数学选择性必修 第二册第1章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用复习练习题

这是一份数学选择性必修 第二册第1章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用复习练习题，共4页。
A．f′(x)＝0，g′(x)＝－2sinx
B．f′(x)＝2t，g′(x)＝－2sinx
C．f′(x)＝0，g′(x)＝2sinx
D．f′(x)＝2t，g′(x)＝2sinx
2．已知f(x)＝x3－2xf′(1)，则f′(2)等于( )
A．11B．10
C．8D．1
3．曲线y＝eq \f(9,x)在点(3，3)处的切线的倾斜角为________.
4．分别求出曲线y＝eq \r(x)在(1，1)处与(2，eq \r(2))处的切线方程．
5.已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为( )
A．eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,e)D．－eq \f(1,e)
6．(多选)直线y＝eq \f(1,2)x＋b能作为下列函数图象的切线的是( )
A．f(x)＝eq \f(1,x)B．f(x)＝x3
C．f(x)＝x2D．f(x)＝－x2
7．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切于点P，则a＝________，P的坐标为________．
8．求与曲线y＝f(x)＝eq \r(3,x2)在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程．
9．设函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－ax(a>0)，g(x)＝bx2＋2b－1.若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，求实数a，b的值，并写出切线l的方程．
10.设f1(x)＝sinx，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2022(x)＝( )
A．sinxB．－sinx
C．csxD．－csx
11．已知两条曲线y＝sinx，y＝csx．是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
课时作业(四) 几个基本函数的导数
1．解析：因为f(x)＝t2，g(x)＝2csx，则f′(x)＝0，g′(x)＝－2sinx.
答案：A
2．解析：由题意，函数f(x)＝x3－2xf′(1)，可得f′(x)＝3x2－2f′(1)，
令x＝1，可得f′(1)＝3－2f′(1)，解得f′(1)＝1，所以f′(x)＝3x2－2，
所以f′(2)＝3×22－2＝10.
答案：B
3．解析：∵y′＝－eq \f(9,x2)，∴y′|x＝3＝－1，
∴曲线在点(3，3)处的切线斜率为－1，
即tanα＝－1，其中α为倾斜角，因为α∈[0，π)，所以α＝eq \f(3π,4).
答案：eq \f(3π,4)
4．解析：f′(x)＝(eq \r(x))′＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2\r(x))，f′(1)＝eq \f(1,2)，
所以曲线y＝eq \r(x)在(1，1)处的切线方程为y－1＝eq \f(1,2)(x－1)，
化简为x－2y＋1＝0；
同理f′(2)＝eq \f(\r(2),4)，
所以曲线y＝eq \r(x)在(2，eq \r(2))的切线方程为y－eq \r(2)＝eq \f(\r(2),4)(x－2)，
化简为x－2eq \r(2)y＋2＝0.
5．解析：设切点为(x0，lnx0)，对函数y＝lnx求导，则y′＝eq \f(1,x)，所以切线斜率为k＝eq \f(1,x0)，又因为直线y＝kx是y＝lnx的切线，所以lnx0＝eq \f(1,x0)·x0＝1⇒x0＝e，所以k＝eq \f(1,e).
答案：C
6．解析：若f(x)＝eq \f(1,x)，则f′(x)＝－eq \f(1,x2)，令－eq \f(1,x2)＝eq \f(1,2)，无解，故排除A；若f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，令3x2＝eq \f(1,2)，得x＝±eq \f(\r(6),6)，即曲线在点(eq \f(\r(6),6)，eq \f(\r(6),36))与点(－eq \f(\r(6),6)，－eq \f(\r(6),36))处的切线斜率为eq \f(1,2)，B正确；若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令2x＝eq \f(1,2)，得x＝eq \f(1,4)，故曲线在点(eq \f(1,4)，eq \f(1,16))处的切线斜率为eq \f(1,2)，C正确；若f(x)＝－x2，则f′(x)＝－2x，令－2x＝eq \f(1,2)，得x＝－eq \f(1,4)，故曲线在点(－eq \f(1,4)，－eq \f(1,16))处的切线斜率为eq \f(1,2)，D正确．
答案：BCD
7．解析：曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.
设其与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切于点(x0，ax eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －a)，
则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －a＝x0＋1.
解得x0＝－1，a＝－eq \f(1,2)，切点坐标为(－1，0).
答案：－eq \f(1,2) (－1，0)
8．解析：因为y＝eq \r(3,x2)，所以y′＝(eq \r(3,x2))′＝(xeq \f(2,3))′＝eq \f(2,3)x－eq \f(1,3)，
所以f′(8)＝eq \f(2,3)×8－eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为eq \f(1,3).
所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.
9．解析：∵f(x)＝eq \f(1,3)x3－ax(a>0)，g(x)＝bx2＋2b－1，
∴f′(x)＝x2－a，g′(x)＝2bx.
∵曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，
∴f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，
即eq \f(1,3)－a＝b＋2b－1，且1－a＝2b，
解得a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(1,3)，
得切点坐标为(1，0).
∴切线方程为y＝eq \f(2,3)(x－1)，即2x－3y－2＝0.
10．解析：∵f1(x)＝sinx，∴f′1(x)＝(sinx)′＝csx，
f2(x)＝f′1(x)＝csx，
f3(x)＝f′2(x)＝(csx)′＝－sinx，
f4(x)＝f′3(x)＝(－sinx)′＝－csx，
f5(x)＝f′4(x)＝(－csx)′＝sinx，
由此可知f2022(x)＝f2(x)＝csx.
答案：C
11．解析：不存在，理由如下：设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0).
由于y＝sinx，y＝csx，
∴两条曲线在点P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝csx0，k2＝－sinx0.
若使两条切线互相垂直，则csx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·csx0＝1.
也就是sin2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
练基础
提能力
培优生