2023-2024学年安徽省蚌埠市铁路中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省蚌埠市铁路中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.
【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C.
【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
2．万众瞩目的北京冬奥会将于年月日正式开幕，继年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得到两椭圆离心率相同，从而得到两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，由此得解.
【详解】因为两个椭圆的扁平程度相同，所以两个椭圆的离心率相同，
所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，则，即，得，
所以小椭圆的长轴长为：．
故选：B．
3．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程．
【详解】因为过点与，
所以线段AB的中点坐标为，，
所以线段AB的中垂线的斜率为，
所以线段AB的中垂线的方程为，
又因为圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆心为，
所以圆的方程为.
故选：A
4．两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合等差中项公式和等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由两个等差数列，的前项和分别为，且，
根据等差数列的求和公式，可得.
故选：C.
5．已知为等比数列,,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件可得的值，进而由和可得解.
【详解】或.
由等比数列性质可知
或
故选D.
【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
6．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
如图所示，设分别为，和的中点
则,夹角为和夹角或其补角
因异面直线所成角的范围为
可知，
作中点，则为直角三角形
,
中，由余弦定理得：
,
在中，
在中，由余弦定理得
又异面直线所成角的范围为
异面直线与所成角的余弦值为
故选
7．已知数列满足，则数列的最小值是
A．25B．26C．27D．28
【答案】B
【详解】试题分析：因为数列中，，所以，，
，，上式相加，可得
，所以，所以
，当且仅当，即时，等式相等，故选B．
【解析】数列的求和和基本不等式的应用．
8．已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）.设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作，利用椭圆与双曲线的定义表示出，，由得出点的横坐标为，利用勾股定理可得，即，再利用基本不等式可求出最值，即可求出此时的值.
【详解】如图，作，垂足为，
根据椭圆与双曲线的定义可得，
解得，，
，
，
设点，则在中，
即点的横坐标为，即，，
由勾股定理可得，
整理得，即，
，当且仅当时等号成立，
.
故选：C.
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，已知双曲线：，则（ ）
A．的实轴长为2
B．的离心率为2
C．的渐近线方程为
D．的右焦点到渐近线的距离为
【答案】BD
【分析】根据双曲线方程可得，根据双曲线的几何性质逐项判断ABC即可，根据点到直线的距离公式即可求解D.
【详解】由双曲线：可得：，
所以，
故实轴长为，故A 错误，
离心率为，故B正确，
渐近线方程为，故C错误，
右焦点为，到渐近线的距离为，故D正确，
故选：BD
10．已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（ ）
A．数列是递减数列B．是数列中的最小项
C．满足的的最大值为14D．当且仅当时取得最大值
【答案】AC
【分析】根据，求出，可对A、B项判断；由可对C、D项判断；
【详解】对于A：由等差数列的性质可得，
因为，所以，即，
所以，所以，数列是递减数列，故A项正确；
对于B：由A项知数列是递减数列，所以最大项是首项，没有最小项，故B项错误；
对于C：由不等式，又因为，
所以，可得，
又因为，所以满足的的最大值为14，故C项正确.
对于D：因为，，
则可得当或时，取最大值，故D项错误.
故选：AC.
11．已知正方体的棱长为2，为中点，下列结论正确的是（ ）.
A．B．点到平面的距离为
C．面面D．二面角的正切值为
【答案】ABC
【分析】对于选项A：连接与交于点，连接，根据中位线得出，即可根据线面平行的判定来判断选项A；
对于选项B：取的中点，连接与交于点，根据三角形全等得出角相等，即可得出，由正方体的性质得出，即可得出面，
则点到平面的距离为,在通过计算即可判断选项B；
对于选项C：连接交于点，连接,通过等腰三角形的三线合一得出，再通过勾股定理得出，即可根据面面垂直的判定来判断选项C；
对于选项D：通过等腰三角形的三线合一得出,,则面与面的二面角的平面角为，再在直角三角形中，计算得出，即可判断选项D.
【详解】对于选项A：

连接与交于点，连接，
四边形为正方形，
点为的中点，
点为的中点，
为的中位线，
，
面，面，
，故选项A正确；
对于选项B：

取的中点，连接与交于点，
为正方形，点为的中点，
，，
,
,
,
,则，
，
面,面，
，
面，面，，
面，
点到平面的距离为,
,即，解得,
故点到平面的距离为，故选项B正确；
对于选项C：

