高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.4 随机变量的数字特征精练

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.4 随机变量的数字特征精练，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为( )
A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(1,3)，k＝3，6，9.则D(X)等于( )
A．6B．9
C．3D．4
3．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝( )
A．eq \f(15,8)B．eq \f(15,4)
C．eq \f(5,2)D．5
4．已知随机变量X的分布列如下：
若随机变量Y满足Y＝3X－1，则Y的方差D(Y)＝( )
A．1B．2
C．3D．9
二、填空题
5．已知X的分布列为
则D(X)等于________．
6．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．
7．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．若采取放回抽样方式，从中摸出两个球，则两球恰好颜色不同的概率为________，若采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸出白球的个数的方差为________．
三、解答题
8．从5名班干部(其中男生3人，女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为ξ，求随机变量ξ的方差D(ξ).
9．根据以往经验，一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元，小雨天盈利163元，中雨天盈利90元．根据天气预报，明天无雨的概率是0.2，有小雨的概率是0.3，有中雨的概率是0.5.问：明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元？方差和标准差各是多少？
[尖子生题库]
10．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
课时作业(十六) 随机变量的数字特征(2)
1．解析：由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，
∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.
答案：B
2．解析：E(X)＝3×eq \f(1,3)＋6×eq \f(1,3)＋9×eq \f(1,3)＝6.
D(X)＝(3－6)2×eq \f(1,3)＋(6－6)2×eq \f(1,3)＋(9－6)2×eq \f(1,3)＝6.
答案：A
3．解析：两枚硬币同时出现反面的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，故ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(1,4)))，
因此D(ξ)＝10×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(15,8).故选A.
答案：A
4．解析：由题意可知，a＝1－eq \f(1,3)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，则E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,2)＋3×eq \f(1,6)＝1，则D(X)＝eq \f(1,3)×(0－1)2＋eq \f(1,2)×(1－1)2＋eq \f(1,6)×(3－1)2＝1，
又Y＝3X－1，所以D(Y)＝32D(X)＝9.
答案：D
5．解析：E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，
D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.
答案：0.61
6．解析：因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．
答案：乙
7．解析：“有放回摸取”可看作独立重复试验，
每次摸出一球是白球的概率为p＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,3))＝eq \f(4,9).“不放回抽取”时，设摸出白球的个数为X，依题意得P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) )＝eq \f(2,5)，
P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) )＝eq \f(8,15)，P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) )＝eq \f(1,15).
所以E(X)＝0×eq \f(2,5)＋1×eq \f(8,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(2,3)，
D(X)＝(0－eq \f(2,3))2×eq \f(2,5)＋(1－eq \f(2,3))2×eq \f(8,15)＋(2－eq \f(2,3))2×eq \f(1,15)＝eq \f(16,45).
答案：eq \f(4,9) eq \f(16,45)
8．解析：ξ的所有可能取值为0，1，2，所以依题意得：
P(ξ＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) )＝eq \f(1,10)，P(ξ＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) )＝eq \f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) )＝eq \f(3,10)，所以ξ的分布列为
所以E(ξ)＝0×eq \f(1,10)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＝eq \f(6,5).
D(ξ)＝(0－eq \f(6,5))2×eq \f(1,10)＋(1－eq \f(6,5))2×eq \f(3,5)＋(2－eq \f(6,5))2×eq \f(3,10)＝eq \f(9,25).
答案：eq \f(9,25)
9、解析：用X表示明天发一辆车的盈利，由题意知
P(X＝230)＝0.2，P(X＝163)＝0.3，P(X＝90)＝0.5，
所以E(X)＝230×0.2＋163×0.3＋90×0.5＝139.9(元).
所以明天发一辆长途汽车盈利的期望是139.9元．
方差D(X)＝(230－139.9)2×0.2＋(163－139.9)2×0.3＋(90－139.9)2×0.5＝3028.69，
标准差eq \r(D（X）)＝eq \r(3028.69)≈55.
所以方差和标准差各是3028.69，55.
10．解析：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10n－80，n<16,80，n≥16))n∈N.
(2)①X可能的取值为60，70，80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
X的分布列为
X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②方案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)另外，虽然E(X)方案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
由以上的计算结果可以看出，E(X)X
0
1
3
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,2)
a
X
－1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
20
ξ
0
1
2
P
eq \f(1,10)
eq \f(3,5)
eq \f(3,10)
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54