2024届江西省宜春市丰城拖船中学高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届江西省宜春市丰城拖船中学高三上学期期中数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，其中为自然对数的底数，则子集的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】首先判断直线为曲线的切线，再结合集合含义，得出只有一个元素，从而求解.
【详解】由题知，，在点处的切线斜率为，则在处的切线方程为.
因为直线与曲线相切于点，有且只有这一个公共点，故中有且只有一个元素，
所以的子集个数为2个．
故选:B．
2．已知为虚数单位，复数z满足：，则的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意化简得出，即可得到的虚部.
【详解】

故的虚部为
故选：B.
3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题是的真子集，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：因为若“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，
所以，解得，即实数a的取值范围是．
故选：A
4．若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则D(X)的最小值等于（ ）
A．0B．1
C．4D．2
【答案】A
【分析】由分布列的性质求出，进而根据期望的概念得到m＝6－2n，然后结合方差的概念得到D(X)，进而可以求出结果.
【详解】由分布列的性质，得，.
∵E(X)＝2，∴.∴m＝6－2n.
∴D(X)＝
∴n＝2时，D(X)取最小值0.
故选：A.
5．设点是的重心，若， ，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设是的中点，连接，进而得，再结合已知得，最后结合向量模的计算公式与基本不等式求解即可.
【详解】解：设是的中点，连接．因为是的重心，
所以
因为，
所以，
所以
当且仅当时取等号
故选：C
6．已知函数，若恒成立．则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在时，由二次函数的最小值大于等于0确定a范围，在时，分离参数构造函数，求函数最小值即可推理作答.
【详解】依题意，当时，，当时，，
解得，当时，在上单调递减，成立，则有，
当时，，令，，
，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，，于是得，
综上得，，
所以a的取值范围为.
故选：B
7．已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】C
【分析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，运用双曲线的定义和条件可得，，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【详解】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，
由双曲线的定义可得，
由，可得，，，
由可得，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
即有，化简可得，
所以双曲线的离心率．
故选：C．
8．已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得对恒成立，记，即在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，分、、三种情况讨论，即可求出参数的取值范围.
【详解】，等价于，
记，即在上恒成立，
.
当即时，，在上单调递减，
所以当时，即恒成立；
当时，记，则，
当时单调递减，又，，
所以存在，使得，当时，，单调递增，
所以，即，
所以当时，即，不符合题意；
当时，，不符合题意.
综上，的取值范围是.
故选：C
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
二、多选题
9．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，．（ ）
A．面积的最大值为
B．的最大值为
C．的取值范围为
D．
【答案】AB
【分析】由余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算判断A；由正弦定理，向量数量积的定义，三角恒等变换结合正弦函数的性质求解判断B；利用三角恒等变换结合正切函数的性质计算判断C；利用余弦定理计算判断D．
【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，即的最大值为4，
则面积，即面积的最大值为， A正确；
对于B，由正弦定理得，则，，
，
显然，有，，则当，
即时，取得最大值为，B正确；
对于C，，由，
得，因此的取值范围为，C错误；
对于D，由余弦定理得，D错误.
故选：AB
10．函数满足，，，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．
【答案】BCD
【分析】利用赋值法可判断AB选项；令，利用函数奇偶性的定义可判断C选项；根据已知条件推导出，再结合以及等式的可加性可判断D选项.
【详解】在等式中，令，可得，
在等式中，令，可得，A错；
在等式中，令，可得，①
在等式中，令，可得，②
①②可得，B对；
令，其中，则，
即，故函数为奇函数，C对；
因为，则，
又因为，
上述两个等式相加可得，D对.
故选：BCD.
11．棱长为a且体积为V的正四面体的底面内有一点H，它到平面、、的距离分别为，，，E，F在与上，且，，下列结论正确的是（ ）
A．若a为定值，则为定值B．若，则
C．存在H，使，，成等比数列D．若，则，，成等差数列
【答案】ACD
【分析】根据，计算即可判断A；
由A求得，从而可求得正四面体的体积，即可判断B；
当H是中心时，，即可判断C；
根据，，，则，从而可得，设H到，，的距离为，，，从而可得，即可判断D.
【详解】解：正四面体的高为，
由，
即，
所以，
所以，故A正确；
由A知，，∴，B不正确；
当H是中心时，，此时，，成等比数列，故C正确；
对于D选项，因为，，
若，则，
则，
设H到，，的距离为，，，∴，
又因为平面、平面、平面与平面所成角相等，
∴，所以，，成等差数列，故D正确.
故选：ACD.
12．设函数，数列满足，则（ ）
A．当时，
B．若为常数数列，则或2
C．若为递减数列，则
D．当时，
【答案】ABD
【分析】根据函数图像，数列递推关系式，及常数数列，递减数列概念可判断 A，B，C 选项，对D由递推关系，结合裂项求和可判断.
【详解】的图象如下图：