连接交于点，连接,
,点为中点，
，
,,,
,
,
面，面，,
面，
面，
面面，故选项C正确；
对于选项D：

,，点为中点，
,,
面面，
面与面的二面角的平面角为，
在直角三角形中，，故选项D错误；
故选：ABC.
12．记的图象为，如图，一光线从x轴上方沿直线射入，经过上点反射后，再经过上点反射后经过点P，直线交直线于点Q，下面说法正确的是（ ）
A．B．
C．以为直径的圆与直线相切D．P，N，Q三点共线
【答案】ACD
【分析】由坐标可得直线方程，联立与抛物线方程，由韦达定理可得A；由焦点弦长公式可得，得选项B；由中点到直线的距离等于的一半可得选项C；联立直线可得坐标，由光学性质可得D.
【详解】利用抛物线的光学性质，平行于对称轴的光线，经过抛物线的反射后集中于它的焦点；
从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.
因为，焦点，
所以直线：.
由消去y并化简得，
选项A，，，，故A正确；
选项B，又，故，，
故，故B错误；
选项C，由，抛物线的准线为，
的中点到准线的距离为，
即等于的一半，即以为直径的圆与直线相切，故C正确；
选项D，直线的方程，与联立，可得Q点的横坐标为，
从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.
由点在直线上，则三点都在直线上，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知等比数列满足，，则 .
【答案】6
【分析】运用等比中项即可求解，注意公比平方大于0.
【详解】，
所以，由知，
故，
故答案为：6
14．在空间直角坐标系中，已知点，，，若、、三点共线，则 ．
【答案】
【详解】，
、、三点共线，
，可知
，解得
，解得
则
点睛：本题考查的是空间直角坐标系和三点共线的知识点，要掌握三点共线的特点，由含有公共点的向量结合共线定理可以先求出的值，然后计算求得、，从而求得结果
15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 .
【答案】/
【分析】点关于的对称点为，则最小值即为点到圆心的距离与半径的差，求出即可.
【详解】设：，圆心为，半径为
点关于的对称点为
则，解得，即
则“将军饮马”的最短总路程为.
故答案为：
16．是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆的离心率为 .
【答案】/0.5
【分析】先由求得，再利用求得，即可求出离心率.
【详解】
由于椭圆关于原点对称，不妨设点在轴上方.设点纵坐标为，点纵坐标为，内切圆半径为，椭圆长轴长为，焦距为，
则，得，又，
即，又，化简得，即，
解得，可得离心率为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)求过点且与圆相切的直线方程．
【答案】(1)x2+y2﹣2x﹣3＝0；
(2)y＝2或4x﹣3y+6＝0．
【分析】（1）由圆心在直线上，设圆心为（1，t），再由经过，两点可得1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，求得圆心和半径即可得解；
（2）根据题意切线的斜率存在可设直线方程为y＝kx+2，再利用直线和圆相切可得
d＝＝2，求得即可得解.
【详解】（1）根据题意，设圆心C的坐标为（1，t），
则有1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，
解可得t＝0，
即圆心的坐标为（1，0），
圆的半径r＝＝2，
则圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0；
（2）根据题意，圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，
过点P（0，2）作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为k，
则切线的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0；
则有d＝＝2，解可得k＝0或；
故切线的方程为y＝2或4x﹣3y+6＝0．
18．已知是等差数列的前项和，若， .
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式列方程组即可求出和，即可求解；
（2）求出，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意得：
∴即
∴.
（2）由（1）知，
∴
∴.
19．如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的余弦值；
(3)求平面与平面的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质即可得证；
（2）（3）取的中点，连接，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间坐标系，利用空间向量解答.
【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
（2）解：取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，
由，令，
则，
设直线与平面所成角为，
，
则直线与平面所成角的余弦值为；
（3）解：设平面的法向量为，
由，令，则，
设平面与平面的夹角为，
，
所以平面与平面的夹角的正弦值为．
20．记数列的前项和为，已知.
(1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）利用推得，从而利用等比数列的定义即可证明，进而求得；
（2）利用错位相减法结合分组求和法即可求出.
【详解】（1）因为，
当时，，解得得；
当时，由，得，
两式相减得，即，
则，即，
又，故，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，
所以．
（2）由（1）得，
所以,
所以，
则，
两式相减，得
，
所以．
21．已知动圆经过点，且与直线相切．设圆心的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)设为直线上任意一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义即可得出答案；
（2）由题意可得点，切线方程为或，联立方程，根据结合韦达定理证明或即可.
【详解】（1）由题意可得点到点的距离与到直线的距离相等，
根据抛物线定义，圆心的轨迹为抛物线，且焦点为，准线方程为，
所以曲线的方程为；
（2）法一：由题意，过点的切线斜率存在，且不为，
设点，切线方程为，
联立，得，
则，
由于过点存在两条切线，故关于的方程有两个不相等的实数根，，
且由根与系数的关系得，，
设切线、的斜率分别为，，则，
所以直线．
法二：由题意，过点的切线斜率存在，且不为，
设点，切线方程为，
联立，得，
则，
由于过点存在两条切线，故关于的方程有两个不相等的实数根，，
且由根与系数的关系得，，
设切线、的斜率分别为，，则，
所以直线．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．已知双曲线与直线有唯一的公共点．
(1)点在直线l上，求直线l的方程；
(2)设点分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为的内心．
①点M的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由．
②求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①是定值为1；②
【分析】（1）代入根据判别式等于0即可；
（2）①根据双曲线定义即可得到定值；②设，再通过化简得到斜率之和表达式，再求出范围即可.
【详解】（1）联立方程得；
得：，
；
；又，
，即.
（2）①P为的内切圆与x轴的切点，由定义知：
，
与E重合，，
同理：.
②设，
．
下求的范围,
当直线AB斜率不存在时，满足题意，
当直线AB斜率存在时，设为，
即代入（1）中求的，
，
或，，
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键可以转化角度的函数表达式，再通过设线法求出角度的范围，从而求出答案.