高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.4 随机变量的数字特征优秀课件ppt

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1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.（重点）3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.（难点）核心素养：数学建模、逻辑推理、数学运算
在一次选拔赛中，甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，概率分布如下：射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2，0.6,0.2；射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4,0.2,0.4.如果你是教练，如何比较两名射手的射击水平，选拔谁呢？通过本节课的学习，我们就会得到答案.
一、离散型随机变量的方差
【解析】E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.它们的均值相等，只根据均值无法区分这两台机床的加工质量.可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性.
2.离散型随机变量的方差如果离散型随机变量X的分布列如下表所示
因为X的均值为E(X)，所以D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝______________，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示.
2.离散型随机变量的标准差一般地，_______称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度 (或波动大小).
注意：(1)离散型随机变量方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.(2)离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，标准差与随机变量本身的单位相同.
【解析】E(ξ)＝0.1×0＋0.2×1＋0.3×2＋0.4×3＝2，所以D(ξ)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1，
【总结】求离散型随机变量的方差的方法(1)根据题目条件先求分布列.(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，当分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差.
二、两点分布与二项分布的方差
【答案】（1）用X表示命中次数，则X＝0,1.X服从两点分布，且P(X＝0)＝0. 2，P(X＝1)＝0. 8，所以D(X)＝p(1－p)＝0. 8×(1－0. 8)＝0. 1 6.
【总结】两点分布与二项分布方差的计算步骤(1)判断：判断随机变量服从什么分布.(2)计算：直接代入相应的公式求解方差.
【问题】若随机变量X的方差为D(X)，Y＝aX＋b(a，b为常数，且a≠0)，你能推导出D(X)与D(Y)的关系吗？
【详解】E(Y)＝aE(X)＋b，∴D(Y)＝D(aX＋b)＝[ax1＋b－aE(X)－b]2p1＋[ax2＋b－aE(X)－b]2p2＋…＋[axn＋b－aE(X)－b]2pn＝[ax1－aE(X)]2p1＋[ax2－aE(X)]2p2＋…＋[axn－aE(X)]2pn＝a2D(X).
【总结】(1)求随机变量Y＝aX＋b方差的方法①先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差.②应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解.(2)均值、方差在决策中的作用①均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.②方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定.③在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
1.知识清单： (1)离散型随机变量的方差、标准差. (2)两点分布与二项分布的方差. (3)D(aX＋b)＝a2D(X)(a≠0).2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：方差公式套用错误.
离散型随机变量的方差（分层练习）