2023-2024学年江西省宜春市高安市灰埠中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省宜春市高安市灰埠中学高二上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用并集运算求解.
【详解】解：因为集合，，
所以，
故选：D
2．已知函数，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【分析】先求出，进而计算.
【详解】．
故选：A．
3．已知为虚数单位，则（ ）
A．1B．C． D．
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的除法及乘方运算法则计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：C
4．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由题意确定圆心的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，即可确定当坐标原点、圆心以及点三点共线时，圆心到原点的距离最小，由此可得答案.
【详解】由题意知半径为2的圆经过点，设该圆圆心为P，
故该圆的圆心的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，
当坐标原点、圆心P以及点三点共线且圆心P在坐标原点和之间时，圆心到原点的距离最小，

最小值为，
故选：C
5．椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（ ）
A．2B．6C．4D．
【答案】B
【分析】由椭圆方程可得，再由椭圆定义即可求得结果.
【详解】根据椭圆方程为可知，椭圆焦点在轴上，
且，即，
由椭圆定义可知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.
故选：B
6．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据降幂公式化简题设可得，进而结合可得，进而结合同角三角函数关系求解即可.
【详解】由，则，
即，即，
解得或，
因为，所以，
则，
所以.
故选：D.
7．如图，已知大小为的二面角棱上有两点A，B，，，若，则AB的长度（ ）
A．22B．40C．D．
【答案】C
【分析】过作且，连接，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，由勾股定理即可求出答案.
【详解】解：过作且，连接，则四边形是平行四边形，
因为，所以平行四边形是矩形，因为，即，
而，则是二面角的平面角，即，
因为，即为正三角形，所以，
因为，即，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以在中，，所以，
故选：C
二、多选题
8．已知椭圆C：的左、右两个焦点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为，，的面积为1，离心率为，点P是C上除长轴和短轴端点外的任意一点，的平分线交C的长轴于点M，则（ ）
A．椭圆的焦距等于短半轴长
B．面积的最大值为2
C．
D．的取值范围是
【答案】CD
【分析】由的面积为1，离心率为列方程组，进而可求的值，则A可判断，B选项可根据P点位置是除长轴和短轴端点外的任意一点直接排除；对于C选项，由的平分线交长轴于点，得到，化简可得，结合椭圆的定义，得到，进而求得的取值范围可判断D.
【详解】对A：由的面积为1，离心率为可得，
又，所以得，故A错误；
对B：当P点在长轴端点位置时的面积才能取到最大值，
但是P点是除长轴和短轴端点外的任意一点，故的面积无法取到最大值，故B错误；
对C：所以椭圆的方程为，故，，
由的平分线交长轴于点，显然，，
又，
所以，即，
由，，得，故C正确；
对D：设，则，而且，
即且，
也就是，且，
所以，且
所以，，
所以，故D正确；
故选：CD.
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于中心对称
D．在区间上单调递增
【答案】ACD
【分析】A选项，利用三角函数的周期公式即可判断；BCD选项，利用代入检验法即可判断.
【详解】因为，
所以的最小正周期，故A正确；
因为，
所以不是的对称轴，是的对称中心，故B错误，C正确；
因为，所以，
所以在区间上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
10．已知四边形的四个顶点在同一个圆上，且，，，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】圆内接四边形对角相互补，可以分成两个三角形，在两个三角形中两次用余弦定理，求出即可，根据，判断的可能值.
【详解】设，，，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
解得或，
因为，所以且，即.
因为，，，，所以BC正确.
故选：BC
11．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为
D．直线与圆可以相切
【答案】AC
【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案.
【详解】解：直线过定点，
又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，
所以A正确，B，D错误，
因为圆心与点间的距离为，圆半径为2.
所以最短弦长为，故C正确，

