高中数学4.2.4 随机变量的数字特征第1课时导学案及答案

4.2.4　随机变量的数字特征

第1课时　离散型随机变量的均值

(教师独具内容)

课程标准：通过实例，理解离散型随机变量的均值．

教学重点：1.掌握两点分布、二项分布的均值.2.了解超几何分布的均值．

教学难点：会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决相关的实际问题.

知识点一　　　离散型随机变量的均值或数学期望

1．离散型随机变量的均值或数学期望

一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示：

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)．离散型随机变量X的均值E(X)也可用EX表示，它刻画了X的平均取值．

2．均值的性质

若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则由X与Y之间分布列的关系可知E(Y)＝aE(X)＋b.

知识点二　　　两点分布、二项分布、超几何分布的均值

(1)两点分布：若X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝p；

(2)二项分布：若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np；

(3)若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝.

1．求离散型随机变量均值的步骤

(1)确定离散型随机变量X的取值；

(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；

(3)根据公式写出均值．

2．离散型随机变量均值的几个常用结论

(1)E(C)＝C(C为常数)；

(2)E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；

(3)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　)

(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　)

(3)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)若随机变量η的分布列为

则η的数学期望E(η)＝________.

(2)设随机变量X～B(16，p)，且E(X)＝4，则p＝________.

(3)设口袋中有黑球、白球共7个，从中有放回地依次任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为________．

答案　(1)1.3　(2)　(3)3

题型一  求离散型随机变量的均值

例1　袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分ξ的数学期望．

[解]　取出4只球颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为

P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝，

P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝＝.

随机变量ξ的分布列为

所以E(ξ)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.

点睛

求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：

(1)确定ξ的可能取值；

(2)计算出P(ξ＝k)；

(3)写出分布列；

(4)利用E(ξ)的计算公式计算E(ξ)．

　盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．

解　X的所有可能取值为1,2,3，

则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，

P(X＝3)＝××1＝.

抽取次数X的分布列为

所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

题型二  均值性质的应用

例2　已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3.

(1)求b；

(2)求a；

(3)若η＝2ξ－3，求E(η)．

[解]　(1)由随机变量的分布列的性质，得0.5＋0.1＋b＝1，

解得b＝0.4.

(2)E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，

解得a＝7.

(3)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，

得E(η)＝E(2ξ－3)＝2E(ξ)－3＝2×6.3－3＝9.6.

点睛

求均值的关键是求出随机变量的分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用求均值的公式求解．对于求aX＋b型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出随机变量aX＋b的分布列，再用定义求解．

　已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表：

则m的值为________．

答案　

解析　由Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而E(X)＝，∴E(X)＝1×＋2m＋3n＋4×＝.又m＋n＋＋＝1，联立求得m＝.

题型三  离散型随机变量均值的实际应用

例3　某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．

(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；

(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．

[解]　(1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，

∴ξ～B.

∴P(ξ＝0)＝C×4＝，

P(ξ＝1)＝C×4＝，

P(ξ＝2)＝C×4＝，

P(ξ＝3)＝C×4＝，

P(ξ＝4)＝C×4＝.

∴ξ的分布列为

(2)∵ξ～B，∴E(ξ)＝4×＝2.

又由题意可知η＝2300－100ξ，

∴E(η)＝E(2300－100ξ)＝2300－100E(ξ)＝2300－100×2＝2100.

即所求变量η的数学期望为2100元．

点睛

解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望．

　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.

(1)求X的分布列；

(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；

(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

解　(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，

P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，

P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.

故X的分布列为

(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34，

即1件产品的平均利润为4.34万元．

(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，

依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.

1．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝(　　)

A．0.765  B．1.75  C．1.765  D．0.22

答案　B

解析　X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.

2．已知随机变量ξ的分布列为

若E(ξ)＝7.5，则a等于(　　)

A．5  B．6  C．7  D．8

答案　C

解析　由题意得，得

3．抛掷两颗骰子，若至少有一颗出现4点或5点时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的数学期望为________．

答案　

解析　一次试验成功的概率为1－＝，

故X～B，因此X的数学期望为.

