2023-2024学年安徽省蚌埠市第二中学高二上学期12月月巩固检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省蚌埠市第二中学高二上学期12月月巩固检测数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知双曲线C:y225−x2144=1，则其渐近线方程为
( )
A. y=±25144xB. y=±513xC. y=±25169xD. y=±512x
2.已知向量a=(−2,1,−1)，b=(4,−2,x)，若a与b共线，则实数x的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
3.数列an的首项为8，bn为等差数列，且bn=an+1−ann∈N∗，若b3=−2，b10=12，则a8等于
( )
A. 0B. 3C. 8D. 11
4.已知直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2=12，则直线l恒过定点( )
A. (−4,0)B. (0,−4)C. (−8,0)D. (0,−8)
5.如图，圆x2+y2=8内有一点P0−1,1，AB为过点P0的弦，若弦AB被点P0平分时，则直线AB的方程是
( )
A. x+y−2=0B. x−2y+5=0C. x−y+2=0D. x+2y−15=0
6.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C是边长为4的正方形，AB=3，BC=5，且AF=3FA1，则异面直线AC1与BF所成的角为
( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若F1P:PQ=1:2，且cs∠F1QF2=23，则C的离心率为
( )
A. 3B. 2C. 3D. 2
8.已知数列{an}是各项为正数的等比数列，公比为q，在a1，a2之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为d1，在a2，a3之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为d2，⋯，在an，an+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，公差为dn，则
( )
A. 当01时，数列{dn}单调递增
C. 当d1>d2时，数列{dn}单调递减D. 当d1二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列an是等比数列，以下结论正确的是
( )
A. {an2}是等比数列
B. 若a3=2，a7=32，则a5=±8
C. 若a1D. 若数列an的前n项和Sn=3n+r，则r=−1
10.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=4，AA1=3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则
( )
A. 点B1的坐标为4,5,3B. 点B关于点D对称的点为−4,−5,0
C. CA1=(4,−5,3)，D. 点B1关于x轴对称的点为−4,5,3
11.已知直线AC与BD经过坐标原点O，且AC⊥BD，A、B、C、D均为圆P:x2−6x+y2−8y−9=0上的点，则
( )
A. 圆心P到直线AC的距离的最小值为5
B. 弦AB，BC，CD，DA的中点满足四点共圆
C. 1OA+2OC的最小值为2 23
D. 四边形ABCD的面积的取值范围是6 34,43
12.已知F为椭圆C：x216+y28=1的左焦点，经过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，AD⊥x轴，垂足为D，BD与椭圆C的另一个交点为E，则
( )
A. AB⊥AEB. △ABD面积的最大值为4 2
C. △ABF周长的最小值为12D. 1AF+16BF的最小值为258
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.抛物线y=4x2的焦点坐标是 ．
14.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若a8b8=43，则S15T15= ．
15.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论： ①SA+SB−SC−SD=0; ②SA−SB+SC−SD=0; ③SA⋅SB=SC⋅SD; ④SA⋅SC=0，其中正确结论的序号是 ．
16.P为双曲线x24−y29=1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且PF1·PF2=0，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知▵ABC的顶点坐标分别为A1,2，B−2,−1，C2,−3．
(1)求BC边上的中线所在的直线的方程；
(2)若直线l过点B，且与直线AC平行，求直线l 的方程．
18.(本小题12分)
已知直线l:y=2，圆C的圆心在x轴正半轴上，且圆C与l和y轴均相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线x+by−1=0与圆C交于A，B两点，且AB=2 3，求b的值．
19.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=π3,BM⊥平面ABCD,BM//DN，BM=2DN= 6．
(1)证明：平面AMC⊥平面ANC．
(2)求平面AMN与平面CMN夹角的大小．
20.(本小题12分)
在数列an中a1=1，且an+1=an2+12n+1n∈N+．
(1)求证：数列2n⋅an为等差数列；
(2)求数列an的前n项和Sn．
21.(本小题12分)
椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率e= 22，并且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是2 2．
(1)求椭圆C1与C2的方程；
(2)设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆C1长轴两个顶点A，B的连线PA，PB分别与椭圆C1交于E，F点.
