高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理同步练习题，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．[2023·安徽池州高二期中]C eq \\al(1,5) ＋C eq \\al(2,5) ＋C eq \\al(3,5) ＋C eq \\al(4,5) ＋C eq \\al(5,5) ＝( )
A．64B．63
C．32D．31
2．[2023·河北唐山高二期中](1＋2x)n(n∈N*)的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则n为( )
A．10B．11
C．12D．13
3．[2023·山东枣庄高二期中](1－x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是( )
A．0B．－1
C．－32D．32
4．[2023·湖北孝感高二期末]a(a－3b)7的展开式中各项系数之和为( )
A．－256B．128
C．－128D．256
5．[2023·辽宁营口高二期末]在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(3,x)))eq \s\up12(n)的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为( )
A．16B．32
C．1D．－32
6．[2023·黑龙江佳木斯高二期中]在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝( )
A．5B．6
C．7D．8
7．[2023·湖北十堰高二期末]已知(2x－1)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024，则a1＋a2＋a3＋…＋a2024＝( )
A．1B．0C．32024D．－1
8．[2023·河南郑州高二期中]已知a>0，二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x2)))eq \s\up12(6)的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为( )
A．36B．30
C．15D．10
二、多项选择题(每小题5分，共10分)
9．[2023·广东广州高二期末]下列关于(1－eq \r(x))10的说法，正确的是( )
A．展开式的各二项式系数之和是1024
B．展开式各项系数之和是1024
C．展开式的第5项的二项式系数最大
D．展开式的第3项为45x
10．[2023·河北保定高二期中](1＋x)n展开式中二项式系数最大的是C eq \\al(5,n) ，则n可以是( )
A．8B．9C．10D．11
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．[2023·河南南阳高二期末]若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x3)))eq \s\up12(n)展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为________．(用数字作答)
12．[2023·河北沧州高二期末](x＋1)(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________．
四、解答题(共20分)
13．(10分)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x)))eq \s\up12(n)的展开式中的所有二项式系数之和为32.
(1)求n的值；
(2)求展开式中x4的系数．
14．(10分)[2023·江苏泰州高二期末]设(2x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a9x9.
(1)求a1＋a2的值；
(2)求eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a9,29)的值．
关键能力综合练
15．(5分)[2023·河南驻马店高二期末]已知(2x＋1)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，记S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a2023，S2＝a0＋a2＋a4＋…＋a2022，则S eq \\al(2,2) －S eq \\al(2,1) 的值为( )
A．－32022－1B．32022C．－32023D．32023－1
[答题区]
16.(15分)已知(eq \f(\r(x),2)＋eq \f(1,x2))n展开式的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数之比是5∶2.
(1)求展开式中含eq \f(1,x)的项；
(2)求展开式中系数最大项的系数．
同步练习9 二项式系数的性质
1．解析：C eq \\al(1,5) ＋C eq \\al(2,5) ＋C eq \\al(3,5) ＋C eq \\al(4,5) ＋C eq \\al(5,5)
＝(C eq \\al(0,5) ＋C eq \\al(1,5) ＋C eq \\al(2,5) ＋C eq \\al(3,5) ＋C eq \\al(4,5) ＋C eq \\al(5,5) )－C eq \\al(0,5)
＝25－1＝31.
答案：D
2．解析：因为(1＋2x)n(n∈N*)的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(5,n) ＝C eq \\al(6,n) ,n≥6))，解得n＝11.
答案：B
3．解析：(1－x)5的二项展开式中所有项的二项式系数之和为25＝32.
答案：D
4．解析：令a＝b＝1，得a(a－3b)7的展开式中各项系数之和为1×(1－3)7＝－128.
答案：C
5．解析：因为二项式系数的和是16，所以2n＝16，解得n＝4，
所以令x＝1得展开式中各项系数的和为(－2)4＝16.
答案：A
6．解析：因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故eq \f(n,2)＋1＝4，得n＝6.
答案：B
7．解析：令x＝0，得a0＝(－1)2024＝1.
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2024＝1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a2024＝0.
答案：B
8．解析：令x＝1，则可得所有项的系数和为(1＋a)6＝64且a>0，解得a＝1，
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x2)))eq \s\up12(6)的展开式中的通项Tk＋1＝C eq \\al(k,6) x6－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))eq \s\up12(k)＝C eq \\al(k,6) x6－3k，k＝0，1，…，6，
∴当k＝2时，展开式中的常数项为C eq \\al(2,6) ＝15.
