一、选择题
1．函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是( )
A．1，－1 B．1，－17
C．3，－17 D．9，－19
2．函数f(x)＝x＋2csx在区间[－eq \f(π,2)，0]上的最小值是( )
A．－eq \f(π,2) B．2
C．eq \f(π,6)＋eq \r(3)D．eq \f(π,3)＋1
3．函数f(x)＝eq \f(x,ex)在区间[2，4]上的最小值为( )
A．0 B．eq \f(1,e)C．eq \f(4,e4) D．eq \f(2,e2)
4．(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A．f(x)>0的解集是{x|0B．f(－eq \r(2))是极小值，f(eq \r(2))是极大值
C．f(x)没有最小值，也没有最大值
D．f(x)有最大值，无最小值
二、填空题
5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2，2]上有最小值－37，则a的值为________，f(x)在[－2，2]上的最大值为________．
6．函数f(x)＝eq \f(x＋a,ex)的最大值为________．
7．已知函数f(x)＝eq \f(a,x2)＋2lnx，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
8．已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值．
9．已知函数f(x)＝lnx－eq \f(a,x).
(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；
(2)设g(x)＝lnx－a，若g(x)[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝lnx＋eq \f(a,x).
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是eq \f(3,2)，求a的值．
课时作业(二十一) 导数与函数的最值
1．解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝±1.
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，
f(－1)＝－1＋3＋1＝3，1∉[－3，0].
所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－17.
答案：C
2．解析：f′(x)＝1－2sinx，
因为x∈[－eq \f(π,2)，0]，
所以sinx∈[－1，0]，所以－2sinx∈[0，2].
所以f′(x)＝1－2sinx＞0在[－eq \f(π,2)，0]上恒成立．
所以f(x)在[－eq \f(π,2)，0]上单调递增．
所以f(x)min＝－eq \f(π,2)＋2cs (－eq \f(π,2))＝－eq \f(π,2).
答案：A
3．解析：f′(x)＝eq \f(ex－xex,（ex）2)＝eq \f(1－x,ex)，当x∈[2，4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间[2，4]上单调递减，故当x＝4时，函数f(x)有最小值eq \f(4,e4).
答案：C
4．解析：由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝±eq \r(2)，
当x<－eq \r(2)或x>eq \r(2)时，f′(x)<0，
当－eq \r(2)0，
∴当x＝－eq \r(2)时，f(x)取得极小值，
当x＝eq \r(2)时，f(x)取得极大值，故B正确．
当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)<0，
且f(eq \r(2))>0，
结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确．
答案：ABD
5．解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.
所以当x＝0时，f(x)取得最大值3.
答案：3 3
6．解析：f(x)＝eq \f(x＋a,ex)，则f′(x)＝eq \f(1－x－a,ex)，
所以当x<1－a时，f′(x)>0，当x>1－a时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，1－a)上是增函数，在(1－a，＋∞)上是减函数，
所以f(x)max＝f(1－a)＝ea－1.
答案：ea－1
7．解析：由f(x)＝eq \f(a,x2)＋2lnx，得f′(x)＝eq \f(2（x2－a）,x3)，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－eq \r(a)(舍去)或x＝eq \r(a).当0eq \r(a)时，f′(x)>0.故x＝eq \r(a)是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f(eq \r(a))＝lna＋1.要使f(x)≥2恒成立，需lna＋1≥2恒成立，则a≥e.
答案：[e，＋∞)
8．解析：f′(x)＝3x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq \f(2a,3).
(1)当eq \f(2a,3)≤0，即a≤0时，
f(x)在[0，2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
(2)当eq \f(2a,3)≥2，即a≥3时，
f(x)在[0，2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
(3)当0从而f(x)max＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8－4a（0综上所述，f(x)max＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8－4a（a≤2），,0（a>2）.))
9．解析：(1)f′(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(a,x2)＝eq \f(x＋a,x2)(x>0)，
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)不存在最小值；
当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－a，
且当0－a时，f′(x)>0.
∴当x＝－a时，f(x)取最小值，
f(－a)＝ln (－a)＋1＝2，解得a＝－e.
(2)g(x)lnx－x2，
故g(x)lnx－x2在(0，e]上恒成立．
设h(x)＝lnx－x2，则h′(x)＝eq \f(1,x)－2x＝eq \f(1－2x2,x)，
由h′(x)＝0及0当00，当eq \f(\r(2),2)∴h(x)在(0，eq \f(\r(2),2))上为增函数，在(eq \f(\r(2),2)，e]上为减函数，
∴当x＝eq \f(\r(2),2)时，h(x)取得最大值h(eq \f(\r(2),2))＝lneq \f(\r(2),2)－eq \f(1,2).
∴当g(x)10．解析：函数f(x)＝lnx＋eq \f(a,x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(a,x2)＝eq \f(x－a,x2)，
(1)∵a<0，
∴f′(x)>0，
故函数在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是eq \f(3,2)相矛盾；
②当10，f(x)单调递增，
∴函数f(x)的最小值为f(a)＝lna＋1，由lna＋1＝eq \f(3,2)，得a＝eq \r(e)；
③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋eq \f(a,e)≥2，与最小值是eq \f(3,2)相矛盾．
综上所述，a的值为eq \r(e).