高一数学期末模拟检测卷1-2023-2024学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第二册）

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[范围：三角函数；平面向量；三角恒等变换；复数；立体几何初步]
（时间：120 分钟，满分：150 分）
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）
1．已知复数z=2-i1+i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限.
A．四B．三C．二D．一
2．已知向量a=(2，1)，b=(1，m)，且a⊥(a-b)，则|b|的值为（ ）
A．22B．23C．5D．10
3．如图，△AOB是一个水平放置的平面图形的直观图，则其平面图形的面积为（ ）
A．3B．6C．32D．322
4．sinπ12-csπ12的值等于（ ）
A．-22B．22C．-62D．62
5．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，2BB1=3AB，D是棱BC的中点，E在棱CC1上，且CC1=3CE，则异面直线A1D与B1E所成角的余弦值是（ ）
A．66B．64C．63D．32
6．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为153-1m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）sin15°=6-24
A．20mB．30mC．203mD．303m
7．如图，半圆的直径AB=8，O为圆心，C为半圆上不同于A,B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则PA+PB⋅PC的最小值等于（ ）
A．-16B．-8C．-4D．-2
8．如图所示的曲线为函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象，将y=fx图象上的所有点的横坐标伸长到原来的32倍，再将所得曲线向左平移π8个单位长度，得到函数y=gx的图象，则（ ）
A．直线x=π2为gx图象的一条对称轴B．点3π8,0为gx图象的一个对称中心
C．函数gx的最小正周期为2πD．函数gx在5π24,13π24上单调递减
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l//α，l//β，则α//βB．若l//α，l⊥β，则α⊥β
C．若α//β，l//α，则l//βD．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
10．下列说法中正确的是（ ）
A．非零向量a和b满足a=b=a-b，则a与a+b的夹角为60°
B．向量e1=2,-3，e2=12,-34不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若a//b，则a在b方向上的投影向量的模为a
D．若a=1,2，b=1,1，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是-53,+∞
11．已知函数f(x)=4csx⋅sin(x-π3)+3+1的图象为C，则下列结论正确的是（ ）
A．图象C关于直线x=π6对称
B．函数f(x)在(-π12,5π12)单调递减
C．f(x+5π12)为偶函数
D．若方程f(x)-m=0在区间[π12,π2]有两个实根，则m∈[3+1,3)
12．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把这段文字写成公式，即S=14c2a2-c2+a2-b222.现有△ABC满足sinA:sinB:sinC=2:3:4.且△ABC的面积为315，请运用上述公式判断下列命题中正确的是（ ）
A．△ABC的周长为4
B．△ABC的内切圆的面积为53π
C．△ABC的外接圆半径为924
D．AB⋅BC=-22
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知复数z1=1+2i，z2=3-4i，复数z满足1z=1z1+1z2，则z=__________．
14．已知平面向量a,b，满足a⊥b,|a|=3,|b|=2，则|a+2b|=________．
15．四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若22≤SC≤4，则四棱锥S-ABCD的体积取值范围为_____．
16．在△ABC中，D是边BC上的点，AD平分∠BAC，且△ABD面积是△ADC面积的2倍，AD=2，DC=2，则边AC=__________．
四、解答题（本题共6小题，共70分。）
17．（1）已知复数z=m2-8m+15+m2-4m+3i，m∈R.若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）已知复数z=2+4mi1+i（m∈R，i是虚数单位））.设z是z的共轭复数，复数z在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围.
18．已知a=1,2sinθ，b=sinθ+π3,1，θ∈ R.
(1)若a⊥b，求tanθ的值；
(2)若a//b，且θ∈0,π2，求θ的值
19．在①2acsC=2b-c，②3sin(B+C)=2sin2A2+1，③(2b-c)csA=acsC这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______________．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积为2534，且a=5，求△ABC的周长．
20．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且AE=12EB,M是线段CE上一动点.
(1)若M是线段CE的中点，AM=mAB+nAD，求m+n的值；
(2)若AD=2,CA⋅CE=10，求(2MA+MB)⋅MC的最小值.
21．已知函数fx=2sinxcsx+23sin2x-3．
(1)求函数fx的单调递增区间；
(2)求函数fx在区间π12,7π12上的最大值和最小值以及相应x的取值；
(3)若θ为锐角，fθ2+π24=65，求csθ的值．
22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22a，设E，F分别为PC，BD的中点．
(1)求证：EF//平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PDC；
(3)求直线EF与平面ABCD所成角的大小．