(i)求证：直线PA，PB斜率之积为常数；
(ii)直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．
22.(本小题12分)
已知等轴双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(4,0)，过右焦点F作斜率为正的直线l，直线l交双曲线的右支于P，Q两点，分别交两条渐近线于M，N两点，点M，P在第一象限，O是原点．
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)设△OMP,△ONP,△OPQ的面积分别为S1,S2,S3，求S3S1⋅S2的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据双曲线方程直接得到双曲线的渐近线方程．
【详解】双曲线C:y225−x2144=1的渐近线方程为y=±512x．
故选：D
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查向量共线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
由向量共线的性质求解即可．
【解答】
解：向量a=(−2,1,−1)，b=(4,−2,x)，
若a与b共线，则−24=1−2=−1x，
解得x=2．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】【分析】设等差数列bn的公差为d，根据题意，列出方程组，求得b1,d，得到bn=2n−8，得到an+1−an=2n−8，结合累加法，即可求解．
【详解】设等差数列bn的公差为d，
因为b3=−2，b10=12，可得b1+2d=−2b1+9d=12，可得b1=−6,d=2，可得bn=2n−8，
又因为bn=an+1−an，即an+1−an=2n−8，
所以a8=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯++(a8−a7)=8−6−4−2+0+2+4+6=8．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线中的定点问题，抛物线的方程，解题中需要理清数量关系，属于中档题．
设直线l的方程为x=my+b，联立抛物线的方程，由韦达定理可得y1y2=−4b，再结合k1k2=12，解得b，进而可得答案．
【解答】
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2=12，
所以y1x1⋅y2x2=12，
所以y1⋅y2y124⋅y224=12，即y1y2=32，
设直线l的方程为x=my+b，
联立抛物线的方程得，y2−4my−4b=0，
所以y1y2=−4b，
即−4b=32，解得b=−8，
所以直线l恒过点(−8,0)．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】【分析】由题意，AB⊥OP，则kAB=−1kOP，点斜式求直线AB的方程，化为一般式即可．
【详解】圆x2+y2=8，圆心坐标O0,0，kOP=−1，
弦AB被点P0平分时，AB⊥OP，则kAB=1，
直线AB过点P0，方程为y−1=x+1，即x−y+2=0．
故选：C
6.【答案】C
【解析】【分析】分析得出AB⊥AC，以点A为坐标原点，AB、AC、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线AC1与BF所成的角．
【详解】由题意可知，AC=4，因为AB=3，BC=5，则AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，
因为AA1⊥平面ABC，以点A为坐标原点，AB、AC、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点B3,0,0、F0,0,3、A0,0,0、C10,4,4，AC1=0,4,4，BF=−3,0,3，
cs=BF⋅AC1BF⋅AC1=123 2×4 2=12，
因此，异面直线AC1与BF所成的角为60∘．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】由向量的关系求出线段之间的关系，设|PF1|=x，则|PQ|=2x，|QF1|=3x，再由双曲线的定义可得|PF2|=2a+x，|QF2|=3x−2a，再由数量积为可得直线的垂直，分别在两个直角三角形中由余弦定理可得a，c的关系，可求出离心率．
