数学选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.4 随机变量的数字特征第2课时一课一练

第四章第二课时　离散型随机变量的方差

A级 必备知识基础练

1.[探究点二]设随机变量X服从二项分布,且期望E(X)=3,p=,则方差D(X)等于(　　)

A. B. C. D.2

2.[探究点一]已知随机变量X的分布列为

设Y=2X+3,则D(Y)等于(　　)

A. B. C. D.

3.[探究点一]已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X≥1)=,P(X=3)=,若X的数学期望E(X)=,则D(4X-3)=(　　)

A.19 B.16 C. D.

4.[探究点二]设随机变量X,Y满足Y=4X+1,X~B(2,p),若P(X≥1)=,则D(Y)=(　　)

A. B.3 C.6 D.8

5.[探究点一·2023吉林长春高二阶段练习](多选题)设0<p<1,已知随机变量ξ的分布列如下表,则下列结论正确的是(　　)

A.P(ξ=0)<P(ξ=2)

B.P(ξ=2)的值最大

C.E(ξ)随着p的增大而增大

D.当p=时,D(ξ)=

6.[探究点一]已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,则P(X=2)=　　　.(结果用数字表示) 

7.[探究点二]若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量X表示事件A在1次试验中发生的次数,则方差D(X)的最大值为　　　　　;的最大值为　　　　　. 

B级 关键能力提升练

8.(多选题)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则(　　)

A.X~B4, B.P(X=2)=

C.X的期望E(X)= D.X的方差D(X)=

9.将3个完全相同的小球放入3个盒子中,盒子的容量不限,且每个小球落入盒子的概率相等.记X为分配后所剩空盒的个数,Y为分配后不空盒子的个数,则(　　)

A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)

B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)

C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)

D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)

10.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,又已知E(X)=,D(X)=,则|x1-x2|的值为(　　)

A. B. C.3 D.1

11.某人共有三发子弹,他射击一次命中目标的概率是,击中目标后射击停止,射击次数X为随机变量,则方差D(X)=　　　　. 

12.已知袋中装有大小相同质地均匀的5个球,其中3个黑球和2个白球,从袋中无放回地随机取出3个球,记取出黑球的个数为X,则E(X)=　　　　　,D(X)=　　　　　. 

13.某财经杂志发起一项调查,旨在预测某地经济前景,随机访问了100位业内人士,根据被访问者的问卷得分(满分10分)将经济前景预期划分为三个等级(悲观、尚可、乐观).分级标准及这100位被访问者得分频数分布情况如下:

假设被访问的每个人独立完成问卷(互不影响),根据经验,这100位人士的意见即可代表业内人士意见,且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.

(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士,试估计至少有一人预测该地经济前景为“乐观”的概率;

(2)某人有一笔资金,现有两个备选的投资意向:物联网项目或人工智能项目,两种投资项目的年回报率都与该地经济前景等级有关,根据经验,大致关系如下(正数表示赢利,负数表示亏损):

根据以上信息,请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差,并用统计学知识给出投资建议.

C级 学科素养创新练

14.已知m,n均为正数,随机变量X的分布列如下表:

则下列结论一定成立的是(　　)

A.P(X=1)<P(X≠1)

B.E(X)=1

C.mn≤

D.D(X+1)<1

15.某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销,定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应,每天的销售数据按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分组,得到如下频率分布直方图,以不同销量的频率估计概率.试销结束后,这款酸奶正式上市,厂家只提供整箱批发:大箱每箱50瓶,批发成本85元;小箱每箱30瓶,批发成本65元.由于酸奶保质期短,当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考,决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表,比如销量为(45,55]时看作销量为50瓶).

(1)设早餐店批发一大箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量X,批发一小箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量Y,求X和Y的分布列;

(2)从早餐店的收益角度和利用所学的知识作为决策依据,该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱?(必须作出一种合理的选择)

参考答案

第二课时　离散型随机变量的方差

1.C　由于二项分布的数学期望E(X)=np=3,所以二项分布的方差D(X)=np(1-p)=3×1-=,故选C.

2.A　由X的分布列得E(X)=0×+1×+2×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×,因为Y=2X+3,则D(Y)=4D(X)=.故选A.

3.A　由题知P(X=0)=,设P(X=1)=a,则P(X=2)=-a,因此E(X)=0×+1×a+2×-a+3×,解得a=,因此离散型随机变量X的分布列如下.

则D(X)=×0-2+×1-2+×2-2+×3-2=,因此D(4X-3)=16D(X)=19.故选A.

4.C　由题意得,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=,∴D(X)=2×p×(1-p)=,

∴D(Y)=42D(X)=16×=6.故选C.

5.AD　P(ξ=0)=p-p2=p(1-p)<1-p,所以A正确;令p=,则P(ξ=2)=,P(ξ=1)=2=,所以B错误;由题意得E(ξ)=p2+2(1-p)=(p-1)2+1,因为0<p<1,所以E(ξ)随着p的增大而减小,所以C错误;当p=时,E(ξ)=1×2+2×,D(ξ)=0-2×+1-2×+2-2×,所以D正确.故选AD.

