河南省驻马店市平舆县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

这是一份河南省驻马店市平舆县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版），共19页。
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上的注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】A：，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B：是最简二次根式，故本选项符合题意；
C：，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D：，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽的因数或因式．
2. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据（），，，进行逐一计算判断即可．更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【详解】解：A. ，故此项符合题意；
B.，故此项不符合题意；
C.不能进行运算，，故此项不符合题意；
D. 不能进行运算，，故此项不符合题意；
故答案：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简与运算，掌握化简方法是解题的关键．
3. 如图，已知点的坐标为，则线段的长为( )
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
分析】根据勾股定理计算即可．
【详解】解：OA= ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
4. 我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据赵爽弦图的概念，直接即可得到答案．
【详解】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
故选：C．
【点睛】本题主要考查古代数学史中的“赵爽弦图”，熟记赵爽弦图的概念，是解题的关键．
5. 以长度分别为下列各组数的线段为边，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A. 5，12，13B. 3，4，5C. 7，24，25D. 6，8，14
【答案】D
【解析】
【分析】欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：A、，故是直角三角形，不符合题意．
B、，故是直角三角形，不符合题意．
C、，故是直角三角形，不符合题意．
D、，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，把剪下部分展开后，得到的图形是（ ）
A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形对折两次可得，折痕刚好为剪下的四边形的对角线，再根据菱形的判定解答即可．
【详解】解：∵折痕刚好为剪下的四边形的对角线，结合对折可得：
两条对角线互相垂直平分，
∴根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可知得到的四边形是菱形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了剪纸问题，矩形的性质，轴对称的性质，菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
7. 下列条件中，能判定是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵中，，
∴是矩形，故选项A符合题意；
B、中，，不能判定是矩形，故选项B不符合题意；
C、中，，不能判定是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵中，，
∴是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
8. 在平面直角坐标系中，已知，，，若四边形是平行四边形，则点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，进而利用平移的坐标变换解答即可．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，，，，
∵，，
∴向左平移4个单位可得，
∵，
∴点D的坐标是，即
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平移坐标规律，掌握平行四边形的性质和点平移坐标变换规律“左减右加”是解题的关键．
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形．
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定定理逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 对角线相等的平行四边形四边形是矩形，故原选项错误，不合题意；
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原选项正确，符合题意；
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不合题意；
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不合题意．
故选：B
【点睛】本题考查矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定定理，熟知相关图形的判定定理是解题关键．
10. 如图，正方形的边长为2，E，F分别是边上的动点，且，交于点P，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点G，连接，由正方形性质及已知，证明，则可得；由直角三角形斜边上中线的性质可得；当A、G、P三点共线时，最小，最小值为线段的长，利用勾股定理即可求得的最小值．
【详解】解：如图，取的中点G，连接，
∵四边形是正方形性质，
∴，；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵G是的中点，
∴；
∵，
∴当A、G、P三点共线时，最小，最小值为线段的长；
在中，，
由勾股定理得：，
∴的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短等知识，证明两个三角形全等是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】x＞-1
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件求解即可 ．
【详解】∵代数式有意义，
∴≠0，x+1≥0，
∴x＞-1，
故答案为：x＞-1．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键．
12. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________．
【答案】如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.
【解析】
【详解】解：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，
那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.
因此，“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形”.
故答案为：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.
13. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】由n为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，从而得出结果．
【详解】解：∵n为正整数，
∴也是正整数，
∴是一个完全平方数，
∴n的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，涉及的知识点：如果是整数，那么a是一个完全平方数．
14. 在菱形中，，，则_________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，菱形中，对角线相交于点O，
∵四边形为菱形，，
∴，
∵，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形是对角线互相垂直平分．
15. 如图，在中，，D是的中点，连接．当是以为底边的等腰三角形时，的长为_________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，并延长交与，连接，可得，根据直角三角形的性质证明为等边三角形，再根据勾股定理求出即可求出．
【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，
∴
如下图所示，连接，并延长交与，连接，

∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何问题，涉及到勾股定理、等边三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则结合完全平方公式计算即可；
（2）先化最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式．熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
17. 当时，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式将原式进行变形，再直接将代入求值即可．
【详解】解：
当时，
原式
【点睛】本题考查了求代数式值，涉及完全平方公式，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
18. 在中，边上的中线．
（1）求的长：
（2）计算的面积．
【答案】（1）13 （2）60
【解析】
【分析】（1）首先利用勾股定理逆定理证明，再利用勾股定理计算出的长即可；
（2）根据三角形的面积公式代入数计算即可．
【小问1详解】
是的中线，，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
的面积．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据题意证明是解决问题的关键．
19. 如图，A，B两地（视为点）被池塘隔开，由于条件限制无法直接测量A，B两地间的距离，池塘周围都是可以到达的平地．请用所学知识按以下要求设计一个测量方案，以顺利得到的距离．
（1）画出测量图案；
（2）用字母表示计算要用到的测量数据；
（3）写出计算A，B两地间的距离的代数式（结果用字母表示）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）构造全等三角形作图即可；
（2）标注出的对应边的长度，用表示即可；
（3）利用全等三角形性质，得到．
【小问1详解】
解：画出测量图案如图：
【小问2详解】
在池塘岸边选一点，连接并延长至点，使，连接并延长至点，使，连接，测量出的长度为；
【小问3详解】
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，构造全等三角形．
20. 如图，的对角线，相交于点O，E，F是上的两点，并且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件_________，使四边形是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）(答案不唯一)
【解析】
【分析】（1）先由，得，，再根据，得，即可由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出结论．
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形可添加．
【小问1详解】
证明：∵
∴，，
∵
∴，即
∴．
【小问2详解】
解：由（1）知，
若添加，
∴四边形是矩形
∴添加，能使四边形是矩形(答案不唯一)．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定．熟练掌握平行四边形的判定与性质，矩形的判定是解题的关键．
21. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F，连接AE和CF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB= ，BC=3，求菱形AECF的边长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AF＝CF，AE＝CE，根据矩形和平行线的性质可得∠FAO＝∠ECO，进而可根据ASA推出△AOF≌△COE，可得AF＝CE，进一步即得AE＝EC＝CF＝AF，从而可得结论；
（2）设AE＝CE＝x，则BE＝3﹣x，在Rt△ABE中根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∵∠FAO＝∠ECO，OA=OC，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴AE＝EC＝CF＝AF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：设AE＝CE＝x，则BE＝3﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
即（）2+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝2，即AE＝2，
∴菱形AECF的边长是2．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质以及勾股定理等知识，能综合运用以上知识进行推理是解此题的关键．
22. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当时，的最小值为_________；
（2）当时，求的最小值：
（3）已知矩形的面积为12，求周长的最小值．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）仿照题干的结论进行计算即可．
（2）把分式重新拆解，再仿照题干的结论进行计算即可．
（3）设矩形的长为a，则矩形的宽为，再根据矩形的周长表达式，并利用题干的结论进行分析计算即可．
【小问1详解】
当时，，
当时，的最小值是2；
故答案为：2；
【小问2详解】
当时， ，
即y的最小值为．
【小问3详解】
设矩形的长为a，因为矩形的面积为12，则矩形的宽为，
∴矩形的周长为：；
∵，
∴矩形的周长的最小值为．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式乘法运算与化简，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的结论进行解答．
23. 综合与实践
在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学活动．
在正方形中，E为边上一点（点E与点B，C不重合），，且交正方形外角的平分线于点F．

（1）如图①，若E为的中点，猜想与的数量关系为_________．证明此猜想时，可取的中点G，连接．易证．判断三角形全等的依据是_________．
（2）如图②，若E为上任一点，上述结论是否还成立？请说明理由．
（3）结论拓展：
如图③，连接，交于点M，连接，则与，B之间存在的等量关系为________．
（4）拓展应用：若正方形的边长为6，为2，则_________．
【答案】（1），
（2）成立，见解析 （3）
（4）3
【解析】
【分析】（1）根据中点和正方形的性质得出，根据，，得出，根据，，推出，结合为正方形外角的角平分线，得出，即可根据证明全等；
（2）在上取一点G，使，连接．用和（1）一样的方法即可求证；
（3）将绕点A逆时针旋转得到，通过证明，得出即可求证；
（4）设，则，得出，由（3）可得：，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵点E、点G分别为中点，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，则，
∵为正方形外角的角平分线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：成立，理由如下：
如图，在上取一点G，使，连接．

∵四边形是正方形，∴，．
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵是的外角平分线，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，
∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
则点N、D、M三点共线，
在和中，
，
∴，
∴，
即．
【小问4详解】
解：设，则，
∵，
∴，
由（3）可得：
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角形．