高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制优秀课时作业

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一、任意角的定义
1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
2、角的表示：
（1）始边：射线的起始位置．
（2）终边：射线的终止位置．
（3）顶点：射线的端点O．
（4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”．
3、角的分类：
（1）正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
（3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角
二、象限角与其集合表示
1、终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和.
2、象限角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。
3、象限角的集合表示
三、轴线角及其集合表示
1、轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。
2、轴线角的集合表示
四、弧度制
1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
3、弧度制与角度制的区别与联系
五、角度制与弧度制之间的互化
1、角度制与弧度制的换算
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表
六、弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：
题型一 对任意角的概念理解与应用
【例1】平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角
B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．第二象限角必大于第一象限角
D．钝角的终边在第二象限
【答案】D
【解析】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；
三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；
α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；
钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．故选：D．
【变式1-1】下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等
【答案】C
【解析】A：角显然是第一象限角，但它是负角，本选项命题不正确；
B：锐角是小于的正角，所以本选项命题不正确；
C：钝角是大于小于的角，显然是第二象限的角，所以本选项命题正确；
D：角和角显然是终边相同的角，但它们不相等，
所以本选项命题不正确，故选：C
【变式1-2】已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．AC D．A＝B＝C
【答案】B
【解析】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以该选项错误；
对B，钝角大于90°，小于180°，故B C，故选项B正确；
对C，AC，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误；
对D，A＝B＝C错误. 如在第二象限，但是并不在集合B,C中.故选：B
【变式1-3】喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（ ）
A．30° B．﹣30° C．60° D．﹣60°
【答案】D
【解析】因为分针为顺时针旋转，
所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是 .故选：D．
【变式1-4】如图，圆的圆周上一点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，之后从起始位置转过的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，
所以点逆时针方向旋转一分钟转的度数为，
设之后从起始位置转过的角为，故选：D．
题型二 求终边相同的角
【例2】将化为的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由知.故选：B.
【变式2-1】与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴与终边相同的角是.故选：D
【变式2-2】在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为（ ）
A．β＝α+90° B．β＝α±90°
C．β＝α+90°+k•360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k•360°（k∈Z）
【答案】D
【解析】∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°+k•360°（k∈Z）．故选：D．
【变式2-3】已知角的终边与角的终边关于轴对称，求.
【答案】
【解析】易知角与角的终边关于轴对称.
所以角的终边与角的终边重合.
所以.
【变式2-4】求与角终边相同的最小正角和最大负角，并指出角是第几象限角.
【答案】最小正角为，最大负角为，角是第四象限角
【解析】，
角是第四象限角，与角终边相同的角可以表示为，
当时，；当时，；
与角终边相同的最小正角为，最大负角为.
题型三 确定已知角所在的象限
【例3】角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】因为，所以角和角是终边相同的角，
因为角是第二象限角，
所以角是第二象限角.故选：B.
【变式3-1】（多选）下列四个角为第二象限角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】对于A选项，，故为第二象限角；
对于B选项，是第二象限角；
对于C选项，是第三象限角；
对于D选项，，故为第一象限角.故选：AB.
【变式3-2】已知角，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【解析】因为
所以与是同一象限角，
因为是第三象限角，故为第三象限角．故选：C．
【变式3-3】若，则的终边在（ ）
A．第二或第三象限 B．第一或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
【答案】B【分析】分k为奇数和偶数讨论可得.
【解析】当k为奇数时，记，则，此时为第三象限角；
当k为偶数时，记，则，
此时为第一象限角.故选：B
题型四 根据图形写出角的范围
【例4】已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.故选：B．
【变式4-1】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此时的终边和0≤≤的终边一样，
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，
此时的终边和π≤≤π＋的终边一样．故选：B．
【变式4-2】如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________.
【答案】{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
【解析】终边落在阴影部分第二象限最左边的角为,
终边落在阴影部分第四象限最左边的角为.
所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}.
故答案为：{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
【变式4-3】如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为______．
【答案】
【解析】终边在直线OM上的角的集合为：
．
同理可得终边在直线ON上的角的集合为，
所以终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为．
故答案为：
题型五 由已知角确定某角所在象限
【例5】若α是第四象限角，则90º－α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】由题知，，，
则，在第二象限，故选：B
【变式5-1】若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．
【答案】一
【解析】若α是第二象限角，则，，
所以，，
即，，
所以180°－α是第一象限角．
故答案为：一.
【变式5-2】已知为第四象限角，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
【解析】表示将角α的终边逆时针旋转后所得的角，
因为α为第四象限角，
所以为第一象限角．故选：A
【变式5-3】已知是第四象限角，则是第象限角.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【解析】由题意知，则，
，
显然是第四象限角.故选：D
题型六 确定n分角和n倍角的象限
【例6】若角是第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】C
【解析】因为是第三象限角，所以，
所以，
当为偶数时，是第一象限角，
当为奇数时，是第三象限角.故选：C．
【变式6-1】若α是第一象限的角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第四象限角
C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】D
【解析】由题意知，，，
则，所以，．
当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．
所以是第二或第四象限角.故选：D.
【变式6-2】角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵角的终边在第一象限，
∴，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
综上，角的终边不可能落在第四象限，故选：D.
【变式6-3】已知α锐角，那么2α是（ ）
A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角
【答案】A
【解析】∵α锐角，∴0°