2023-2024学年安徽省宣城市宣城中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省宣城市宣城中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】由，，可知直线斜率，
所以直线倾斜角满足，且，所以.
故选：B
2．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出双曲线的离心率和渐近线方程，然后逐项求解即可判断.
【详解】双曲线中，，，，渐近线，
对于A：，，，，渐近线，故A错误；
对于B ：，，，，渐近线，故B错误；
对于C ：，，，，渐近线，故C正确；
对于D：，，，，渐近线，故D错误.
故选：C.
3．已知圆，圆，则两圆公共弦所在的直线过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由两圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，然后即可求解.
【详解】由题意知圆：，圆：，
将两圆方程式相减得两圆公共弦所在直线方程为，
变形得，由得，
即公共弦所在直线过定点，故D项正确.
故选：D.
4．数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}中的最大项是
A．3B．19
C． D．
【答案】C
【解析】把数列看作函数，利用基本不等式求最值，注意n只能取正整数．
【详解】令f(x)＝x＋ (x＞0)，运用基本不等式得f(x)≥2，当且仅当x＝3时，等号成立．因为an＝，所以，由于n∈N*，故当n＝9或n＝10时，an＝最大．
故选：C.
【点睛】本题考查求数列的最大项或最小项问题．数列看作特殊的函数，可以利用函数性质求最值，只是在解题时要注意自变量取值范围是正整数．
5．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线与所成角的余弦值．
【详解】图，
设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，
以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
，
又异面直线所成角的范围为，
故异面直线与所成角的余弦值为．
故选：A．
6．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出a、b，进而求出面积.
【详解】设，，则有，两式作差得：，
即，
弦中点坐标为，则，
又∵，∴，∴，
又∵，∴可解得，，
故椭圆的面积为.
故选：C
7．如图，已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，B与D之间距离为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可.
【详解】过和分别作，，
在矩形，，
，
，则，即，
平面与平面所成角的余弦值为，
，
，
，
则， 即与之间距离为，
故选：B．
8．已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由双曲线的对称性与定义得到，关于的表达式，从而利用题设条件与余弦定理得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解.
【详解】如图，记双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知，四边形是平行四边形，
则，因为，则，
设，则，又，
所以，即，，则，
因为，所以，
在中，，
即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
此时由于，当且仅当时，等号成立，
注意当时，，不满足题意，
故，所以当时，有解，
且由得，满足题意，所以的最小值为．
故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用双曲线定义和余弦定理得到，最后利用基本不等式求出最值.
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．若直线l的斜率，则该直线倾斜角的取值范围是
B．已知向量，，若，则为钝角
C．若与，共面，则存在实数，，使
D．过，两点的所有直线的方程为
【答案】BCD
【分析】根据斜率与倾斜角的关系，即可对A项判断；向量与夹角为钝角时需且两向量不反向共线，即可对B项判断；由共面向量的知识即可对C项判断；由直线的两点式方程即可对D项判断.
【详解】对A：直线斜率，则，所以，故A正确；
对B：当与共线且反向时，有，即，解得，即，故B错误；
对C：若与共线，则不存在实数，，故C错误；
对D：若或，则方程不成立，故D错误．
故选：BCD．
10．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线C为圆
B．“”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件
C．存在实数，使曲线C为双曲线，且离心率为
D．当时，过点且与双曲线C仅有一个公共点的直线有3条
【答案】AB
【分析】根据圆的方程特征判断A，根据椭圆的方程特征列不等式求解的范围，结合充分条件、必要条件的定义判断B，根据双曲线方程特征列不等式求的范围，再根据离心率列方程求解判断C，根据直线与双曲线的位置关系判断D.