【详解】F1P:PQ=1:2，设|PF1|=x，则|PQ|=2x，|QF1|=3x，
由双曲线的定义可得|PF2|=2a+x，|QF2|=3x−2a，
因为cs∠F1QF2=23，
在▵QF1F2中，由余弦定理有F1F22=QF12+QF22−2QF1⋅QF2⋅cs∠F1QF2，
即4c2=(3x)2+(3x−2a)2−2×3x(3x−2a)×23，①
在▵PQF2中，由余弦定理有PF22=PQ2+QF22−2PQ⋅QF2⋅cs∠F1QF2，
即(2a+x)2=(3x−2a)2+(2x)2−2(3x−2a)(2x)×23，②
由②可得x=83a，代入①可得c2=9a2，即c=3a．
所以C的离心率为：e=ca=3，
故选：A．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查数列的单调性，等差数列和等比数列，属于较难题．
由题意可得dn=an+1−ann+1=a1qn−1q−1n+1，依此讨论q比较dn−dn−1即可．
【解答】
解：由题意，dn=an+1−ann+1=a1qn−1q−1n+1，
dn−dn−1=a1qn−1q−1n+1−a1qn−2q−1n=a1qn−2q−1qn−n−1nn+1，
因为an>0，q>0，
当q−1qn−n−1>0，即01+1n时，数列{dn}单调递增；
当 q−1qn−n−1<0，即1故A，B均不正确；
令n=2，可得d2−d1=a1q−12q−36，
当d2−d1<0时，1∵当n⩾3时， 1+1n<32，∴不能得到dn−dn−1<0恒成立，故C不正确；
当d2−d1>0时，032，当n⩾3时，32>1+1n，则此时dn−dn−1>0，又d2>d1，所以数列{dn}单调递增，故D选项正确．
故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答．
【详解】令等比数列an的公比为q，则an=a1qn−1，
对于A，an+12an2=(an+1an)2=q2，且a12≠0，则{an2}是等比数列， A正确；
对于B，a3=2>0，则a5=a3q2>0， B错误；
对于C，由a10a1q(q−1)>0，则q>0a1(q−1)>0,an+1−an=qn−1⋅a1(q−1)>0,
即∀n∈N∗，an+1>an，数列an是递增数列， C正确；
对于D，显然q≠1，则Sn=a1(1−qn)1−q=a1q−1⋅qn−a1q−1，而Sn=3n+r，
因此q=3,a1q−1=1,r=−a1q−1=−1， D正确．
故选：ACD
10.【答案】ABC
【解析】【分析】根据题中条件，由空间直角坐标系，求出相关点的坐标，结合向量的坐标表示和对称相关结论逐项判断，即可得出结果．
【详解】根据题意知：点B1的坐标为4,5,3，选项 A正确；
点B1关于x轴对称的点为4,−5,−3，选项 D错误；
点B的坐标为4,5,0，故点B关于点D对称的点为−4,−5,0，选项 B正确；
点C的坐标为0,5,0，点A1的坐标为4,0,3，
所以CA1=(4,−5,3)，选项 C正确；
故选：ABC．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】根据圆心P到直线AC的最大距离为5，可判定A不正确；根据题意，的得到四边形EFGH为矩形，可判定 B正确；由圆的弦长公式，得到OC⋅OA=9，结合基本不等式，可判定 C正确；根据圆的弦长公式，得到SABCD=2 306+(d1d2)2，结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】由圆P:x2−6x+y2−8y−9=0，可得圆心P(3,4)，半径为r= 34，
对于A中，因为直线AC过原点，且OP=5，所以圆心P到直线AC的最大距离为5，所以A不正确；
对于B中，如图所示，设E,F,G,H分别为AD,AB,BC,CD的中点，
可得EF//GH且EF=GH，所以EFGH为平行四边形，
又因为AC⊥BD，所以EF⊥FG，所以四边形EFGH为矩形，
所以E,F,G,H四点共圆，所以 B正确；
对于C中，如图所示，取M,N分别为BD,AC的中点，PM⊥BD,PH⊥AC，
且PM=d1,PN=d2，可得d12+d22=25，
则CN=AN= 34−d22，可得OC=CN−d1,OA=CN+d1，
可得OC⋅OA=CN2−d12=34−(d12+d22)=9，
所以1OA+2OC≥2 1OA×2OC=2 23，当且仅当OC=OA时，等号成立，
所以1OA+2OC的最小值为2 23，所以 C正确；
对于D中，AC=2 34−d22,BD=2 34−d12，
因为直线AC和BD经过坐标原点O且互相垂直，且d12+d22=25，