4．随机变量ξ的概率分布列如下表：

尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，则E(ξ)＝________.

答案　2

解析　设“？”处的数值为t，则“！”处的数值为1－2t，所以 E(ξ)＝t＋2(1－2t)＋3t＝2.

5．交5元钱可以参加一次抽奖，一袋中有同样大小的10个球，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望．

解　设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值如下：

ξ＝2(抽到2个1元)，ξ＝6(抽到1个1元，1个5元)，ξ＝10(抽到2个5元)．

所以由题意得P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝6)＝＝，P(ξ＝10)＝＝.

所以E(ξ)＝2×＋6×＋10×＝.

又设η为抽奖者获利的可能值，则η＝ξ－5，

所以抽奖者获利的数学期望为E(η)＝E(ξ)－5＝－5＝－.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．已知ξ的分布列如图所示，若η＝3ξ＋2，则E(η)＝(　　)

A.  B.  C.  D．5

答案　A

解析　η的分布列为

而＋t＋＝1，则t＝，∴E(η)＝＋＋＝.

2．已知15000件产品中有1000件废品，从中有放回地抽取150件进行检查，查得废品数的均值为(　　)

A．20  B．10  C．5  D．15

答案　B

解析　废品率为，设150件中的废品数为X，则X～B150，，由二项分布的均值公式得E(X)＝150×＝10.

3．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为(　　)

A．1  B.  C．2  D.

答案　B

解析　随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.故选B.

4．在某次射击训练中，每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i(i＝1,2,3)次击中目标得(4－i)分，3次均未击中目标得0分．已知甲每次击中目标的概率为0.9，各次射击结果互不影响，若他的得分记为ξ，则随机变量ξ的数学期望为(　　)

A．2.889  B．2.988  C．2  D．2.96

答案　A

解析　ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝0.13＝0.001，P(ξ＝1)＝0.12×0.9＝0.009，P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09，P(ξ＝3)＝0.9，故ξ的分布列为

故E(ξ)＝0×0.001＋1×0.009＋2×0.09＋3×0.9＝2.889.故选A.

5. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝.

二、填空题

6．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是________．

答案　25

解析　抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝，所以X～B，故E(X)＝80×＝25.

7．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值E(X)＝________.

答案　

解析　∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，易知随机变量X的可能值为0,1,2,3，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×2＋2××2＝，P(X＝2)＝×2×2＋×2＝，P(X＝3)＝×2＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

8．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围为________．

答案　0，

解析　由已知条件可得P(X＝1)＝p，

P(X＝2)＝(1－p)p，

P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，

则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，

解得p＞或p＜，又由p∈(0,1)，得p∈0，.

三、解答题

9．一个口袋内有a(a>3)个大小相同的球，其中有3个红球和a－3个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E(ξ)．

解　∵p＝，∴＝，故a＝5，∴5个球中有2个白球．

解法一：白球的个数ξ的所有可能取值为0,1,2.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.

∴E(ξ)＝×0＋×1＋×2＝.

解法二：白球个数ξ服从参数为N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，则E(ξ)＝＝＝.

10．某旅游公司向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是旅游金卡(简称金卡)，向境内人士发行的是旅游银卡(简称银卡)．现有一个由36名游客组成的旅游团到某地参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡．在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E(X)．

解　该团的境内游客共有36×＝9名，其中持银卡的游客有9×＝6名．

X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.

所以X的分布列为

故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.

B级：“四能”提升训练

1．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．

(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

解　(1)由已知，得P(A)＝＝.

所以事件A发生的概率为.

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

所以随机变量X的分布列为

从而随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.

2．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．

(1)求小波参加学校合唱团的概率；

(2)求X的分布列和数学期望．

解　(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.

(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1.X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝0时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．

所以X的分布列为

从而E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－.