【详解】对于A，当时，曲线C的方程为表示圆，正确；
对于B，若曲线C表示椭圆，则，解得的范围为，
所以“”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件，正确；
对于C，若曲线C为双曲线，则，解得或，
若离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即，无解，
故不存在这样的实数k，错误；
对于D，当时，曲线C的方程为，其渐近线为，
设过点的直线为，当直线的斜率不存在时，，
因为，所以直线与双曲线C有两个交点，不合题意；
当直线的斜率存在时，设为即，
联立得
当即时，易知点在渐近线，
所以当时，直线与另一条渐近线平行，此时与曲线C只有一个公共点，
当即时，由题意，，
化简得，解得或（舍去），
综上，与双曲线仅有一个公共点的直线有1条切线和1条平行于渐近线，共2条，错误；
故选：AB
11．如图，在平面直角坐标系中，线段过点，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A．点A的轨迹是一个圆
B．的最大值为
C．当三点不共线时，面积的最大值为2
D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】由条件可得，设，由此可化得，即可判断A，当直线与圆相切时，最大，由此可判断B，，求出的最大值可判断C，当三点共线且点位于之间时，最小，求出最小值可判断D.
【详解】因为、，
所以，设，则，
化简得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A正确，
当直线与圆相切时，最大，
设直线的方程为，则有，解得，
所以此时直线的倾斜角为，即的最大值为，故B正确，
因为，所以，
因为，的最大值为，
所以的最大值为，的最大值为，故C正确，
当三点共线且点位于之间时，最小，最小值为，故D错误，
故选：ABC
12．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的，两点，且，下列结论正确的有（ ）
A．直线的斜率B．若，则
C．若平分，则D．
【答案】ACD
【分析】A选项，由判别式可判断选项正误；D选项，由抛物线定义结合可判断选项正误；B选项，如图，过，作准线垂线，垂足为，由抛物线定义结合可判断选项正误；C选项，方法1，通过证明，可得，即可得坐标，后由抛物线定义可求得；方法2，设 关于轴的对称点为，通过说明三点共线，可得，后同方法1；方法3，由角平分线定理结合抛物线定义可得，后同方法1；方法4，利用结合，可得，即可得，后同方法1.
【详解】知抛物线的焦点为，准线为，则，
由抛物线的对称性，不妨设直线的方程为，，，
则由则由整理得，
由且，解得或，所以，故A正确；
由韦达定理得，又，故D正确；
对于B：若，即，所以，
设，在准线上的投影分别为，，则即，故B错误；
选项C，方法1：如图，过、作轴垂线，垂足为，.
则，
又，所以.
注意到，
则.
则，即存在满足题意，故D正确；
方法2：设 关于轴的对称点为，则.
注意到：
，则、、三点共线，
所以，其余同方法1；
方法3：若平分，则由角平分线定理可得，
所以，又，.
即，下同方法1；
方法4：只需，即，
注意到，，则
，解得或3（舍去），后同方法1，故C正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：应难以直接用坐标表示角度，故角平分线条件常通过角平分线定理，相似，三角函数等转化为与长度，特殊角度相关的条件.
三、填空题
13．已知向量在向量上的投影向量是，且，则 .
【答案】/
【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，且向量在向量上的投影向量为，
即，
所以.
故答案为：
14．数列满足，且，则数列的前项的和 ．
【答案】
【分析】根据递推公式可求出是以为周期的周期数列，从而可求解.
【详解】因为，且，
令，可得；令，可得；
令，可得；令，可得；
可知数列是以为周期的周期数列，
则，且，
所以．
故答案为：.
15．过抛物线上一点P，向圆作切线，切点分别为A，B，则当最大时，P点坐标为 .
【答案】
【分析】由最大时，取最小值即可求解.
【详解】设，最大时，取最小值，由已知得
，
所以当时，取最小值，即最大.
故答案为：
16．设分别是椭圆：的左、右焦点，B是椭圆C的下顶点，点A在椭圆C上且位于第一象限．若，且平分，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】方法一：先求出点的坐标，再代入椭圆方程即可求解；方法二：根据椭圆的性质表示出线段的长度，再根据余弦定理即可求解.
【详解】法一：
设，则，交x轴于M，
由，
又，又，
则的方程为：，所以，
所以代入椭圆得：，
所以．
法二：
由，则，
在中：由余弦定理得①，
在中：由余弦定理得②，
由①②得，所以，所以，
所以，
所以，所以；
故答案为：.
四、解答题
17．已知三角形ABC的三个顶点是A(1，1)，B(-1，3)，C(3，4).
