练习）若tanα+π4=-3，则sinα+2csαsinα-csα=（ ）
A．4B．-4C．1D．-1
5．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知csθ-π4=223，θ∈π2,π则sinθ为（ ）
A．-4+26B．4+26
C．-4-26D．4-26
6．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习） α+β=-π4α,β≠kπ+π2,k∈Z ，则1-tanα1-tanβ=（ ）
A．-1B．0C．1D．2
7．（2023春·河南郑州·高一郑州市第二高级中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，已知sinC=4csAcsB，则tanAtanB的最大值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．[多选]（2023春·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习）下列正确的是（ ）
A．sin158°cs48°+cs22°sin48°=1B．sin20°cs110°+cs160°sin70°=1
C．1+tan15°1-tan15°=3D．sin14∘cs74∘-cs14∘sin74∘=-32
9．[多选]（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）
A．每一个直角三角形的面积为54B．3sinβ-3csα=2
C．3sinβ-3sinα=2D．csα-β=518
10．[多选]（2023秋·浙江·高一期末）如图，已知A(csα,sinα),B(csβ,sinβ)两点在单位圆O上，且都在第一象限，点MxM,yM是线段AB的中点，点CxC,yC是射线OM与单位圆O的交点，则（ ）
A．xM=csα+β2csα-β2B．yM=12(sinα+sinβ)
C．yC=csα+β2D．sinα+β2>12(sinα+sinβ)
11．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）（1）锐角三角形ABC中，sinA=35．csB=513，求csC的值．
（2）已知sinα+β=12，sinα-β=13，其中α，β∈0,π2.求证：tanα=5tanβ．
12．（2023春·四川成都·高一校考阶段练习）已知α，β均为锐角，且csα+π4=55，sinβ=210．
(1)分别求出csα和sinα值；
(2)求tanα+β的值．
13．（2023春·安徽滁州·高一校考开学考试）已知tanα-β=12,tanβ=-17，且α∈0,π4,β∈π2,π．
(1)求tanα的值；
(2)求2α-β的值．
14．（2021春·陕西西安·高一校考期中）已知函数f(x)=sin2x-π3-2csxcsπ2-x．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间-π12,π2上的值域；
(3)求函数f(x)的单调减区间．
题型三、三角函数的叠加及综合应用
1．（2023·四川成都·统考二模）函数fx=csx+3π2+csx的最小正周期为（ ）
A．π2B．πC．2πD．4π
2．（2023·全国·高一专题练习）将函数y=sin2x+cs2x的图象向右平移π4个单位长度，所得图象的函数解析式可以是（ ）
A．y=2cs2xB．y=2sin2x-π4
C．y=2cs2x-π4D．y=2sin2x+3π4
3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=asinx-bcsx的最大值在x=π4处取到，则fx+π4是（ ）．
A．奇函数，且关于点π,0成中心对称
B．偶函数，且关于点π,0成中心对称
C．奇函数，且关于点3π2,0成中心对称
D．偶函数，且关于点3π2,0成中心对称
4．（2023春·天津东丽·高一天津市第一百中学校考阶段练习）已知函数fx=sinωx+π3+sinωxω>0，fx1=0，fx2=3，且x1-x2=π，则ω的最小值为（ ）
A．12B．23C．1D．2
5．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知当x=θ时，函数fx=2sinx-csx取得最小值，则sinθ+csθsinθ-csθ=（ ）
A．-13B．13C．15D．-15
6．（2023·山东聊城·统考一模）将函数fx=sinx-csx的图象向左平移7π12个单位长度，得到函数y=gx的图象，关于函数y=gx的下列说法中错误的是（ ）
A．周期是2πB．非奇非偶函数
C．图象关于点5π3,0中心对称D．在0,π2内单调递增
7．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）如果函数fx=sinωx+3csωx(ω>0)的两个相邻零点间的距离为2，那么f1+f2+f3+⋯+f9的值为（ ）．
A．1B．-1C．3D．-3
8．（2023·贵州·校联考二模）fx=3cs2x-sin2x，下列说法正确的是（）
①fx-π12为偶函数；
②fx的最小正周期为2π；
③fx在区间0,π2上先减后增；
④fx的图象关于x=π6对称．
A．①③B．①④C．③④D．②④
9．（2020秋·河北·高三统考学业考试）关于函数fx=2-sin2x+2sinx-csx有以下四个结论：
①fx是周期函数．
②fx的最小值是0．
③fx的最大值是4．
④fx的零点是x=kπ+[1-(-1)k]π4,k∈Z．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．[多选]（2023春·福建南平·高一校考阶段练习）已知函数fx=12sin2x+32cs2x，则（ ）
A．函数fx的最小正周期为πB．函数fx的一个对称中心为π6,0
C．函数fx在区间π6,π2上单调递减D．将函数fx的图象向右平移π3个单位后的图象关于y轴对称
11．[多选]（2023春·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知函数f(x)=sinωx-3csωx，ω>0，则下列结论中正确的是（ ）
A．若ω=2，则将f(x)图象向左平移π6个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若fx1-fx2=4，且x1-x2的最小值为π2，则ω=2
C．若f(x)在0,π3上单调递增，则ω的取值范围为(0,3]
D．当ω=3时，f(x)在[0,π]有且只有3个零点
12．[多选]（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=1+sin2ωx-3cs2ωx（ω>0）的图象的两条对称轴之间的最短距离为π2，则（ ）
A．ω=1B．f5π12=2
C．f-x=fx-π6D．f-x+fx+π3=2
13．[多选]（2023春·安徽·高一校联考阶段练习）已知函数fx=sinωx+3csωxω>0，若fx≤fπ6，则（ ）
A．tanπω6=33B．fx+2π=fx
C．ω≥1D．fx在0,π6上无最值
14．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）已知函数fx=3sinωx-csωxω>0在区间-π3,3π4上单调递增，且在区间0,π上只取得一次最大值，则ω的最大值是_______
15．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知函数 fx=sinωx+3csωx(ω>0)，则下列说法正确的是______ .(填写所有 正确说法的序号)
①当 ω=2时，函数y=fx与函数y=2lgπx的图象有且只有一个交点.
