湘教版（2019）1.3 导数在研究函数中的应用学案

这是一份湘教版（2019）1.3 导数在研究函数中的应用学案，共6页。

教 材 要 点
要点 利用导数解决优化问题
(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题❶.
批注❶ 利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
(2)用导数解决优化问题的基本思路是：

基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用导数研究实际问题要先求定义域．( )
(2)将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为3和5.( )
(3)做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为4 m．( )
2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B．C．－1 D．－8
3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
4．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为________ m时，容器的容积最大．
题型探究·课堂解透——强化创新性
利润最大问题
例1 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系y＝＋10(x－6)2式，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
方法归纳
利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．
解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
巩固训练1 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p元，销售量为Q件，且Q与p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
用料、费用最少问题
例2 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
方法归纳
用料、费用最少问题是日常生活中常见的问题之一．解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，然后正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
巩固训练2 一艘船从A地到B地，其燃料费w与船速v的关系为w(v)＝(18≤v≤30)，要使燃料费最低，则v＝( )
A．18 B．20
C．25 D．30
几何中的最值问题
例3 将一块2 m×6 m的矩形钢板按如图所示的方式划线，要求①至⑦全为矩形，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)当x取何值时，水箱的容积最大？
方法归纳
解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式，能够依据题意确定出自变量的取值范围，建立准确的函数关系式，然后利用导数的方法加以解决．
巩固训练3 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
1．3.4 导数的应用举例
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
导数 函数
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)√
2．解析：由题意，f ′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∵0≤x≤5，
∴x＝1时，f ′(x)的最小值为－1，
即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.
答案：C
3．解析：由题意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0.
故当x＝9时，y取得极大值，也是最大值．
答案：C
4．解析：由题意列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x m，则体积V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．
答案：1
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)因为当x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，
令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
巩固训练1 解析：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0.所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值．
答案：D
例2 解析：(1)隔热层厚度x cm，依题意，每年能源消耗费用为C(x)＝，由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝，而建造费用为C1(x)＝8x，
则隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和为15C(x)＋C1(x)＝15·＋8x＝＋8x，
所以f(x)＝＋8x(0≤x≤10)．
(2)由(1)知，f′(x)＝8－，
令f′(x)＝0，即＝8，而0≤x≤10，解得x＝，
当00，即f(x)在(0，)上递减，在(，10)上递增，
则当x＝时，f(x)取最小值f＝＋8×＝.
所以当隔热层修建 cm厚时，总费用达到最小值为万元．
巩固训练2 解析：w′(v)＝＝，
当180，
所以w(v)在[18，30]上单调递增，
所以当v＝18时，w(v)取得最小值．
答案：A
例3 解析：(1)由水箱的高为x m，得水箱底面的宽为(2－2x)m，长为＝(3－x)m.
故水箱的容积y＝(2－2x)(3－x)x＝2x3－8x2＋6x(0(2)由(1)得y′＝6x2－16x＋6，
令y′＝0，解得x＝(舍去)或x＝，
所以y＝2x3－8x2＋6x(0所以当x＝时，水箱的容积最大．
巩固训练3 解析：设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，
高为：h＝＝4.5－3x(m)(0故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3(0从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，
令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，∴x＝1.
当0＜x＜1时，V′(x)＞0；当1＜x＜时，V′(x)＜0，
故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．
最大体积V(x)＝9×12－6×13(m3)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