（1）求边BC的高所在直线l1的方程；
（2）若直线l2过点C，且A､B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．
（2）利用斜率计算公式、中点坐标公式、直线平行的性质、点斜式即可得出．
【详解】（1），，
直线的方程是，即．
（2）直线过点且、到直线的距离相等，
直线与平行或过的中点，
，直线的方程是，即，
的中点的坐标为，
，直线的方程是，即，
综上，直线的方程是或．
18．如图，在四棱锥中，，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理判断平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用空间向量求解平面与平面所成角的余弦值.
【详解】（1）取中点，连接，，
因为，O为BD中点，所以．
在、中，因为，，，
所以，
又在中，，所以．
又，，所以，
又，，平面，所以面，
又面，所以面面．
（2）由于为等腰直角三角形，为斜边的中点，所以，
由（1）知平面，
以O为原点，OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
由，和得和
令，，则，，
设法向量，所成的角为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
19．已知圆C：和定点，直线l：（）.
(1)当时，求直线l被圆C所截得的弦长；
(2)若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点到直线的距离公式、勾股定理以及圆的几何性质求得弦长.
（2）先求得点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）圆C：，圆心，半径，
当时，直线l的方程为，
所以圆心C到直线l的距离，
故弦长为.

（2）设，则，
由，，得.
化简得，
所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆.
又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点，
所以，
解得，
所以m的取值范围是.

20．已知圆，一动圆P与直线相切且与圆C外切．
(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；
(2)已知过的直线与曲线T交于A，B两点，点，直线，分别与曲线T交于C，D两点，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用直接法，设出点坐标根据相切关系找到等量关系即可求动圆圆心P的轨迹T的方程；
（2）由题意设直线，直线，直线CD：联立抛物线方程，结合韦达定理即可证明．
【详解】（1）由题意知圆的圆心，半径；
设，易知点在直线右侧，
所以到直线的距离为，又，
由相切可得，即，
化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为；
（2）设，，直线，设，，
与抛物线联立，得，因此，．
设直线，与抛物线联立，得，
因此，，则．同理可得．
设直线CD：，与抛物线联立，得，
因此，
由，得，，
所以，即
所以直线的方程为，即直线CD过定点．
21．如图（1）所示，在中，，，，DE垂直平分AB．现将三角形ADE沿DE折起，使得二面角大小为60°，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点A记作点P）．

(1)求点D到面PEC的距离；
(2)点Q为一动点，满足，当直线BQ与平面PEC所成角最大时，试确定点Q的位置．
【答案】(1)
(2)见解析.
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离；
（2）利用空间向量的坐标运算表示出线面夹角的正弦值，即可求最大值.
【详解】（1）由，，，
得，
所以,所以,,
因为垂直平分，所以，
所以为平面与平面的二面角的平面角，
所以，，所以为等边三角形，
取中点，连接，所以
因为平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面，
因为，，所以为二面角的平面角，
所以，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则.
所以
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以点D到面PEC的距离为.
（2）设因为，所以
所以，所以
所以，
设直线线BQ与平面PEC所成角为，
，
所以当时，有最大值为.
此时直线与平面所成角最大，
即当时，直线与平面所成角最大.
22．已知分别是双曲线的左、右焦点，A是双曲线C的左顶点，，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由双曲线的定义和离心率求出双曲线方程；
（2）设直线的方程为,联立可知,利用韦达定理和中点坐标公式求出线段的垂直平分线方程,再利用题设面积可求出,结合即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）．
由得， ，即
又离心率，所以，即
所以双曲线C的方程为．
（2）
设直线的方程为．
点，，，的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得．
此方程有两个不等实根，于是，且．
整理得． ③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标，满足，．
从而线段的垂直平分线方程为．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．
由题设可得．
整理得，．
将上式代入③式得，整理得，．
解得或．
所以的取值范围是．
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质及双曲线方程的求法,考查直线与双曲线的位置关系的应用.
第一问由双曲线的定义和离心率求出双曲线方程；
第二问设直线的方程为,联立可知,利用韦达定理和中点坐标公式求出线段的垂直平分线方程,再利用题设面积可求出,结合即可求出实数的取值范围.