2023-2024学年江西省宜春市清江中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省宜春市清江中学高二上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，若，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】C
【分析】根据交集结果判断元素与集合的关系即可求参数.
【详解】因为，所以，则，即．
故选：C
2．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据角的终边经过点，求出角的余弦值，即可求出结果.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以.
故选：A
3．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以.
故选：D
4．在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将三棱锥补成正方体，计算出正方体的外接球直径，结合球体表面积公式可求得其外接球的表面积.
【详解】在三棱锥中，平面，，且，
将三棱锥补成正方体，如下图所示：
则正方体的外接球直径为，
所以，，因此，三棱锥的外接球的表面积为.
故选：A.
5．已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在y轴上的截距为b，则b等于（ ）
A．－2B．2
C．－5D．5
【答案】B
【分析】直接利用直线方程求出在y轴上的截距为b.
【详解】令x＝0，则y＝2，
所以直线2x－5y＋10＝0在y轴上的截距是2.
故选：B
6．已知点，若直线，则的值为（ ）
A．1或B．或
C．或3D．3或
【答案】A
【分析】由题意可知CD与x轴不垂直，即.分类讨论，当AB与x轴垂直和AB与x轴不垂直时，根据两直线的位置关系求出对应的m值即可.
【详解】∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行.
∵，则CD与x轴不垂直，∴，即.
当AB与x轴垂直时，，解得，
此时，点C，D的纵坐标均为，则轴，此时，满足题意；
当AB与x轴不垂直时，，，
∵，∴，即，解得.
综上，m的值为或，
故选：A.
7．已知，点是直线和的交点，若存在点使，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由直线与都过定点且，可得交点的轨迹是圆（除去一点），又点满足，求得点在另一个圆上，存在点满足，即两圆有公共点即可，由此得解.
【详解】因为直线过定点，直线过定点，且，
所以直线与的交点的轨迹是以，为直径端点的圆，除去，
所以点的轨迹方程为：，
设其圆心为，半径，
若点满足，设，可得，
化简整理得，，设其圆心为，半径，
由题存在点满足，即圆与圆有公共点即可，
由于点的轨迹为圆除去点，
所以得，即，
所以.
故选：C.
8．已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意知只需椭圆与圆有四个公共点，求出的关系得离心率的取值范围
【详解】由题意知的第三个顶点在以为圆心，以为半径的圆上，要使以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则需要满足椭圆与圆有四个公共点，
由 得，
所以或，
当时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当位于右顶点处满足条件；
当时，要满足椭圆与圆有两个不同交点，需要，
即，即，解得，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：要满足条件的三角形有3个，关键是将条件转化为椭圆与圆有四个公共点解决.
二、多选题
9．在下列四个命题中，正确的是（ ）．
A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0
B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
【答案】AC
【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可.
【详解】对于A，当时，其斜率，所以A正确；
对于B，若一条直线的斜率为,则此直线的倾斜角为，所以B错误；
对于C，根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有确定的倾斜角，
由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以C正确；
对于D，直线的倾斜角为锐角时斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D错误；
故选：AC.
10．已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线m斜率为B．直线m横截距为1
C．直线m纵截距为D．点不在直线m上
【答案】AC
【分析】A选项，变形为，得到斜率；B选项，令求出横截距；C选项，令求出纵截距；D选项，代入检验即可.
【详解】A选项，变形为，故直线m斜率为，A正确；
B选项，中令得，，故直线m横截距为-1，B错误；
C选项，中令得，，故直线m纵截距为，C正确；
D选项，当时，，故点在直线m上，D错误.
故选：AC
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．z在复平面内对应的点的坐标为
B．
C．z在复平面内对应的点与点关于原点对称
D．
【答案】BCD
【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据复数的几何意义求解AC，根据共轭复数的概念求解B，根据模长公式即可求解D.
【详解】由题可得，
即在复平面内对应的点的坐标为，与点关于原点对称，A错误，C正确；
，B正确；
，D正确.
故选：BCD
12．已知双曲线：的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线与另一条渐近线的交点为，若，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】设出直线方程：，分别与两渐近线联立，求得两点横坐标，代入，即可求解.
【详解】不妨设的一条渐近线的方程为，则直线的斜率为，
则：．设，
联立直线的方程与，
，则，可得．
由，则，得点的纵坐标为，
因为，所以．
因为，
所以或．
故选：AC
三、填空题
13． .
【答案】
【分析】根据指数、对数运算求得正确答案.
【详解】
.
故答案为：
14．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】函数定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足：，
解得且.
故答案为：.
15．已知的面积为，求AC边的长为 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，根据题意结合向量的坐标运算可得C点坐标为，进而求AC边的长.
【详解】如图，设点C的坐标为，
因为，则B点坐标是，
可得，
又因为，则，解得，
且，则，解得，
可知C点坐标为，
则，所以.