6.　∵D(Y)=4D(X)=3.2,∴D(X)=0.8.

又X~B(n,p),∴

解得p=0.8,n=5.

故P(X=2)=p2(1-p)3=.

7.　2-2　随机变量X的所有可能取值为0,1,由题意,得X的分布列为
 

,从而E(X)=0×(1-p)+1×p=p,D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.

D(X)=p-p2=-=-.因为0<p<1,所以当p=时,D(X)取得最大值,最大值为.

=2-≤2-2,当且仅当2p=,即p=时,等号成立.

故的最大值为2-2.

8.ACD　由于每次取球互不影响,故所有结果有4类:

①4次全是白球,X=0,其概率为P(X=0)=4=.

②4次只有1次是黑球,X=1,

其概率为P(X=1)=×3=.

③4次只有2次是黑球,X=2,其概率为P(X=2)=×2×2=.

④4次只有3次是黑球,X=3,其概率为P(X=3)=×3×.

⑤4次全是黑球,X=4,

其概率为P(X=4)=4=.

故X~B4,,故A正确,B错误;

因为X~B4,,所以X的期望E(X)=4×,故C正确;

因为X~B4,,所以X的方差D(X)=4×,故D正确.

故选ACD.

9.C　因为一共有3个盒子,所以X+Y=3,因此E(X)=E(3-Y)=3-E(Y),D(X)=D(3-Y)=(-1)2D(Y)=D(Y),由题意可知X=0,1,2,P(X=0)=,P(X=2)=,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-,E(X)=×0+×2+×1=,所以E(Y)=3-E(X)=3-.故选C.

10.D　∵=1,

∴随机变量X的可能取值为x1,x2,

∴

解得∴|x1-x2|=1.

故选D.

11.　由题意知X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,

∴X的分布列为

∴E(X)=1×+2×+3×,

E(X2)=1×+4×+9×,

∴D(X)=E(X2)-[E(X)]2=.

12.　由题意得X的所有可能取值为1,2,3,

P(X=1)=,P(X=2)=,

P(X=3)=,

所以X的分布列为

所以E(X)=×1+×2+×3=,

D(X)=×1-2+×2-2+×3-2=.

13.解 (1)由题意可知100名被访问者中,预测某地经济前景为“乐观”的人数为9+7+4=20人,概率为0.2,

若又随机访问了两名业内人士,至少有一个预测该地经济前景为“乐观”的概率为P=0.22+·0.2·(1-0.2)=0.36.

(2)由题意可知,预测该地经济前景为“乐观”的概率为=0.2,

预测该地经济前景为“尚可”的概率为=0.7,

预测该地经济前景为“悲观”的概率为=0.1.

设投资物联网和人工智能项目年回报率的期望分别为E(X1),E(X2),方差分别为D(X1),D(X2),

则E(X1)=0.2×12%+0.7×4%+0.1×(-4%)=4.8%,

E(X2)=0.2×7%+0.7×5%+0.1×(-2%)=4.7%,

D(X1)=0.2×(12%-4.8%)2+0.7×(4%-4.8%)2+0.1×(-4%-4.8%)2=0.001856,

D(X2)=0.2×(7%-4.7%)2+0.7×(5%-4.7%)2+0.1×(-2%-4.7%)2=0.000561.

∵E(X1)>E(X2),

∴投资物联网项目比投资人工智能项目平均年回报率要高,但二者相差不大.

∵D(X1)>D(X2),

∴投资人工智能项目比投资物联网项目年回报率稳定性更高,风险要小,

∴建议投资人工智能项目.

14.BCD　由分布列的性质得m+n+m=2m+n=1,P(X=1)=n,P(X≠1)=2m,当m=,n=时,P(X=1)=P(X≠1),故选项A错误;因为E(X)=n+2m=1,故选项B正确;因为m,n均为正数,所以1=n+2m≥2,即mn≤,当且仅当n=2m=时,等号成立,故选项C正确;由n=1-2m>0,得0<m<.又E(X)=1,所以D(X+1)=D(X)=m+m=2m<1,故选项D正确.故选BCD.

15.解(1)若早餐店批发一大箱,批发成本为85元,依题意,销量有20,30,40,50四种情况.

当销量为20瓶时,利润为5×20-85=15元,

当销量为30瓶时,利润为5×30-85=65元,

当销量为40瓶时,利润为5×40-85=115元,

当销量为50瓶时,利润为5×50-85=165元.

随机变量X的分布列为

若早餐店批发一小箱,批发成本为65元,依题意,销量有20,30两种情况.

当销量为20瓶时,利润为5×20-65=35元,

当销量为30瓶时,利润为5×30-65=85元.

随机变量Y的分布列为

(2)根据(1)中的计算结果,所以E(X)=15×0.3+65×0.4+115×0.2+165×0.1=70,

E(Y)=35×0.3+85×0.7=70,E(X)=E(Y).

D(X)=(15-70)2×0.3+(65-70)2×0.4+(115-70)2×0.2+(165-70)2×0.1=2225,

D(Y)=(35-70)2×0.3+(85-70)2×0.7=525,

所以D(X)>D(Y).

所以早餐店每天应该批发一小箱.