高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理综合训练题，共5页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。
A．－120B．－20
C．15D．20
2．[2022·江苏·扬州高二期末]若二项式(ax2－eq \f(1,\r(x)))5的展开式中所有项的系数和为1024，则展开式中的常数项为( )
A．25B．－25
C．15D．－15
3．[2022·湖南周南中学高二期末]在(3x2－eq \f(1,x))n的展开式中，其二项式系数和为64，则所有项的系数和为________．
4．[2022·江苏连云港高二期中]在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和．
5.[2022·湖北武汉高二期末](多选)在(2x－eq \f(1,\r(x)))7的展开式中，下列说法正确的有( )
A．所有项的二项式系数和为128
B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项和第5项
D．有理项共3项
6．[2022·山东济南高二期末](多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则( )
A．a0＝－32
B．a0＋a1＋…＋a5＝－1
C．a5＝－1
D．a2＋a4＝－90
7．[2022·江苏淮安高二期末]在(eq \f(1,2)＋2x)n的展开式中，已知前三项的二项式系数之和为22，则n的值为________，展开式中系数最大的项为________．
8．[2022·重庆高二期末]已知(x2－eq \f(1,2x))n(n∈N*)的展开式共有11项．
(1)求展开式中各项二项式系数的和；
(2)求展开式中x－1的系数．
9．在已知(2x＋eq \f(1,x))n的展开式中各项的二项式系数之和为32.
(1)求n；
(2)求展开式各项系数之和；
(3)求展开式中二项式系数取得最大值的项．
10．[2022·江苏常州高二期中]若(2x＋eq \r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4.
(1)求a1＋a2＋a3＋a4的值；
(2)求(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值．
11.若(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为( )
A．(－∞，0)∪[2，3]
B．(－∞，0)∪[eq \f(1,3)，eq \f(1,2)]
C．[2，3]
D．[eq \f(1,3)，eq \f(1,2)]
12．[2022·福建福州高二期末]在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；
条件②：只有第5项的二项式系数最大；
条件③：所有项的二项式系数的和为256.
问题：在(2x2－eq \f(1,\r(3,x)))n(n∈N*)展开式中，
(1)求n的值与展开式中各项系数之和；
(2)这个展开式中是否存在有理项？若存在，将其一一列出；若不存在，请说明理由．
课时作业(八) 二项式系数的性质
1．解析：根据题意可得2n＝64，解得n＝6,
则(x－eq \f(1,x))6展开式的通项为C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) x6－k(－eq \f(1,x))k＝(－1)kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) x6－2k，
令6－2k＝0，得k＝3，
所以常数项为：C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) x6－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))eq \s\up12(3)＝－C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＝－eq \f(6×5×4,3×2×1)＝－20.故选B.
答案：B
2．解析：令x＝1可得展开式中所有项的系数和为(a－1)5＝1024，解得a＝5，则二项式(5x2－eq \f(1,\r(x)))5的展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) (5x2)5－k(－eq \f(1,\r(x)))k＝(－1)k·55－k·C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ·x10－eq \f(5,2)k，令10－eq \f(5,2)k＝0，解得k＝4，则T5＝25，即常数项为25.故选A.
答案：A
3．解析：由题意可得2n＝64，解得n＝6，
故令x＝1，则所有项的系数和为(3×1－1)6＝26＝64.
答案：64
4．解析：(1)由题意可知，展开式的二项式系数之和为29＝512.
(2)由题意可知，展开式的各项系数之和为(2－3)9＝－1.
5．解析：(2x－eq \f(1,\r(x)))7展开式的所有项的二项式系数和为27＝128，A正确；
当x＝1时，(2x－eq \f(1,\r(x)))7展开式的所有项的系数和为1，B正确；
(2x－eq \f(1,\r(x)))7展开式的二项式系数最大的项为第4项和第5项，C正确；
(2x－eq \f(1,\r(x)))7展开式的通项公式Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(7)) (2x)7－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(k)＝(－1)k·27－kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(7)) x7－eq \f(3,2)k，k∈N，k≤7，
当7－eq \f(3,2)k为整数时，k∈{0，2，4，6}，即(2x－eq \f(1,\r(x)))7的展开式中有理项共4项，D不正确．故选ABC.