答案：C
9．解析：对于A，(1－eq \r(x))10的展开式的各二项式系数之和是210＝1024，A正确；对于B，令eq \r(x)＝1，得(1－eq \r(x))10的展开式的各项系数之和为0，B错误；对于C，(1－eq \r(x))10的展开式的第6项的二项式系数最大，C错误；对于D，(1－eq \r(x))10的展开式的第3项为C eq \\al(2,10) (－eq \r(x))2＝45x，D正确．
答案：AD
10．解析：根据二项式系数的对称关系，
当n＝9时，所有二项式系数中，C eq \\al(4,n) ＝C eq \\al(5,n) ，且C eq \\al(4,n) ，C eq \\al(5,n) 均为最大；
当n＝10时，所有二项式系数中，C eq \\al(5,n) 最大；
当n＝11时，所有二项式系数中，C eq \\al(5,n) ＝C eq \\al(6,n) ，且C eq \\al(5,n) ，C eq \\al(6,n) 均为最大．
答案：BCD
11．解析：因为二项式系数和2n＝32，
因此n＝5，
又Tk＋1＝C eq \\al(k,5) (x2)5－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x3)))eq \s\up12(k)＝C eq \\al(k,5) (－2)kx10－5k，
令k＝2，常数项为C eq \\al(2,5) (－2)2＝40.
答案：40
12．解析：(x＋1)(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6中，
令x＝1，得2＝a0＋a1＋…＋a6，
令x＝0，得a0＝－1，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝3.
答案：3
13．解析：(1)由题意可得，2n＝32，解得n＝5.
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x)))eq \s\up12(n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x)))eq \s\up12(5)，
二项展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(k,5) (x2)5－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(k)＝C eq \\al(k,5) x10－3k，
由10－3k＝4，得k＝2.
∴展开式中x4的系数为C eq \\al(2,5) ＝10.
14．解析：(1)依题意得，a1＝C eq \\al(8,9) ×2×(－1)8＝18，a2＝C eq \\al(7,9) ×22×(－1)7＝－144，
∴a1＋a2＝18－144＝－126.
(2)令x＝0，得a0＝－1，
令x＝eq \f(1,2)，得a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a9,29)＝0，
∵a0＝－1，
∴eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a9,29)＝1.
15．解析：不妨设f(x)＝(2x＋1)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，
一方面注意到S2＋S1＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2022)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a2023)＝f(1)，
另一方面注意到S2－S1＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2022)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2023)＝f(－1)，
所以S eq \\al(2,2) －S eq \\al(2,1) ＝f(1)·f(－1)＝(2×1＋1)2023×[2×(－1)＋1]2023＝－32023.
答案：C
16．解析：(1)由已知得C eq \\al(4,n) ∶C eq \\al(2,n) ＝5∶2，
则eq \f(\f(n！,4！（n－4）！),\f(n！,2！（n－2）！))＝eq \f(2！（n－2）！,4！（n－4）！)＝eq \f(2（n－2）（n－3）（n－4）！,4×3×2（n－4）！)＝eq \f(（n－2）（n－3）,12)＝eq \f(5,2)，
则n2－5n－24＝0，即(n－8)(n＋3)＝0，
解得n＝8或n＝－3(舍去).
设展开式中含eq \f(1,x)的项为第k＋1项，
则Tk＋1＝C eq \\al(k,8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)))eq \s\up12(8－k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))eq \s\up12(k)＝C eq \\al(k,8) (eq \f(1,2))8－kxeq \s\up6(\f(8－k,2))－2k，
令eq \f(8－k,2)－2k＝－1，则k＝2，
故展开式中含eq \f(1,x)的项为C eq \\al(2,8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)))eq \s\up12(6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(7,16x).
(2)设展开式中的第k＋1项的系数最大，则有
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(k,8) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(8－k)≥C eq \\al(k＋1,8) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(7－k),C eq \\al(k,8) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(8－k)≥C eq \\al(k－1,8) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(9－k)))，
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(8！,k！（8－k）！)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(8－k)≥\f(8！,（k＋1）！（7－k）！)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(7－k),\f(8！,k！（8－k）！)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(8－k)≥\f(8！,（k－1）！（9－k）！)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(9－k)))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,8－k)×\f(1,2)≥\f(1,k＋1),\f(1,k)≥\f(1,（9－k）)×\f(1,2)))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋1≥16－2k,18－2k≥k))，解得5≤k≤6，
故展开式中系数最大项的系数为C eq \\al(5,8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝C eq \\al(6,8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝7.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
答案