② 当 ω=2时，且函数y=fx+φ为奇函数，则正数φ的最小值为π3.
③若函数 y=fx在π3，π2上单调递增，则ω的最大值为13.
④若函数 y=fx在0，π上恰有3个极值点，则ω的取值范围是136，196.
16．（2023春·北京·高一校考阶段练习）已知函数fx=2sinxcsx-sinx+1
(1)求函数fx的单调递减区间；
(2)若x∈0,π3，求函数fx的值域.
17．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）已知fx=sinx⋅sinx+π3
(1)将fx表示成fx=Asinωx+φ+b的形式．
(2)求fx在x∈0,π2上的最大值．
(3)求fx对称中心．
18．（2023·山东济南·一模）已知函数f(x)=23sinxcsx+sin2x-cs2x．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)=2,b=3,c=2，求A的内角平分线AD的长．
核心知识3二倍角的三角函数公式
1．[多选]（2023春·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．2tan22.5°1-tan222.5°=1B．1-2sin275∘=32
C．cs4π8-sin4π8=22D．12-cs2π8=-24
2．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）已知cs(α+π6)=-210，则sin(2α-π6)=（ ）
A．-4950B．4950C．-2425D．2425
3．（四川省自贡市2023届高三下学期第二次诊断性考试数学（文）试题）已知α∈0,π2，cs2α+2sin2α=1，则tanα=（ ）
A．3B．2C．12D．13
4．（四川省乐山市2023届高三下学期第二次调查研究考试数学（理）试题）已知α∈0,π2，cs2α+2sin2α=1，则sinα=（ ）
A．15B．55C．45D．255
5．（2023·山西·校联考模拟预测）已知tanα=-7，则cs2α1+sin2α=（ ）
A．-43B．-34C．34D．43
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）下列区间中，函数fx=2cs2x2-3sinx-2单调递减的区间是（ ）
A．-π,-π3B．-π,π3
C．-π3,π2D．π2,π
7．（四川省自贡市2023届高三下学期第二次诊断性考试数学（文）试题）已知α∈0,π2，cs2α+2sin2α=1，则tanα=（ ）
A．3B．2C．12D．13
8．（四川省乐山市2023届高三下学期第二次调查研究考试数学（理）试题）已知α∈0,π2，cs2α+2sin2α=1，则sinα=（ ）
A．15B．55C．45D．255
9．（2023·山西·校联考模拟预测）已知tanα=-7，则cs2α1+sin2α=（ ）
A．-43B．-34C．34D．43
10．[多选]（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知函数fx=3cs2x-sin2x+4sinxcsx-1，则下列说法正确的是（ ）
A．fx的最小正周期是πB．fx最小值是-22
C．直线x=3π8是图像的一条对称轴D．fx在x=9π8处取得最大值
11．[多选]（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y=Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数fx=3sinxcsx-cs2x+12，则下列选项中结论正确的是（ ）
A．x=π12是函数fx的一条对称轴
B．函数fx+π3为偶函数
C．函数fx在π3,π2为增函数
D．函数fx在区间0,10π上有20个零点
12．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数f(x)=32sinxcsx+sin2(x-π6),x∈R，则f(x)的最小正周期为____．
13．（2023·江西·校联考模拟预测）若cs2α+3sin2α=1，则csα的值可能为___________.