故选：AC.
12．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．C的渐近线方程为
B．若直线与双曲线C有交点，则
C．点P到C的两条渐近线的距离之积为
D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2
【答案】AC
【分析】由双曲线的渐近线方程可判断A，通过对比直线与双曲线的渐近线斜率之间的关系可求解B，结合点到直线的距离公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，结合双曲线方程化简可得定值，则D可判断.
【详解】双曲线，则，
对于A，C的渐近线方程为，A正确；
对于B，由双曲线的渐近线方程为可知，
若直线与双曲线C有交点，则，B错误；
对于C，设点，则，
点P到C的两条渐近线的距离之积为，C正确；
对于D，易得，，设，则，
所以直线PA，PB的斜率之积为，D错误．
故选：AC.
三、填空题
13．求值： .
【答案】
【分析】将写成，然后用两角差的余弦公式拆开；将用积化和差公式转化一下，然后整体代入原式即可求解.
【详解】，
，
代入原式得，
故答案为：.
14．已知平面向量，若，则 .
【答案】
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示，列式计算，求出的值，即可求得答案.
【详解】由，
得，解得，
所以，
故答案为：
15．若曲线与圆恰有4个公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据直线和圆有两个公共点可列出不等式，从而求出的取值范围.
【详解】因为曲线与圆恰有4个公共点，
所以直线，均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上，
则有,解得．
故答案为:.
16．已知抛物线C：，过点的直线交C于A，B两点，C在A，B两点处的切线交于点，且．若点M到直线AB的距离为，则 ．
【答案】1
【分析】由题意设，，直线AB的方程为，联立直线与抛物线，可得，利用导数的几何意义，可设出切线AM、BM的方程，联立两切线方程，求得的坐标，结合已知即可求出.
【详解】设，，显然，直线AB的斜率存在，
且，则直线AB的方程为．
联立，整理得，则，
由，得，求导得，
故切线AM的方程为，即①，
同理可得切线BM的方程为②，
两式相减，得M的横坐标，两式相加，
得M的纵坐标．
由，得，所以，
：，即，
所以点M到直线AB的距离，所以，
解得或（舍去）．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题时常用的步骤：
（1）设出直线方程，设交点为，
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程，
（3）写出韦达定理，
（4）将所求问题或题目中关系转化成的形式，
（5）代入韦达定理求解.
四、解答题
17．求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)一个焦点为，且离心率为；
(2)经过两点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的焦点位置，结合双曲线离心率公式进行求解即可；
（2）利用待定系数法进行求解即可.
【详解】（1）依题意可知，双曲线的焦点在轴上，且，
又，故其标准方程为.
（2）设双曲线方程为，
把点与点代入，有，解得，
故所求双曲线的标准方程为：.
18．已知复数，根据以下条件分别求实数m的值或取值范围．
(1)是纯虚数；
(2)对应的点在复平面的第三象限．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义进行求解即可；
（2）根据复数对应的点在复平面的特征进行求解即可.
【详解】（1）因为是纯虚数，
所以；
（2）因为对应的点在复平面的第三象限，
所以，
因此实数m的取值范围为.
19．在中，角的对边分别为，满足．
(1)求角；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，求得，即可求解；
（2）根据题意，由余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理，可得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，所以.
（2）因为，，且
由余弦定理知，即，
解得，所以的面积为．
20．在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程；
（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解.
【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，，
所以，圆的方程为.
（2）因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
21．如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，点E，F分别为AD，PC的中点．

(1)证明：∥平面PBE；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，则可得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）利用等体积转化为，即可求解.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为点分别为的中点，
所以且，
又因为四边形为长方形，
所以且，
则且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）由平面，
则点到平面的距离等于到平面的距离，
因为平面，
所以为三棱锥的高，
由，
所以三棱锥的体积为
.

22．已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最小值为4.
(1)求p；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）结合焦点与圆的位置关系，可得与圆的最小距离为，即可求解；
（2）设切点，得到直线的方程，联立可得，设直线，与抛物线进行联立可得，故可得到，由点在圆上可得，代入面积即可求得范围
【详解】（1）由圆可得圆心圆，半径为1，
易得焦点在圆外，
所以点F到圆M上的点的距离的最小值为，解得p=2
（2）由(1)知，抛物线的方程为，即，则,

设切点，则易得直线，直线,
由可得，
设直线，联立抛物线方程，消去y并整理可得，
∴，即，且，
∴.
∵，
点P到直线AB的距离，
∴，①
又点在圆上，
故，代入①得，，
而，即，
因为在区间内单调递增，且在定义域内单调递增，
所以在区间上单调递增，
∴当时，.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.