人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理优秀当堂检测题

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【夯实基础】
题型1二项展开式的系数的和问题
1.的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开中各二项式系数的和为( )
A．64B．128C．D．256
【答案】D
【分析】根据二项式展开式可知，求得，进而根据二项式系数和公式即可求解.
【详解】由二项式定理可知展开式中的第6、7项分别为，其系数分别为，由题设可得，解得，故展开式中各二项式系数为，
故选：D．
2.展开式中各项系数的和为（ ）
A．B．1C．256D．
【答案】B
【分析】利用赋值，令代入二项式中，即可求得答案.
【详解】由题意可知的展开式的通项为，
由此可知令，即可得展开式中各项系数的和为，
故选：B
3.（多选题）已知二项式的展开式中所有项的系数的和为64，则（ ）
A．
B．展开式中的系数为
C．展开式中奇数项的二项式系数的和为32
D．展开式中二项式系数最大的项为
【答案】ACD
【分析】赋值法求得，根据二项式定理求展开式通项，结合二项式系数性质求的系数、奇数项的二项式系数和、二项式系数最大的项.
【详解】令，则，可得，A对；
，
当时，，B错；
由原二项式的二项式系数和为，则奇数项的二项式系数的和为32，C对；
由上知：二项式系数最大为，即，则，D对.
故选：ACD
4.（多选题）关于二项式有下列命题：
(1)该二项展开式中非常数项的系数和是1；
(2)该二项展开式中第六项为；
(3)该二项展开式中系数最大的项是第1007项；
(4)当时，除以2014的余数是2013.
其中正确命题有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由二项式展开式各项系数和为可判断（1）；
由展开式通项为可判断（2）；
由二项式系数的性质可判断（3）；
将变形为，可判断命题（4）.
【详解】令，二项式为0，所以展开式各项系数的和为0，
其中常数项为−1，所以展开式中非常数项的系数和是1，故(1)正确；
其第六项，故(2)错；
该二项展开式共有2014项，奇数项系数为正、偶数项系数为负，
由二项式系数的性质知第1007项与1008项系数的绝对值最大，故(3)正确；
当x=2014时，被2014除的余数为2014−1=2013，故(4)正确．
其中正确命题有3个．
故选：C
5.（多选题）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是20B．第4项的二项式系数最大
C．第3项是D．所有项的系数的和为0
【答案】BD
【分析】对于A：直接求常数项，即可判断；对于B：利用二项式系数的性质直接判断；对于C：求出第3项，即可判断；对于D：用赋值法，令，直接计算.
【详解】解：的展开式的通项公式为，
所以对于A选项，当，即时，常数项为，故A选项错误；
对于B选项，由于，故最大的二项式系数为，是第四项的二项式系数，故B选项正确；
对于C选项，第3项是，故C选项错误；
对于D选项，令，则，故所有项的系数的和为0，故D选项正确.
故选：BD
题型2 二项式系数性质的应用
1.的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．10D．15
【答案】A
【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．
【详解】的通项公式为，
当时，，
当时，，
故的展开式中的系数为.
故选：．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
2.已知的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中的系数为（ ）
A．20B．30C．40D．80
【答案】D
【分析】根据二项式系数和可求得的值，由各项系数和可求得的值，进而由二项定理求得的系数即可.
【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得，
所以二项式为，
因为展开式各项系数和为243，
令,代入可得，
解得 ，
所以二项式为，
则该二项式展开式的通项为 ，，
令，解得，
则展开式的系数为.
故选：D.
3.在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第5项的系数最大
B．所有项的系数和为
C．所有奇数项的二项式系数和为
D．所有偶数项的二项式系数和为
【答案】BD
【分析】比较二项式的展开式中第的系数与第项的系数，可判断A；利用二项式形式的性质，可判断BCD的正误.
【详解】在二项式展开式中，
第9项系数为，
第5项系数为，
因，所以错误.
令，得所有项系数和为，正确.
因为奇数项的二项式系数和等于偶数项二项式系数和，
为，所以错误，D正确.
故选：BD.
4.．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．-165B．165C．-55D．55
【答案】B
【分析】分别将各多项式含项的系数加起来，即可组合的性质计算即可
【详解】在的展开式中，含项的系数为．
故选：B
5.已知展开式中的二项式系数和为32，所有项系数和为，则展开式中的系数为（ ）
A．80B．40C．-80D．-40
【答案】B
【分析】由二项式系数和求得，令求得参数，然后求得展开或的系数和常数项，再由多项式乘法得结论．
【详解】由已知，二项式系数和为，则，令，则所有项的系数和为，则.
展开式的通项，
当时无解，当时，，故展开式中的系数为，
故选：B.