14．（2023秋·浙江·高一期末）已知函数f(x)=2sinxcsx+π6．
(1)求f5π12的值；
(2)把函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍（纵坐标保持不变），得到函数g(x)的图象．设g(x)的最小正周期为T，π15．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知函数f(x)=23sinxcsx+acs2x-1 (x∈R)，且f(0)=1．
(1)求a的值和函数f(x)在区间[0,π6]上的最大值及取得最大值时x的值．
(2)若f(x0)=1，x0∈[π4,π2]，求cs2x0的值．
16．（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2a，5csinB=6asinC．
(1)求csB的值；
(2)求sin2B+π6值；
(3)若A=2B求tanC．
核心知识4三角恒等变换综合
1．（2023·全国·高一专题练习）下列关系式中正确的是（ ）
A．sin5θ+sin3θ=2sin8θcs2θ
B．cs3θ-cs5θ=-2sin4θsinθ
C．sin3θ-sin5θ=-12cs4θcsθ
D．12csx-y-csx+y=sinxsiny
2．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）已知a=sinα,1-4cs2α，b=1,3sinα-2，α∈0,π2，若a∥b，则sin2α2+cs2α=（ ）
A．211B．411C．611D．811
3．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知x,y∈-π6,π6，若27x3+sin3x-2a=0且4y3+sinycsy+a=0，则cs3x+2y=（ ）
A．-12B．0C．12D．1
4．（2023·宁夏银川·银川二中校考模拟预测）已知函数fx=sinωxcsωx-3sin2ωxω>0的最小正周期为π，则下列说法不正确的是（ ）
A．ω=1
B．fx的单调递增区间为-5π12+2kπ,π12+2kπ，（k∈Z）
C．将fx的图象向左平移π12个单位长度后所得图象关于y轴对称
D．fπ3+x+fπ3-x=-3
5．（2023·天津·统考一模）已知函数fx=asinx+csxcsx-12a∈R的图象的一个对称中心为5π12,0，则关于fx有下列结论：
①fx的最小正周期为π；
②x=-π3是fx图象的一条对称轴；
③fx在区间π6,2π3上单调递减；
④先将函数y=2sin2x图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12，然后把所得函数图象向左平移π12个单位长度，得到fx的图象.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．[多选]（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=sin3x+3cs3x，则下列结论正确的是（ ）
A．fx的图象可由函数y=2sin3x的图象向左平移π9个单位长度得到
B．fx的图象可由函数y=2cs3x的图象向右平移π6个单位长度得到
C．fx的图象关于直线x=π18对称
D．fx和图象关于点π9,0中心对称
7．[多选]（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列关系式恒成立的是（ ）
A．c=a⋅csB+b⋅csAB．2sin2A+B2=1+csC
C．a2-b2=c⋅a⋅csB-b⋅csAD．tanC=tanA+tanB1-tanAtanB
8．[多选]（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数fx=1+sinx+1-sinx，则（ ）
A．π为fx的一个周期B．fx的图像关于直线x=π2对称
C．fx在0,π2上单调递增D．fx的值域为2,2
9．[多选]（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知f(x)=1-2cs2ωx+π3(ω>0)，给出下列说法，其中正确的有（ ）
A．若fx1=1，fx2=-1，且|x1-x2|min=π，则ω=2；
B．存在ω∈0,2，使得fx的图象右移π6个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
C．若fx在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4124,4724
D．若fx在-π6,π4上单调递增，则ω的取值范围为0,23
10．（2023春·江苏淮安·高一校考阶段练习）设m为实数，已知sinα-3csα=m，则m的取值范围为_____________
11．（2023·浙江温州·统考二模）平面内有四条平行线，相邻两条间距为1，每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是__________．
12．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）（1）已知α，β均为锐角，sinα=55，csβ=1010，求α－β的值；
（2）已知函数f(x)=sin4x2+2sinx2csx2-cs4x2，若f(α)=15，α∈0,π2，求cs2α．
13．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）已知向量a=(csx,sinx)，b=(3csx,2csx-3sinx)，设函数f(x)=a⋅b.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若函数g(x)=fx-π6+afx2-π6-afx2+π12在区间[0,π]上的最大值为6，求实数a的值.
14．（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数f(x)=3sin(π4+x)sin(π4-x)+sinxcsx．
(1)求函数fx的最小正周期；
(2)在△ABC中，若f(A2-π12)=1，求sinB+sinC的最大值．
15．（2023春·山东济宁·高一校考阶段练习）已知fx=23sinxcsx-2sin2x．
(1)求函数y=fx在x∈-π6,π3上的严格增区间；
(2)将函数y=fx的图像向左平移mm>0个单位，再向上平移1个单位，待到函数y=gx的图像，若函数y=gx的图像关于点Pπ3,n对称，求m+n的最小值．
16．（2023春·天津东丽·高一天津市第一百中学校考阶段练习）已知函数fx=3sin2x+sinxcsx-32.
(1)求fx的最小正周期；
(2)求fx的单调递减区间；
(3)设△ABC的三个角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若fA2+π4=1，且a=2，求b+c的取值范围.
17．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）如图，某公园要在一个矩形景点ABCD的区域，水平铺设观光通道直角△FHE，其中H是直角，EF越长，观光效果越好．设计要求H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=103米，设∠BHE=θ．
(1)试将EF表示为关于θ的函数，并写出定义域.
(2)问当θ取何值时，EF最长？并求出此时EF的长度.