所以SABCD=12AC⋅BD=2 1156−34(d12+d22)+(d1d2)2=2 306+(d1d2)2，
令t=d22=25−d12∈[0,5]，
所以SABCD=2 306+(d1d2)2=2 306+d12d22=2 306+d22(25−d22)=2 306+25t−t2，
当t=252时，即d1=d2时，可得面积的最大值，最大值为43，
当t=0或25时，可得面积的最小值2 306=6 34，
所以四边形ABCD的面积的取值范围为[6 34,43]，所以 D正确．
故选：BCD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查直线与椭圆的综合应用，掌握基本不等式公式，以及斜率公式是解本题的关键，属于难题．
根据已知条件，结合基本不等式公式以及斜率公式，逐项分析即可得出答案．
【解答】
解：设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，BF′，
如图所示：
对于A，
设E(m,n)，直线EA的斜率为kEA，BE的斜率为kBE，直线AB的斜率为k，
设A(x ​0，y ​0)，则B(−x ​0，−y ​0)，E(x ​0，0)，
故直线BE的斜率 kBE=0+y0x0+x0= 12⋅y0x0=12k，
因为A，E在椭圆上，
所以m216+n28=1，x0216+y028=1，
两式相减得n2−y02m2−x02=−12，即(n+y0)(n−y0)(m+x0)(m−x0)=−12，
即kEB⋅kEA=−12，所以k2⋅kEA=−12，所以k⋅kEA=−1，
所以∠EAB为直角，故A正确，
对于B:设A(m,n)不妨设A在第一象限，B(−m,−n)，D(m,0)，因为A在椭圆上，
所以m216+n28=1≥2 m2n216×8，即mn≤4 2，
所以S=12⋅m⋅2n=mn≤4 2，当且仅当m=2 2，n=2时取等号，故B正确;
对于C:由A，B关于原点对称，故|AF|+|BF|+|AB|=|AF|+|AF′|+|AB|=2a+|AB|>8+2b=8+4 2
，故C不正确;
对于D:则四边形AF′BF为平行四边形，所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a=8，
所以
1|AF|+16|BF|=18(1|AF|+16|BF|)(|AF|+|BF|)
=18(17+16|AF||BF|+|BF||AF|)≥258
当且仅当16|AF||BF|=|BF||AF|即|BF|=4|AF|时取等号，故选项D正确;
故选：ABD．
13.【答案】0,116
【解析】【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标．
【详解】由y=4x2得x2=14y，所以抛物线的焦点在y轴上，且2p=14,p2=116，所以抛物线的焦点坐标为0,116．
故答案为：0,116
【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题．
14.【答案】43
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
根据等差数列的性质运用S15T15=15a815b8=a8b8进行求解即可．
【解答】
解：∵数列{an}和{bn}均为等差数列，且a8b8=43，且数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，
∴S15T15=152(a1+a15)152(b1+b15)=15a815b8=a8b8=43．
故答案为43．
15.【答案】 ② ③
【解析】【分析】
本题考查空间向量的加减运算和数乘运算，数量积和运算律.属于基础题．
【解答】
解：易知SA−SB+SC−SD=BA+DC=0，所以 ②中结论正确;因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA=SB=SC=SD=2，所以SA⋅SB=2×2×cs∠ASB，SC⋅SD=2×2× cs∠CSD，又∠ASB=∠CSD，所以SA⋅SB= SC⋅SD，所以 ③中结论正确;显然 ①、 ④中结论不正确.故正确结论的序号是 ② ③．
16.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线性质的应用，根据内切圆的性质结合双曲线的定义建立方程是解决本题的关键．先根据直角三角形内切圆半径得到边长的关系，结合双曲线定义和图形的对称性，得到本题结论．
【解答】
解：如图所示：
由双曲线的方程得，其中a=2，
设△APF1的内切圆半径为r，
∵PF1⋅PF2=0，
∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|+|PA|−|AF1|=2r，
∴|PF2|+2a+|PA|−|AF1|=2r，
即|AF2|−|AF1|=2r−4，
∵由图形的对称性知：|AF2|=|AF1|，
即2r−4=0，解可得r=2．
故答案为2．
17.【答案】解：(1)设BC的中点为Dx,y，因为B−2,−1，C2,−3，所以D0,−2．
因为直线AD的斜率k=−2−20−1=4，所以所求直线的方程为y−2=4x−1，即4x−y−2=0．
(2)因为直线l与直线AC平行，所以直线l的斜率k=kAC=−3−22−1=−5．
故l的方程为y+1=−5x+2，即5x+y+11=0．

【解析】【分析】(1)求出线段BC的中点D，求出直线AD的斜率，写出点斜式方程，再化简成一般式；
(2)由直线l与直线AC平行可得直线l的斜率与直线AC的斜率相等，根据斜率计算公式求出斜率，然后得直线l的点斜式方程，再化为一般式．
【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程与直线与直线平行的判定，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设圆心为a,0a>0，半径为rr>0，
则由题意得a=r=2，故该圆的方程为x−22+y2=4．
(2)圆心2,0到直线x+by−1=0的距离为d=1 1+b2，
由垂径定理得：1 1+b22+ 32=22，解得b=0．

【解析】【分析】(1)根据题目条件求出圆心和半径，写出圆的方程；
(2)先求圆心到直线的距离，再利用弦长可得答案．
19.【答案】解：(1)证明：连接BD，设AC与BD相交于点E，连接ME,NE．
在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=π3，所以BE=DE= 3．
因为BM⊥平面ABCD，所以BM⊥AC．
又BD⊥AC,BD∩BM=B，所以AC⊥平面BME，所以AC⊥ME．
在直角三角形BME中，由BM= 6,BE= 3，得ME=3．
在直角三角形DNE中，由DN= 62,DE= 3，得NE=3 22．
在直角梯形BMND中，由BM=2DN= 6,BD=2 3，得MN=3 62，
所以ME2+NE2=MN2，从而ME⊥NE．
又AC∩NE=E，所以ME⊥平面ANC．
因为ME⊂平面AMC，所以平面AMC⊥平面ANC..
(2)取MN的中点H，分别以EA,EB,EH所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则点A(1,0,0),N0,− 3, 62,M0, 3, 6,
AM=−1, 3, 6,AN=−1,− 3, 62
设平面AMN的法向量为n1=x,y,z，
则n1⋅AM=−x+ 3y+ 6z=0,n1⋅AN=−x− 3y+ 62z=0,取z= 6，则n1=92,− 32, 6．
同理可得平面CMN的法向量为n2=−3 6,− 2,4，
所以csn1,n2=n1⋅n2n1n2=−9 6 27× 72=−12，
所以平面AMN与平面CMN夹角的大小为π3．

【解析】【分析】(1)由AC⊥平面BME得出AC⊥ME，再由勾股定理证明ME⊥NE，最后由面面垂直的判断证明即可；
(2)以点E为坐标原点，建立坐标系，利用向量法得出面面角．
20.【答案】解：(1)因为2n+1an+1=2nan+1，所以2n+1an+1−2nan=1，
因为a1=1，所以数列2n⋅an是以2为首项、1为公差的等差数列．
(2)因为数列2n⋅an是以2为首项、1为公差的等差数列，
所以2n⋅an=2+n−1=n+1，an=n+1⋅12n，
Sn=2⋅12+3⋅122+4⋅123+⋯+n+1⋅12n，
12Sn=2⋅122+3⋅123+4⋅124+⋯+n+1⋅12n+1，
则Sn−12Sn=12Sn=1+122+123+⋯+12n−n+1⋅12n+1，
=1+141−12n−11−12−n+1⋅12n+1=32−n+32n+1，
故Sn=3−n+32n．

【解析】【分析】(1)本题首先可根据题意得出2n+1an+1−2nan=1，然后根据等差数列的定义即可证得数列2n⋅an为等差数列；
(2)本题首先可根据(1)得出an=n+1⋅12n，然后写出Sn以及12Sn，最后根据错位相减法以及等比数列前n项和公式即可得出结果．
【点睛】本题考查等差数列的定义以及错位相减法求和，考查等比数列前n项和公式的应用，若数列满足从第二项开始每一项与它前一项的差等于同一个常数，则数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题．
