江西省宜春市高安市重点中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)

这是一份江西省宜春市高安市重点中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则（ ）
A．0B．1C．D．
3．已知为虚数单位，则（ ）
A．1B．C． D．
4．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（ ）
A．2B．6C．4D．
6．若，，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知大小为的二面角棱上有两点A，B，，，若，则AB的长度（ ）
A．22B．40C．D．
8．已知椭圆C：的左、右两个焦点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为，，的面积为1，离心率为，点P是C上除长轴和短轴端点外的任意一点，的平分线交C的长轴于点M，则（ ）
A．椭圆的焦距等于短半轴长
B．面积的最大值为2
C．
D．的取值范围是
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于中心对称
D．在区间上单调递增
10．已知四边形的四个顶点在同一个圆上，且，，，则可能为（ ）
A．B．C．D．
11．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为
D．直线与圆可以相切
12．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．C的渐近线方程为
B．若直线与双曲线C有交点，则
C．点P到C的两条渐近线的距离之积为
D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2
三、填空题（共20分）
13．求值： .
14．已知平面向量，若，则 .
15．若曲线与圆恰有4个公共点，则的取值范围是 ．
16．已知抛物线C：，过点的直线交C于A，B两点，C在A，B两点处的切线交于点，且．若点M到直线AB的距离为，则 ．
四、解答题（共70分）
17．求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)一个焦点为，且离心率为；
(2)经过两点.
18．已知复数，根据以下条件分别求实数m的值或取值范围．
(1)是纯虚数；
(2)对应的点在复平面的第三象限．
19．在中，角的对边分别为，满足．
(1)求角；
(2)若，，求的面积．
20．在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
21．如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，点E，F分别为AD，PC的中点．

(1)证明：∥平面PBE；
(2)求三棱锥的体积．
22．已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最小值为4.
(1)求p；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值.
参考答案
1．D
解：因为集合，，
所以，
故选：D
2．A
．
故选：A．
3．C
因为，
所以.
故选：C
4．C
由题意知半径为2的圆经过点，设该圆圆心为P，
故该圆的圆心的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，
当坐标原点、圆心P以及点三点共线且圆心P在坐标原点和之间时，圆心到原点的距离最小，

最小值为，
故选：C
5．B
根据椭圆方程为可知，椭圆焦点在轴上，
且，即，
由椭圆定义可知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.
故选：B
6．D
由，则，
即，即，
解得或，
因为，所以，
则，
所以.
故选：D.
7．C
解：过作且，连接，则四边形是平行四边形，
因为，所以平行四边形是矩形，因为，即，
而，则是二面角的平面角，即，
因为，即为正三角形，所以，
因为，即，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以在中，，所以，
故选：C
8．C
对A：由的面积为1，离心率为可得，
又，所以得，故A错误；
对B：当P点在长轴端点位置时的面积才能取到最大值，
但是P点是除长轴和短轴端点外的任意一点，故的面积无法取到最大值，故B错误；
对C：所以椭圆的方程为，故，，
由的平分线交长轴于点，显然，，
又，
所以，即，
由，，得，故C正确；
对D：设，则，而，
即，也就是，所以，
所以，，
所以，故D错误；
故选：C.
9．ACD
因为，
所以的最小正周期，故A正确；
因为，
所以不是的对称轴，是的对称中心，故B错误，C正确；
因为，所以，
所以在区间上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
10．BC
设，，，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
解得或，
因为，所以且，即.
因为，，，，所以BC正确.
故选：BC
11．AC
解：直线过定点，
又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，
所以A正确，B，D错误，
因为圆心与点间的距离为，圆半径为2.
所以最短弦长为，故C正确，

故选：AC.
12．AC
双曲线，则，
对于A，C的渐近线方程为，A正确；
对于B，由双曲线的渐近线方程为可知，
若直线与双曲线C有交点，则，B错误；
对于C，设点，则，
点P到C的两条渐近线的距离之积为，C正确；
对于D，易得，，设，则，
所以直线PA，PB的斜率之积为，D错误．
故选：AC.
13．
，
，
代入原式得，
故答案为：.
14．
由，
得，解得，
所以，
故答案为：
15．
因为曲线与圆恰有4个公共点，
所以直线，均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上，
则有,解得．
故答案为:.
16．1
设，，显然，直线AB的斜率存在，
且，则直线AB的方程为．
联立，整理得，则，
由，得，求导得，
故切线AM的方程为，即①，
同理可得切线BM的方程为②，
两式相减，得M的横坐标，两式相加，
得M的纵坐标．
由，得，所以，
：，即，
所以点M到直线AB的距离，所以，
解得或（舍去）．
故答案为：.
17．(1)
(2)
（1）依题意可知，双曲线的焦点在轴上，且，
又，故其标准方程为.
（2）设双曲线方程为，
把点与点代入，有，解得，
故所求双曲线的标准方程为：.
18．(1)
(2)
（1）因为是纯虚数，
所以；
（2）因为对应的点在复平面的第三象限，
所以，
因此实数m的取值范围为.
19．(1)
(2)
（1）因为，
由正弦定理，可得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，所以.
（2）因为，，且
由余弦定理知，即，
解得，所以的面积为．
20．(1)
(2)
（1）因为，的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，，
所以，圆的方程为.
（2）因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
21．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：取的中点，连接，
因为点分别为的中点，
所以且，
又因为四边形为长方形，
所以且，
则且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）由平面，
则点到平面的距离等于到平面的距离，
因为平面，
所以为三棱锥的高，
由，
所以三棱锥的体积为
.

22．(1)2
(2)
（1）由圆可得圆心圆，半径为1，
易得焦点在圆外，
所以点F到圆M上的点的距离的最小值为，解得p=2
（2）由(1)知，抛物线的方程为，即，则,

设切点，则易得直线，直线,
由可得，
设直线，联立抛物线方程，消去y并整理可得，
∴，即，且，
∴.
∵，
点P到直线AB的距离，
∴，①
又点在圆上，
故，代入①得，，
而，即，
因为在区间内单调递增，且在定义域内单调递增，
所以在区间上单调递增，
∴当时，.