【点睛】结论点睛：二项式展开式中所有项的二项式系数为，的展开式中所有项系数和为，即令代入计算可得．
【能力提升】
单选题
1.在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则的值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【分析】根据题中条件得出二项展开式的总项数，再求解n的值即可.
【详解】根据题意，只有第7项为二项展开式的中间项，所以二项展开式的总项数为13，
即，解得，
故答案为：12.
2.的二项展开式中，奇数项的系数和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，令、计算即可求解.
【详解】设，
令可得，
令可得，
两式相加可得：，
所以奇数项系数之和为，
故选：C.
3.的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知，的展开式中第6项含有，利用展开公式计算即可.
【详解】解：的展开式中含的项是．
故选：A
4.若，则（ ）
A．56B．28C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，，根据二项展开式的通项可知，进而求出的值.
【详解】因为，所以，
所以，
即，
故选：D.
5.的展开式中的系数为( )
A．60B．50
C．40D．20
【答案】A
【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可得出结果.
【详解】的展开式的通项为，
则的展开式中的系数为.
故选：A.
6.已知的展开式中项的系数为42，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二项式开展式的通项公式求出含的项，进而列出方程，解方程即可.
【详解】展开式的通项
，，．
，．
项为：．
故选：D．
7.若展开式中存在常数项，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】写出展开式通项，令的指数为零，可得出，可得出为的倍数，即可得出合适的选项.
【详解】的展开式通项为，
令，可得，即，又，则为的倍数，即的值可为.
故选：C.
8.已知，则（ ）
A．64B．32
C．63D．31
【答案】C
【解析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得的值,进而由二项式系数和求得的值.
【详解】根据二项式定理展开式的逆运算可知
所以
解得
所以
故选:C
【点睛】本题考查了二项式定理展开式的逆运用,二项式系数和的应用,属于基础题.
多选题
9.在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．展开式中各项的通项公式为
B．展开式中各项的系数等于其二项式系数
C．x的幂指数是整数的项共有5项
D．展开式中存在常数项
【答案】ABC
【分析】对于A，根据二项式定理，结合幂的运算律，可得答案；
对于B，根据A写出的通项，结合单项式系数以及二项式系数的定义，可得答案；
对于C，根据二项式展开式中项的性质，建立方程，可得答案；
对于D，利用赋值法，建立方程，结合常数项的性质，可得答案.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，的通项：，各项的系数为：，二项式系数为：，两者相等，故B正确；
对于C，x的幂指数是整数，∵的通项：，
∴，且，，解得共五项，故C正确；
对于D，的通项：，∴，且，∴k无解，故D错误.
故选：ABC.
10.关于的说法，正确的是
A．展开式中的二项式系数之和为2048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
【答案】ACD
【解析】根据二项式系数的性质即可判断选项A；
由为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断选项BC；
由展开式中第6项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断选项D.
【详解】对于选项A：由二项式系数的性质知，的二项式系数之和为，故选项A正确；
因为的展开式共有项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C正确，选项B错误；
因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确；
故选：ACD
【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式的系数之和、系数最大项、系数最小项及二项式系数最大项；考查运算求解能力；区别二项式系数与系数是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
11.下列关于的说法，正确的是（ ）
A．展开式的各二项式系数之和是1024B．展开式各项系数之和是1024
C．展开式的第5项的二项式系数最大D．展开式的第3项为45x
【答案】AD
【分析】利用二项式定理，结合二项式系数的性质逐项判断作答.
【详解】对于A，的展开式的各二项式系数之和是，A正确；
对于B，令，得的展开式的各项系数之和为0，B错误；
对于C，的展开式的第6项的二项式系数最大，C错误；
对于D，的展开式的第3项为，D正确.
故选：AD
12.已知二项式，定义为取整函数，当时，，则（ ）
A．若的展开式中二项式系数之和为128，则此展开式中第5项是
B．若的展开式中系数之和为2187，则此展开式中二项式系数最大的项为第3项与第4项
C．若，则的展开式中系数最大项是第项或第1项
D．若，则的展开式中系数最大项是第项
【答案】ACD
【分析】由二项式系数之和得出，进而由通项公式判断A；由系数之和得出，再由通项判断B；根据最大项的特点结合通项公式判断CD.
【详解】对于A：若的展开式中二项式系数之和为128，则，解得，
的展开式的通项为，则此展开式中第5项是，故A正确；
对于B：若的展开式中系数之和为2187，则，解得，
的展开式的通项为，其中展开式中二项式系数最大的是和，是第项
与第项，故B错误；
对于C：的展开式的通项为，设第项系数最大，则，
即，解得，即，
当时，的展开式中系数最大项是项或项，故C正确；
对于D：若时，的展开式中系数最大项为第项，故D正确；
故选：ACD
填空题
13.的展开式中，的系数是 ．(用数字填写答案)
【答案】
【分析】求出二项式展开式的通项，令x的指数为求出r的值，从而可求的系数．
【详解】二项式展开式的通项为，
令得．
故的系数为．
故答案为：．
14.的展开式中含项的系数为 ．（用数字作答）
【答案】
【分析】利用二项展开式的通项公式可求得结果.
