1．下列结论正确的是( )
A．若y＝csx，则y′＝sinx
B．若y＝sinx，则y′＝－csx
C．若y＝eq \f(1,x)，则y′＝－eq \f(1,x2)
D．若y＝eq \r(x)，则y′＝eq \f(\r(x),2)
2．在曲线f(x)＝eq \f(1,x)上切线的倾斜角为eq \f(3,4)π的点的坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(－1，1) D．(1，1)或(－1，－1)
3．已知y＝kx＋1是曲线y＝f(x)＝lnx的一条切线，则k＝________．
4．若f(x)＝sinx，f′(α)＝eq \f(1,2)，则下列α的值中满足条件的是( )
A．eq \f(π,3)B．eq \f(π,6)
C．eq \f(2π,3)D．eq \f(5π,6)
二、填空题
5．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________．
6．直线y＝eq \f(1,2)x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________．
7．若曲线y＝eq \r(x)在点P(a，eq \r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．
三、解答题
8．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
9．求曲线f(x)＝x2过点P(1，0)的切线方程．
[尖子生题库]
10．(1)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2023(x)＝________．
(2)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________．
课时作业(十六) 基本初等函数的导数
1．解析：∵(csx)′＝－sinx，∴A不正确；
∵(sinx)′＝csx，∴B不正确；
∵(eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x))，∴D不正确．
答案：C
2．解析：切线的斜率k＝taneq \f(3,4)π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－eq \f(1,x2)，∴－eq \f(1,x eq \\al(2,0) )＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1).故选D.
答案：D
3．解析：设切点坐标为(x0，y0)，
由题意得f′(x0)＝eq \f(1,x0)＝k，又y0＝kx0＋1，y0＝lnx0，
解得y0＝2，x0＝e2，所以k＝eq \f(1,e2).
答案：eq \f(1,e2)
4．解析：∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝csx．
又∵f′(α)＝csα＝eq \f(1,2)，
∴α＝2kπ±eq \f(π,3)(k∈Z).
当k＝0时，α＝eq \f(π,3).
答案：A
5．解析：因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq \f(1,x)且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－eq \f(1,2)(舍去).故x＝1.
答案：1
6．解析：设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝lnx0.
∵y′＝(lnx)′＝eq \f(1,x)，
由题意知eq \f(1,x0)＝eq \f(1,2)，
∴x0＝2，y0＝ln2.
由ln2＝eq \f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1.
答案：ln2－1
7．解析：因为y′＝eq \f(1,2\r(x))，
所以曲线在点P处切线方程为y－eq \r(a)＝eq \f(1,2\r(a))(x－a)，
令x＝0，得y＝eq \f(\r(a),2)，
令y＝0，得x＝－a，
由题意知eq \f(1,2)·eq \f(\r(a),2)·a＝2，所以a＝4.
答案：4
8．解析：(1)因为y′＝2x.
P(－1，1)，Q(2，4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设切点M(x0，y0)，因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝eq \f(4－1,2＋1)＝1，
切线的斜率k＝2x0＝1，
所以x0＝eq \f(1,2)，所以切点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，
与PQ平行的切线方程为y－eq \f(1,4)＝x－eq \f(1,2)，
即4x－4y－1＝0.
9．解析：设切点为Q(a，a2)，f′(x)＝2x, f′(a)＝2a，
所以所求切线的斜率为2a.因此，eq \f(a2－0,a－1)＝2a，解得a＝0或2，所求的切线方程为y＝0或y＝4x－4.
10．解析：(1)由已知得，f1(x)＝csx，f2(x)＝－sinx，
f3(x)＝－csx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝csx，…，
依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，
则f2023(x)＝f3(x)＝－csx．
(2)与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最短．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝eq \f(1,2)，y0＝eq \f(1,4).即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4)－1)),\r(12＋12))＝eq \f(3\r(2),8).
答案：(1)－csx (2)eq \f(3\r(2),8)