答案：ABC
6．解析：(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，
取x＝－1，则有a0＝(－2)5＝－32，A正确；
取x＝0，则有a0＋a1＋…＋a5＝(－1)5＝－1，B正确；
令x＝y－1，则(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋a3y3＋a4y4＋a5y5，
因为a5y5＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) y5×(－2)0＝y5，所以a5＝1，C错误；
因为a2y2＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) y2×(－2)3＝－80y2，a4y4＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) y4×(－2)＝－10y4，所以a2＋a4＝－90，D正确．故选ABD.
答案：ABD
7．解析：由题意可得C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝1＋n＋eq \f(n（n－1）,2)＝22且n∈N*，
解得n＝6，
∴二项式(eq \f(1,2)＋2x)6＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(6)(1＋4x)6，
则(1＋4x)6展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) (4x)k＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) ·4kxk，
设展开式的第k＋1项的系数最大，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) ·4k≥C eq \\al(\s\up1(k－1),\s\d1(6)) ·4k－1,C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) ·4k≥C eq \\al(\s\up1(k＋1),\s\d1(6)) ·4k＋1))，
解得4.6≤k≤5.6，所以k＝5，
所以展开式中系数最大的项为T6＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(6)·C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(6)) ·45x5＝96x5.
答案：6 96x5
8．解析：(1)由(x2－eq \f(1,2x))n(n∈N*)的展开式共有11项可得，n＝10，
故二项式(x2－eq \f(1,2x))n(n∈N*)的展开式中各项二项式系数的和为C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(10)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(10),\s\d1(10)) ＝210＝1024.
(2)二项式(x2－eq \f(1,2x))n(n∈N*)的展开式的通项公式为
Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))eq \s\up12(10－k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2x)))eq \s\up12(k)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(k)C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) x20－3k，k＝0，1，2，3，4，…10，
令20－3k＝－1，解得：k＝7.
所以二项式(x2－eq \f(1,2x))n(n∈N*)展开式中x－1的系数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(7)×C eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(10)) ＝－eq \f(15,16).
9．解析：(1)由题知：2n＝32，解得n＝5.
(2)因为(2x＋eq \f(1,x))5，令x＝1得35＝243，
所以展开式各项系数之和为243.
(3)因为n＝5，所以展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，
因为(2x＋eq \f(1,x))5，Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) (2x)5－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(k)＝25－kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) x5－2k，
T3＝23C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) x＝80x，T4＝22C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) x－1＝40x－1.
10．解析：(1)∵(2x＋eq \r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，可得(2＋eq \r(3))4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x＝0，可得(0＋eq \r(3))4＝a0，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝(2＋eq \r(3))4－(0＋eq \r(3))4＝88＋56eq \r(3).
(2)∵(2x＋eq \r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，可得(2＋eq \r(3))4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4 ①，
令x＝－1，可得(－2＋eq \r(3))4＝a0－a1＋a2－a3＋a4 ②，
结合①②可得，(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5)
＝(2＋eq \r(3))4(－2＋eq \r(3))4＝1.
11．解析：2n＝512，n＝9，T6＝C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(9)) 24(ax)5，T5＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(9)) 25(ax)4，T7＝C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(9)) 23(ax)6，
∵第6项的系数最大，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(9)) 24a5≥C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(9)) 25a4，,C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(9)) 24a5≥C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(9)) 23a6，))则2≤a≤3.故选C.
答案：C
12．解析：(1)选①，第3项与第7项的二项式系数相等，则C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(n)) ，所以n＝2＋6＝8；
令x＝1，则(2×12－eq \f(1,\r(3,1)))8＝18＝1，则展开式中各项系数之和为1.
选②，只有第5项的二项式系数最大，所以eq \f(n,2)＝4，解得n＝8；
令x＝1，则(2×12－eq \f(1,\r(3,1)))8＝18＝1，则展开式中各项系数之和为1.
选③，所有项的二项式系数的和为256，则2n＝256，解得：n＝8.
令x＝1，则(2×12－eq \f(1,\r(3,1)))8＝18＝1，则展开式中各项系数之和为1.
(2)二项式(2x2－eq \f(1,\r(3,x)))8展开式的通项公式为：
Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(8)) (2x2)8－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－\f(1,3)))eq \s\up12(k)＝(－1)k28－kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(8)) x16－eq \f(7,3)k.
依题意可知，当k＝0，3，6时，二项展开的项都是有理项．
所以当k＝0时，T1＝256x16；当k＝3时，T4＝－1792x9；当k＝6时，T7＝112x2.
所以展开式中有理项分别为T1＝256x16；T4＝－1792x9；T7＝112x2.
练基础
提能力
培优生