2023-2024学年江西省宜春市丰城拖船中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省宜春市丰城拖船中学高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的运算，即可得到结果.
【详解】，，
故选：B
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】直接根据充分条件和必要条件的定义得到答案.
【详解】，则或，则前者无法推出后者，后者可以推出前者，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由特称命题的否定为全称命题，即可得到结果；
【详解】因为命题“”，
则其否定为.
故选：C
4．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数有意义的条件，求函数定义域.
【详解】函数有意义，则应满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C．
5．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的奇偶性以及单调性，即可根据选项逐一求解.
【详解】对于A,由指数函数的性质可知为非奇非偶函数，故A错误，
对于B，由反比例函数的性质可知在和均为单调递减函数，故B错误，
对于C，的定义域为，由于所以为偶函数，故C错误，
对于D，的定义域为，且，故为奇函数，又为上的单调递增函数，故D正确，
故选：D
6．已知函数的图象过点，则 （ ）
A．3B．-3C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可.
【详解】由题意可知，
所以.
故选：C
7．已知实数a，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据根式与分数指数幂的运算求解.
【详解】对A，，A错误；
对B，，B错误；
对C，，C正确；
对D，，D错误；
故选:C.
8．定义函数为实数x的小数部分，为不超过x的最大整数，则（ ）
A．的最小值为0，最大值为1
B．在为增函数
C．是奇函数
D．满足
【答案】D
【分析】首先注意到，使得，结合函数新定义先得到是周期为1的周期函数，由此可以依次判断DBC选项，最后研究在上的最值情况即可.
【详解】对于D，因为，使得，此时，
，这表明了，故D正确；
对于B，首先，由D选项分析可知，，故B错误；
对于C，由D选项分析可知，是周期为1的周期函数，所以，故C错误；
对于A，由D选项分析得知，是周期为1的周期函数，所以只需研究它在上的最值情况即可，
而当时，，即的最小值为0，没有最大值，故A错误.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是注意到，使得，结合函数新定义得出是周期函数.
二、多选题
9．下列四个命题中，真命题的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．若，都有恒成立，则实数
【答案】AB
【分析】由不等式的性质即可判断AB，举例说明即可判断C，根据一元二次不等式恒成立即可判断D.
【详解】A：若，则，故A符合题意；
B：若，则，有，故B符合题意；
C：当时，不成立，故C不符合题意；
D：由得，又在上恒成立，
所以，故D不符合题意.
故选：AB.
10．下列各组函数中，是相同函数的是（ ）
A．，与
B．与
C．与
D．与
【答案】AD
【分析】AD选项，定义域和对于法则均相同；BC选项，对应法则不同.
【详解】A选项，的定义域为，
与，的定义域相同，且对应法则相同，A正确；
B选项，，与对应法则不同，B错误；
C选项，，故与的对应法则不同，C错误；
D选项，的定义域为，故，
故两函数是相同函数，D正确.
故选：AD
11．已知函数，下面命题正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称B．函数的图象关于轴对称
C．函数的值域为D．函数在内单调递减
【答案】ACD
【分析】分析函数的奇偶性从而可判断AB选项；结合指数函数的值域判断的值域即可判断C；根据复合函数的单调性判断的单调性即可判断D.
【详解】因为，所以的定义域为，且定义域关于原点对称，
又因为，所以为奇函数，故A正确，B错误；
又因为，，
所以，所以，故C正确；
因为，时，
又在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故D正确；
故选：ACD.
12．已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．若，则
D．若当时，，则在单调递减
【答案】ABD
【分析】对于A选项，令即可；
对于B选项，令，令即可；
对于C选项， 令，即可；
对于D选项，由得，根据函数单调性定义即可.
【详解】因为，
所以令，得，故A正确；
令，得，所以，
令，得，
所以，令，得，又，
所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故正确；
令，得，
又，所以，故C错误；
当时，由，
可得，又，
，在上任取，不妨设，
，
，
故，在单调递减，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对和准确的赋值以及对单调性定义计算的精简.
三、填空题
13．已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的 条件.
【答案】必要非充分
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由题意，，但，所以，是的必要非充分条件.
故答案为：必要非充分.
14．已知，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式的性质求解.
【详解】因为，所以，所以，
故答案为:.
15．
【答案】
【分析】利用根式及指数运算计算即得.
【详解】.
故答案为：
16．定义在R上的函数满足：①在内单调递增；②为偶函数；③．则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用函数的对称性和单调性求解即可.
【详解】为偶函数，
所以，即.
所以关于对称；
在内单调递增，所以在内单调递减.
，且关于对称，所以，
所以的解集为；
的解集为.
若，则或，
即或，
解得或.
故答案为：
四、解答题
17．化简求值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】利用指数的运算法则进行计算即可求解.
【详解】（1）
（2）
18．设全集为，集合或，.
(1)求，；
(2)已知，若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）确定，计算得到答案.
（2）考虑和两种情况，根据集合的包含关系解得答案.
【详解】（1）或，，则，
，，.
（2）当时，，解得，满足；
当时，，且，解得；
综上所述：.
19．已知为正数，且．
(1)证明：；
(2)求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)12
【分析】（1）由已知等式可得，根据，利用均值不等式即可得证；
（2）利用均值不等式求解即可.
【详解】（1）证明：由，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
（2）解：，
当且仅当，即，即或时，等号成立．
故的最小值为12．
20．已知函数
(1)在给出的坐标系中画出函数的图象；
(2)求的值；
【答案】(1)作图见解析
(2)5
【分析】（1）利用二次函数的图象与常数图象的特征即可画出函数；
（2）根据函数的解析式，直接求解即可.
【详解】（1）利用二次函数的图象与常数图象的特征即可画出分段函数的图象，如图所示：
；
（2）因为，
所以，
所以.
21．某手机生产企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润＝销售额－成本）；
(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)2023年产量为100（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为7000万元
【分析】（1）根据题意先得到每生产（千部）手机的投入成本，再由利润＝销售额－成本求解；
（2）根据（1）的结果，分，，分别利用二次函数和基本不等式求解.
【详解】（1）解：由题意知：每生产（千部）手机，
投入的成本，
∴，
即；
（2）当时，，
∴当时，；
当时，
（当且仅当，即时取等号），∴；
综上：2023年产量为100（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为7000万元.
22．已知函数.
(1)当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由;
(3)当时，对任意的，恒有成立，求的最大值.
【答案】(1)的单调递增区间为；
(2)见解析；
(3)10.
【分析】（1）根据题意，求出，然后结合二次函数的性质可求得答案；
（2）根据函数奇偶性的定义判断即可；
（3）对任意的，恒有成立等价于“在上恒成立”，然后分，和三种情况求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，所以在上递增，
当时，，所以在上递增，
因为，
所以的单调递增区间为；
（2）当时，，
因为，所以为偶函数，
当时，因为，所以不是奇函数，
因为，，且，
所以，所以不是偶函数，
综上，当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；
（3）当，时，，
所以，
整理得，
即在上恒成立，
因为对勾函数在上单调递增，
所以若，则在上单调递减，
所以当时，取得最小值，
则，
所以，
当时，，
若时，则在上单调递增，
所以当时，取得最小值，则，
所以，当且仅当时，取得最大值10，
综上，的最大值为10.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的判断，考查二次函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为“在上恒成立”，然后结合对勾函数的性质分情况讨论，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题.