21.【答案】解：(1)依题意e= 22，设C1:x22b2+y2b2=1，C2:x22b2+y24b2=1，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积S=12×2b×2 2b=2 2，解得：b2=1．
所以椭圆C1:x22+y2=1，C2:x22+y24=1．
(2)(i)设Px0,y0，则x022+y024=1，A− 2,0，B 2,0．
kPA=y0x0+ 2，kPB=y0x0− 2．
所以：kPA⋅kPB=y02x02−2=4−2x02x02−2=−2．
直线PA，PB斜率之积为常数−2．
(ii)设Ex1,y1，则x122+y12=1．
kEA=y1x1+ 2，kEB=y1x1− 2，
所以：kEA⋅kEB=y12x12−2=1−12x12x02−2=−12，同理：kFA⋅kFB=−12，
所以：kFA⋅kFBkFA⋅kFB=14，由kEA=kPA，kFB=kPB，结合(i)有
kEA⋅kFB=−18．

【解析】【详解】试题分析：(1)椭圆离心率e=ca= 22，又a2=b2+c2，所以a2=2b2，设C1:x22b2+y2b2=1，则根据题中条件可设C2:x22b2+y24b2=1，于是根据椭圆的对称性可知，四个焦点构成的四边形为菱形，面积S=12×2b×2 2b=2 2，解得b2=1，可以得到椭圆C1:x22+y2=1，C2:x22+y24=1；(2)(i)本问考查圆锥曲线中的定点、定值问题，分析题意，设Px0,y0，而A− 2,0，B 2,0，所以kPA=y0x0+ 2，kPB=y0x0− 2，于是kPA⋅kPB=y02x02−2，又因为x022+y024=1，代入上式易求kPA⋅kPB=−2；(ii)根据(i)问，可先证明kEA⋅kEB为定值，再证明kFA⋅kFB为定值，于是可以得到kFA⋅kFB⋅kFA⋅kFB为定值，由于kEA=kPA，kFB=kPB，所以可以得kEA⋅kFB为定值．
方法点睛：圆锥曲线中定点、定值问题属于高频考点.对于定值问题常用以下两种求法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.定值问题涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到．
22.【答案】解：(1)已知双曲线是等轴双曲线，所以a=b，
因为双曲线的右焦点为F(4,0)，所以c=4，
由c2=a2+b2，解得a2=b2=8，
所以双曲线的方程为x28−y28=1，
设直线l的方程为x=ty+4，t>0，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立双曲线方程x2−y2=8x=ty+4⇒(t2−1)y2+8ty+8=0,
则{t2−1≠0Δ=64t2−32(t2−1)>0y1⋅y2=8t2−1<0⇒t2<1，又t>0，解得0则k=1t>1，
所以直线l斜率k=1t的取值范围为(1,+∞)；
(2)易知双曲线的渐近线方程为y=±x，
则P到两条渐近线的距离d1,d2满足，d1⋅d2=|x1−y1| 2⋅|x1+y1| 2=|x12−y12|2=4，
而y=xx=ty+4⇒xM=41−tyM=41−t,
则|OM|= xM2+yM2=4 2|1−t|，同理|ON|= xN2+yN2=4 2|1+t|，
所以S1⋅S2=12|OM|⋅d1⋅12|ON|⋅d2=12⋅4 2|1−t|⋅12⋅4 2|1+t|⋅d1⋅d2=32|1−t2|，
由x2−y2=8x=ty+4⇒(t2−1)y2+8ty+8=0,
则y1+y2=−8tt2−1,y1y2=8t2−1，0则S3=12|OF|⋅|y1−y2|=2 (y1+y2)2−4y1y2=8 2⋅ t2+1|t2−1|，
所以S3S1⋅S2= 2t2+24，
因为函数y= 2x2+24在0,1上单调递增，
所以S3S1⋅S2∈( 24,12)，
故S3S1⋅S2的取值范围为( 24,12)．

【解析】本题考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系及应用，双曲线中的面积问题，属于较难题．
(1)已知等轴和焦点坐标，可求出双曲线方程，设出直线方程，联立双曲线方程由根与系数的关系，结合根的判别式即可求得直线l斜率的取值范围；
(2)由直线与渐近线方程联立可求出M，N两点的坐标，再求出P到两条渐近线的距离d1,d2，整体代入求出S1⋅S2=32|1−t2|，利用根与系数的关系结合三角形面积公式，可得S3=8 2⋅ t2+1|t2−1|，进而得到S3S1⋅S2关于t的函数关系式，进而即可得到答案．