对A，当时，，
，
同理，…，，故A正确；
对B，若为常数数列，则，
当时，有无解，
当时，，解得或2，故B正确；
对C，若为递减数列，则，
当时，，
当时，，
所以或，故C不正确；
对D，当时，，
又由可得：，
，
故
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．“”是“”的 条件．（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个）
【答案】充分不必要．
【分析】利用弦化切得，将整体代入即可证明其充分性成立，令，解得，必要性不成立.
【详解】若，则，
反之，若，则，则，则，
则”是“”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
14．已知数列为等差数列，其前n项和为，若，则使成立的正整数n的最小值是
【答案】7
【分析】利用等差数列的性质、前n项和公式进行求解判断.
【详解】由题意得，数列为等差数列，因为，
所以，
则，即，
所以，即数列是递减数列，所以使成立的正整数的最小值为.
故答案为：7.
15．如图，平行六面体中，，则的长为 .
【答案】
【分析】利用转化法把转化为，再利用平方求模即可.
【详解】
所以.
故答案为：.
16．已知实数，对，恒成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】将不等式变形可得，利用函数同构可令函数，得出其单调性可判断得出，由参变分离可求得，利用导数求出函数的最小值即可得出的取值范围.
【详解】根据题意将不等式变形可得，
即，
所以，即，
又，可得，
也即；
构造函数，则；
不等式等价于，
易知当时，原不等式显然成立；
当时，易知在上恒成立，即函数在上单调递增，
所以，可得；
令，则，
所以可得在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得极小值，也是最小值，
因此可得；
即的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：在求解不等式恒成立问题时，常用的方法是将不等式通过合理变形并根据已知条件利用函数同构思想进行构造函数，利用导数判断出单调性求出相应最值即可得出结论.
四、解答题
17．已知函数.
(1)求函数的振幅、最小正周期、初相；
(2)用“五点法”画出函数在上的图象．
【答案】(1)振幅为，最小正周期为，初相为 ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）首先利用三角恒等变换把三角函数的关系式变形为正弦型函数，利用关系式即求；
（2）利用整体思想，使用“五点法”，采用列表、描点、连线画出函数的图像.
【详解】（1）∵，
∴振幅为，最小正周期为 ，初相为 ；
（2）列表
故函数在上的图像如下图所示：
18．已知数列的前项的和，数列的前项的和满足，.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项的和.
【答案】(1)；.
(2)
【分析】（1）由即可求得的通项公式，由与的关系即可求得的通项公式.
（2）根据错位相减法即可得出结果.
【详解】（1）当时，．
当时，，满足上式，
故数列的通项公式为.
当时，由，得，
两式相减得
即,
所以，
又当时，，解得，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴．
（2）由（1）知：，
①
②
得：

．
∴．
19．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面二面角的大小为，分别是的中点．
（1）求证：平面
（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）连接，取的中点，连接可证平面故而
论成立；
（2）设建立坐标系，利用向量求出到平面的距离，解方程得出的值，得出结论．
【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接
分别是的中点分别是的中点，
又
平面，
分别是的中点，
又平面平面，
平面
（2）解：平面平面
又
平面
为二面角的平面角，即
以为坐标原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：
设
则， ， ．
设平面的法向量为，则，
，令可得
，
到平面的距离，
解得．
，线段上是否存在一点，使得点A到平面EFM的距离为．
且．
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20．某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展､百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，启动建设了一所高标准､现代化､智能化的新校，并由县政府公开招聘事业编制教师，招聘时首先要对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节，面试时应聘者需要回答三道题，第一题考查教育心理学知识，答对得10分，答错得0分；第二题考查学科专业知识，答对得10分，答错得0分；第三题考查课题说课，说课优秀者得15分，非优秀者得5分．
（1）若共有2000人应聘，他们的简历评分服从正态分布，80分及以上为达标，估计进入面试环节的人数(结果四舍五入保留整数)；
（2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为，第三题被评为优秀的概率为，每道题正确与否､优秀与否互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列及其数学期望．
附：若随机变量，则.
【答案】（1）317人；（2）分布列答案见解析，数学期望：．
【分析】（1）根据正态分布概率公式求出80分及以上的概率，结合总人数即可求解结果；
（2）列出的可能取值，根据独立事件的概率乘法公式求出各情况的概率，然后写出分布列求解数学期望．
【详解】解：（1）因为服从正态分布，
所以
因为，
所以进入面试环节的人数约为317人；
（2）记该应聘者第题答对为事件，第3题优秀为事件
的可能取值为
则
所以的分布列为
所以的数学期望为.
【点睛】思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
21．已知点，圆，为上一动点，连接，，设线段的中点，为上一点，且满足，动点形成曲线．
（1）求的取值范围；
（2）直线与曲线是否相切？请说明理由．
【答案】（1）；（2）相切，理由见解析．
【分析】（1）先求出动点的轨迹，再求范围；
（2）证明直线与曲线（椭圆）方程联立交点唯一就可.
【详解】（1）设由题意得
，
线段的中点
是线段的中垂线．
，
点的轨迹是以，为焦点，，的椭圆
点的轨迹方程为．
，
的取值范围是
（2）直线与曲线相切．理由如下：
设
当时，此时的方程为，
由（1）知曲线的方程为，与曲线相切成立．
当时，，
的方程为
由
，
代入
整理得
，
与曲线有唯一交点．
综上：直线与曲线相切．
【点睛】关键点点睛：直线与椭圆相切，即直线与椭圆有唯一交点，注意对于抛物线，双曲线不成立，对于高次曲线不成立.
22．已知函数，其中．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数存在两个极值点，，且，证明：．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【详解】分析：（1）对m分类讨论求函数的单调区间.(2)先求出，再构造函数，，求它的范围.
详解：（1）函数定义域为，且，，
令，，
当，即时，，∴在上单调递减；
当，即时，由，解得，，
若，则，∴时，，单调递减；
时，，单调递增；时，，单调递减；
若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；
综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；
时，的单调递减区间为．
（2）因为函数定义域为，且，
∵函数存在两个极值点，∴在上有两个不等实根，，
记，则∴，
从而由且，可得，，
∴ ，
构造函数，，
则，
记，，则，
令，得（，故舍去），
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，
∴当时，恒有，即，
∴在上单调递减，
∴，即，
∴．
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和函数的取值范围，意在考查学生对这些
基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是构造函数，，求它
的范围.
0
x
0
1
1+
1
0
5
15
25
35