人教A版 (2019)6.3 二项式定理精品课后练习题

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学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识点一 二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数Ceq \\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
知识点二 二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk.
思考 二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？
答案 一般不同．前者仅为Ceq \\al(k,n)，而后者是字母前的系数，故可能不同．
1．(a＋b)n展开式中共有n项．( × )
2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( × )
3．Ceq \\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．( × )
4．(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同．( √ )
5．二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第k＋1项相同．( × )
一、二项式定理的正用、逆用
例1 (1)求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4的展开式．
(2)化简：Ceq \\al(0,n)(x＋1)n－Ceq \\al(1,n)(x＋1)n－1＋Ceq \\al(2,n)(x＋1)n－2－…＋(－1)kCeq \\al(k,n)(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCeq \\al(n,n).
延伸探究
若(1＋eq \r(3))4＝a＋beq \r(3)(a，b为有理数)，则a＋b＝________.
反思感悟
(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
跟踪训练1 化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
二、二项展开式的通项的应用
例2 若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n展开式中前三项系数成等差数列，求：
(1)展开式中含x的一次项；
(2)展开式中所有的有理项．
反思感悟 求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪训练2 在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)－\f(1,\r(x))))6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
三、求两个多项式积的特定项
例3 (1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为( )
A．10 B．－10 C．2 D．－2
反思感悟 求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Ceq \\al(k,n)an－k(bx)k·Ceq \\al(r,m)sm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况．
跟踪训练3 (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字作答)
四、二项式定理的应用
例4 (1)试求2 01910除以8的余数；
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．
反思感悟 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．
(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))5的展开式中含x3项的二项式系数为( )
A．－10 B．10 C．－5 D．5
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x3)))5的展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80 C．40 D．－40
3．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( )
A．x3 B．－x3 C．(1－x)3 D．(x－1)3
4．若(x＋2)n的展开式共有12项，则n＝________.
5．Ceq \\al(0,n)·2n＋Ceq \\al(1,n)·2n－1＋…＋Ceq \\al(k,n)·2n－k＋…＋Ceq \\al(n,n)＝________.
1．知识清单：
(1)二项式定理．
(2)二项展开式的通项公式．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：二项式系数与系数的区别，Ceq \\al(k,n)an－kbk是展开式的第k＋1项．
1．1－2Ceq \\al(1,n)＋4Ceq \\al(2,n)－8Ceq \\al(3,n)＋…＋(－2)nCeq \\al(n,n)等于( )
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))6的展开式中的常数项为( )
A．60 B．－60 C．250 D．－250
3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))9的展开式中的第4项是( )
A．56x3 B．84x3 C．56x4 D．84x4
4．(x－eq \r(2)y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．840 B．－840 C．210 D．－210
5．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－5 B．5 C．－10 D．10
6．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
7．如果eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x2)＋\f(1,x)))n的展开式中，x2项为第3项，则自然数n＝________，其x2项的系数为________．
8．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))(eq \r(x)＋1)5的展开式中常数项等于________．
9．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
10．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
11．(多选)对于二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x3))n(n∈N*)，下列判断正确的有( )
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有一次项
12．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
13．(x2＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)－1))5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
14．已知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2－\f(1,\r(x))))n的展开式中，第9项为常数项，则：
(1)n的值为________；
(2)含x的整数次幂的项有________个．
15．(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中的项数为________．
16．已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．
(1)求和：a1Ceq \\al(0,2)－a2Ceq \\al(1,2)＋a3Ceq \\al(2,2)，a1Ceq \\al(0,3)－a2Ceq \\al(1,3)＋a3Ceq \\al(2,3)－a4Ceq \\al(3,3)；
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．
6.3.2 二项式系数的性质
学习目标 1.理解二项式系数的性质.2.会用赋值法求展开式系数的和．
知识点 二项式系数的性质
思考 若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？
答案 n＝7或8或9.
1．令f(r)＝Ceq \\al(r,n)(0≤r≤n，且r∈N)，则f(r)的图象关于直线r＝eq \f(n,2)对称．( √ )
2．二项展开式中各项系数和等于二项式系数和．( × )
3．二项展开式的二项式系数和为Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n).( × )
4．二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( × )
一、二项展开式的系数和问题
例1 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5.
延伸探究
在本例条件下，求下列各式的值：
(1)a0＋a2＋a4；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
反思感悟 二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2).
跟踪训练1 已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.
(1)求a2的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；
(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
二、二项式系数性质的应用
例2 已知f(x)＝(eq \r(3,x2)＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
反思感悟 (1)二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．
①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))解出k，即得出系数的最大项．
跟踪训练2 已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x2)))n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含的项；
(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．
1．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数的和为32，则n等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(多选)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))11的展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
3．设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于( )
A．4 B．－71 C．64 D．199
4.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))10的展开式的各项系数的和为________．
5．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数的和为________．
1．知识清单：
(1)二项式系数的性质．
(2)赋值法求各项系数的和．
2．方法归纳：一般与特殊、函数与方程．
3．常见误区：赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项．
1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是( )
A．第n－k项 B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项
2．已知(1＋x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为( )
A．212 B．211 C．210 D．29
3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数之和为( )
A．2n＋1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
4．(x－1)11的展开式中x的偶次项系数之和是( )
A．－2 048 B．－1 023 C．1 024 D．－1 024
5．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,x))＋\r(5,\f(1,x3))))n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( )
A．330 B．462 C．682 D．792
6．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
7．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为______．
8．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．
9．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．
10．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋2x))n.
(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．
11．(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则含x4项的二项式系数为( )
A．21 B．35 C．45 D．28
12．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )
A．第11项 B．第13项
C．第18项 D．第20项
13．(多选)设二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)＋\f(1,x)))n的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是( )
A．第8项 B．第9项
C．第10项 D．第11项
14．设m为正整数，(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.
15．(多选)(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为( )
A．a＝1，b＝2，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6
C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝－1，b＝－2，n＝5
16．已知(1＋meq \r(x))n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；
(3)求(1＋meq \r(x))n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
对称性
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
增减性
与最
大值
增减性：当keq \f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
各二项
式系数
的和
(1)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n；
(2)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1