故AC边的长为.
故答案为：.
16．已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求得直线（）与x轴的交点为，由可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得；②若点M在点O和点A之间，求得；③若点M在点A的左侧，求得.再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果.
【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为，
由于直线与x轴的交点为，
由直线将分割为面积相等的两部分，可得，
故，故点M在射线OA上，设直线和BC的交点为N，
则由可得点N的坐标为，
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线，
求得.
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即，可得，求得，
故有.
③若点M在点A的左侧，
则，由点M的横坐标，求得.
设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ，
即，化简可得，由于此时，
所以，两边开方可得，所以，
故有.
综上可得b的取值范围应是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据直线与三角形的交点位置分类讨论，利用三角形的面积求得等式，根据不等式性质求解即可，要注意讨论的完整性.
四、解答题
17．已知直线l的方程是.
(1)求直线l的斜率和倾斜角；
(2)求过点且与直线l平行的直线的方程.
【答案】(1)斜率为，倾斜角是60°
(2)
【分析】（1）由直线方程直接求出斜率，进而得到倾斜角；
（2）利用点斜式方程求出直线方程.
【详解】（1）已知直线l：，
所以直线l的斜率，倾斜角是.
（2）过点且与直线l平行的直线的斜率是，
所求直线方程为：，即.
18．已知复数（，i为虚数单位）．
(1)若为纯虚数，求实数a的值；
(2)若，且复数所对应的点位于第四象限，求a的取值范围．
【答案】(1)1.
(2)
【分析】（1）根据复数乘法运算求出，再根据纯虚数的概念求解.
（2）化简复数，根据所对应的点位于第四象限列不等式组求解.
【详解】（1）因为复数，
则
又为纯虚数，所以，
解得，
（2）因为
由复数所对应的点位于第四象限，可得:，解得 ，
所以的范围为.
19．已知的三内角所对的边分别是，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求三角形周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用以及正弦定理边化角，整理计算后可得答案；
（2）利用余弦定理求得，在根据三角形边的关系可得的范围，进而可得周长范围.
【详解】（1）由已知，且，
，
由正弦定理得，
，
即，
，；
（2）由余弦定理，得
，
当且仅当时取等号．
，故，又，
∴的取值范围是，
所以周长的取值范围是.
20．如图，已知四棱锥中，平面，，，，为中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据中位线和平行四边形的性质得到，然后利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据得到直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，根据线面角的定义得到为直线与平面所成角，然后求正弦值即可.
【详解】（1）
取中点，连接，
因为分别为的中点，所以，，
因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，，
因为平面，平面，所以∥平面.
（2）过点作于点，连接，
因为，所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
，，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．夜幕降临，华灯初上，丰富多元的夜间经济，通过夜间商业和市场，更好满足了民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富了购物体验和休闲业态．打造夜间经济，也是打造城市品牌、促进产业融合、推动消费升级的新引擎．为不断创优夜间经济发展环境，近朋，某市商务局对某热门夜市开展“服务满意度大调查”，随机邀请了100名游客填写调查问卷，对夜市服务评分，并绘制如下频率分布直方图，其中为非常不满意，为不满意，为一般，为基本满意，为非常满意，为完美．

(1)求的值及估计分位数：
(2)调查人员为了解游客对夜市服务的具体意见，对评分不足60分的调查问卷抽取2份进行细致分析，求恰好为非常不满意和不满意各一份的概率．
【答案】(1)；分位数为.
(2)
【分析】（1）根据频率之和为1，求出；判断出分位数所在区间，再设出分位数，列出方程即可求解；（2）列举出基本事件的所有样本点即所求事件样本点，按古典概型即可求解.
【详解】（1）由，解得；
由低于90分的频率为，则分位数在内，
设样板数据的分位数约为分，
则，解得,即分位数为.
（2）非常不满意的游客有人，设编号为,
不满意的游客有人，设编号为，
则基本事件的总数有：
工15种，
事件“恰好为非常不满意和不满意各一份”有：
工8种，
故.
22．已知抛物线C：，P是C上纵坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆（O为原点）交C的准线l于A，B两点，且.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P作直线PM，PN分别交C于M，N两点，且使∠MPN的平分线与y轴垂直，问：直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
【答案】(1)
(2)直线的斜率为定值
【分析】（1）根据题意求出点的坐标，代入抛物线方程即可得解；
（2）设，直线，联立方程，利用韦达定理求出，同理可求得，再根据斜率公式计算即可得出结论.
【详解】（1）将点的纵坐标代入中，
解得，
所以，则点到准线的距离为，
所以，
所以，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，
倾斜角互补，则斜率互为相反数，
易知，
设，直线，
则直线，
由整理得，
其中，解得，
已知此方程一个根为1，
所以，即，
同理，
所以，，
所以
，
所以，
所以直线的斜率为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．