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湘教版(2019)选择性必修 第二册1.3 导数在研究函数中的应用导学案
展开教 材 要 点
要点一 函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a,b)内的函数y=f(x):
批注❶ f′(x)>0,即函数f(x)图象的切线斜率为正,则切线的倾斜角为锐角,曲线呈上升趋势.
批注❷ f′(x)<0,即函数f(x)图象的切线斜率为负,则切线的倾斜角为钝角,曲线呈下降趋势.
要点二 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0,则函数f(x)在定义域上单调递减.( )
(2)函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f′(x)>0.( )
(3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上的导数的绝对值越大.( )
2.函数y=f(x)的图象如图所示,则( )
A.f′(3)>0
B.f′(3)<0
C.f′(3)=0
D.f′(3)的符号不确定
3.函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上是( )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.不确定
4.函数f(x)=的单调递减区间为________.
题型探究·课堂解透——强化创新性
单调性与导数的关系
例1 设函数f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数f′(x)的图象可能是( )
方法归纳
研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
巩固训练1 偶函数f′(x)为f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能为( )
利用导数求函数的单调区间
例2 求函数f(x)=x2-ln x的单调区间.
方法归纳
求函数单调区间的步骤
巩固训练2 函数f(x)=(x2+2x)ex(x∈R)的单调递减区间为________________.
已知函数的单调性求参数的范围
例3 (1)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是________;
(2)若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.
方法归纳
利用导数求参数取值范围的两个策略
巩固训练3 已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.
1.3.1 函数的单调性与导数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
增 减
要点二
快 陡峭 慢 平缓
[基础自测]
1.(1)× (2)× (3)√
2.解析:由图象可知,函数f(x)在(1,5)上单调递减,则在(1,5)上有f′(x)<0,所以f′(3)<0.
答案:B
3.解析:∵f(x)=2x-sin x,∴f′(x)=2-cs x>0在(-∞,+∞)上恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
答案:A
4.解析:易知f′(x)=-,由f′(x)<0得x<0或x>0,所以单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).
答案:(-∞,0),(0,+∞)
题型探究·课堂解透
例1 解析:由函数f(x)的图象,知当x<0时,f(x)是单调递减的,所以f′(x)<0;当x>0时,f(x)先减,后增,最后减,所以f′(x)先负后正,最后为负.
答案:B
巩固训练1 解析:由题意可知,f′(x)为偶函数,设f′(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为-x1,x1,(x1>0),由图象可得,当x<-x1时,f′(x)>0,则f(x)单调递增,当
答案:B
例2 解析:函数f(x)=x2-ln x的定义域为(0,+∞),
又f′(x)=.
令f′(x)=0,解得x=1或x=-1(舍).
f′(x),f(x)随x的变化如表所示.
故函数f(x)=x2-ln x的单调递增区间为(1,+∞);单调递减区间为(0,1).
巩固训练2 解析:由f′(x)=(x2+4x+2)ex<0,
即x2+4x+2<0,
解得-2-
答案:(-2-,-2+)
例3 解析:(1)由于f′(x)=k-,则f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增等价于f′(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立.
由于k≥,而0<<1,所以k≥1.
即k的取值范围为[1,+∞).
(2)对函数f(x)求导得f′(x)=x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)].
令f′(x)=0得x=1或x=a-1.
因为函数在区间(1,4)内为减函数,
所以当x∈(1,4)时,f′(x)≤0.
又函数在区间(6,+∞)上为增函数,
所以当x∈(6,+∞)时,f′(x)≥0,
所以4≤a-1≤6,
所以5≤a≤7.
即实数a的取值范围为[5,7].
答案:(1)[1,+∞) (2)见解析
巩固训练3 解析:由已知得f′(x)=3x2-a,
因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立,
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f′(x)=3x2≥0,
即f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0.
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0❶
单调递____
f′(x)<0❷
单调递____
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
____
比较“________”(向上或向下)
越小
____
比较“________”(向上或向下)
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
f(1)
单调递增
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数学第1章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用学案: 这是一份数学第1章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用学案,共6页。
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