【详解】由题可知展开式的通项公式，
令，此时，含的项为，
所以含项的系数为．
故答案为：
15.若，则的值为 .
【答案】-1
【分析】对二项展开式用 “赋值法”： 可得
令可得：，
即可求出的值
【详解】因为，
令可得；令可得：；
故．
故答案为：-1
【点睛】方法点睛：求展开式系数和或有关展开式系数和一个非常有效的方法是赋值法.在用“赋值法”求值时，要找准代数式与已知条件的联系如何赋值，要是具体情况而定，没有一成不变的规律，灵活性较强一般的.一般地：多项式f（x）的各项系数和为f（1），奇次项系数和为f（1）-f（-1），偶次项系数和为f（1）+f（-1）；对于有些展开式要对关于x的因式赋值，要注意观察：另外在赋值法中正确使用构造法，结合函数相关性质，可以在求解二项式问题时能收到事半功倍的效果。
16.组合数被9除的余数是 ．
【答案】8
【分析】先求出，再利用二项式定理得到，求出组合数被除的余数是.
【详解】∵，
∴
，其中；
∴该组合数被除的余数是8．
故答案为：8．
解答题
17.已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．
(1)求的值；
(2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设有，结合组合数公式整理成关于n的一元二次方程求解即可.
（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含的项，结合其系数列方程求的值．
【详解】（1）由题设，，整理得，解得（舍）或；
（2）由（1）知：二项式展开式通项为，
当时为含的项，故，解得.
18.已知展开式中的第三项的系数为，求：
（1）含的项；
（2）二项式系数最大的项．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）写出二项展开式的通项，利用展开式中第三项的系数为求出的值，再令的指数为，求出参数的值，进而可求得展开中含的项；
（2）利用二项式系数的对称性可求得二项式系数最大的项.
【详解】（1）展开式的通项为，
由于展开式中第三项的系数为，即，即，整理得，
，解得，则展开式通项为，
令，解得，因此，展开式中含的项为；
（2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为.
【点睛】本题考查二项展开式中指定项的计算，同时也考查了二项式系数对称性的应用，考查计算能力，属于基础题.
19.已知．
(1)若其展开式中第5项和第6项的二项式系数相等，求；
(2)若展开式中存在常数项，求的最小值．
【答案】(1)9
(2)5
【分析】（1）由题意，由组合数的性质可得结果；
（2）展开式通项为，令，即可求得答案．
【详解】（1）由题意；
（2）展开式通项为，
令，可得，
时，有最小正整数值5．
20.已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是．
（1）求n的值；
（2）求展开式的各项系数的和；
（3）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）；（2）；（3）有理项为，，．
【分析】（1）求得第5项与第3项的二项式系数，结合题意，列出方程，化简计算，即可求得n值；
（2）由（1）可得二项式，令，代入计算，即可得答案.
（3）求得二项式展开式的通项公式，当时，为有理项，即可求得k值，即可得答案.
【详解】（1）解：依题意得，
所以解得．
（2）解：令，则有，
所以展开式的各项系数和为．
（3）解：，
其通项为．
当时，为有理项，故或或．
所以，展开式中的有理项为，和．
21.已知展开式中只有第5项的二项式系数最大.
（1）求展开式中含的项；
（2）设，求的值.
【答案】（1）；（2）0.
【分析】（1）根据二项式系数的最大项求得，再利用二项式展开式的通项公式即可求得的项；
（2）利用赋值法，即可容易求得结果.
【详解】（1）因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以
，，
所以当时，.
（2）令，得，
又，
所以
【点睛】本题考查二项式系数的单调性，以及用二项式展开式通项公式求指定项系数，以及用赋值法求系数和，属综合基础题.
22.已知的展开式中各项系数之和为
（1）求的值以及该展开式中的常数项；
（2）求的展开式中系数最大的项.
【答案】（1）；-640；（2）或.
【分析】（1）首先利用赋值，求，再利用二项展开式的通项公式求常数项；（2）首先设其第项的系数最大，则，再解不等式求最大的项.
【详解】解（1）令，则有，可得
展开式的通项为
令，得令，得
故展开式中的常数项为
（2）由（1）可知，.
设其第项的系数最大，则
即
整理得
解得，因此或，
所以第3项或第4项系数最大
故系数最大的项为或.