2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县高河中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县高河中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若直线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．1或3B．1或3C．1或3D．1或3
【答案】A
【分析】利用两线垂直的判定有，求解即可得的值.
【详解】由题设，，即，解得或.
当时，直线分别为、，符合题设；
当时，直线分别为、，符合题设.
故选：A
2．如图，三棱锥中，M，N分别是，的中点，G为线段上一点，且，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算求解作答.
【详解】因为M，N分别是，的中点，则，
又G为线段上一点，且，即，于是，
所以.
故选：C
3．已知点在焦点为F的抛物线上，若，则（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义，结合代入法进行求解即可.
【详解】抛物线的准线方程为，
由，点在物线上，
所以，
故选：B
4．若，则“”是方程“”表示椭圆的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】方程表示椭圆，得 且，综上所述，“”不能推出“”表示椭圆，“”表示椭圆能推出“”， “”是方程“”表示椭圆的必要不充分条件，故选B.
5．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果.
【详解】解：由题意得：
由得
圆心为，半径为，
当且仅当时，半径最小，则面积也最小；
圆心为，半径为，
圆心到坐标原点的距离为，
即原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.
故选：D.
6．已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，利用点差法结合中点坐标可得，从而可求双曲线C的渐近线方程.
【详解】设，，则，由点差法得．
∵，∴，，∴，又，
∴，∴渐近线方程为.
故选：A．
7．双曲线的左右焦点分别是，，直线与双曲线在第一象限的交点为，在轴上的投影恰好是，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意的到，，代入到双曲线方程，解得，即，则，即，即，求解方程即可得到结果.
【详解】设原点为，∵直线与双曲线在第一象限的交点在轴上的投影恰好是，
∴，且，∴，
将代入到双曲线方程，可得，解得，即，
则，即，即，解得（舍负），
故.
故选:D.
8．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为，则（ ）
A．2B．C．8D．4
【答案】A
【分析】设A在x轴上方，根据双曲线和抛物线的定义表示出，，列出方程，解之即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
抛物线的准线方程为，
设A在x轴上方，则，，
∴，．
又∵的周长为，
∴，
∴．
故选：A.
二、多选题
9．下面四个结论正确的是（ ）
A．向量，若，则
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
C．已知向量，，若，则
D．任意向量，满足
【答案】ABC
【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断A，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可判断B，根据空间向量共线的坐标表示可判断C，利用数量积的定义判断D.
【详解】对于A：因为，，则，正确；
对于B：因为，则，
即，又与有公共点，所以三点共线，正确；
对于C：因为向量，，，
所以存在，使得，即，
则，解得，正确；
对于D：表示平行于的向量，表示平行于的向量，
当与不平行时，一定不成立，错误.
故选：ABC
10．已知直线l：和圆O：，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线：垂直
C．直线l与圆O相交
D．直线l被圆O截得的最短弦长为
【答案】BC
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.
【详解】对A，由可得，，
令，即，此时，所以直线l恒过定点，A错误；
对B，因为直线：的斜率为，所以直线l的斜率为，即，
此时直线l与直线垂直，满足题意，B正确；
对C，因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，C正确；
对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为，
此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误；
故选：BC.
11．下列四个命题中，正确命题有（ ）
A．当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是
B．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是
C．若，则动点P的轨迹是双曲线左边一支
D．已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是
【答案】ABD
【分析】对于A，求出点的坐标即可判断；对于B，根据条件可得，即可判断；对于C，根据双曲线的定义与性质即可判断；对于D，得到，然后即可判断.
【详解】对于A，当a为任意实数时，直线恒过定点P，
因为方程可化为，
令，则，所以，
设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为，根据点位于第二象限知，
代入点得，解得，所以标准方程为，故A正确；
对于B，由双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，
则，，，解得，
故双曲线的标准方程是，故B正确；
对于C，因为，则，
则动点P的轨迹是双曲线右边一支，故C错误；
对于D，根据题意，双曲线，其离心率，
即，则，故D正确.
故选：ABD.
12．椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆上存在点，使得
C．过点的直线与椭圆交于，两点，则的面积最大值为
D．定义曲线为椭圆的伴随曲线，则曲线与椭圆无公共点
【答案】BD
【分析】利用椭圆方程给出的信息逐项分析、推理、计算即可判断作答.
【详解】对于A：因，，则，即，离心率， A错误；
对于B：以线段为直径的圆O：，显然椭圆的短轴端点在圆O内，于是得圆O与椭圆C有公共点，
即椭圆上存在点，有，则，B正确；
对于C：显然直线AB不垂直于y轴，将直线的方程代入椭圆的方程得：，
设，，，
因此，
因为，当且仅当取等号，则，C错误；
对于D：椭圆中，，而伴随曲线中，，
因此，曲线与椭圆C不可能有公共点，D正确.
故选：BD
三、填空题
13．抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【分析】化成标准形式，结合焦点定义即可求解.
【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为．
故答案为：
14．过点做圆的切线l，则l的方程为 ．
【答案】或
【分析】由题可得圆C：，圆C切线到圆心距离为圆半径，后分斜率不存在及斜率存在两种情况可求得切线方程.
【详解】由题可得圆C：.
当切线l斜率不存在时，由l到圆心距离为1且过，则满足题意；
当切线l斜率存在时，设，因l到圆心距离为1，则，故此时l方程为：.综上，切线l的方程为或.
故答案为：或.
15．若直线与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为 ．
【答案】
【分析】曲线表示以原点为圆心、半径为1的半圆，数形结合求得当直线与曲线恰有一个公共点的实数b的取值范围作答．
【详解】曲线，即，表示以原点为圆心、1为半径的半圆（位于y轴及右侧的部分），如图，

当直线经过点时，；当直线经过点时，；
当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得，求得（舍去），或，
观察图象，得当直线与曲线恰有一个公共点，实数b的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
16．若点P在椭圆C1：＋y2＝1上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义得，结合圆的性质以及四点共线即可求解最小值.
【详解】记椭圆C1：＋y2＝1的左焦点为E(－1,0)，右焦点F(1,0)，
由椭圆的定义可得，，
所以，
由，得 ，即圆C2的圆心为，半径为，
作出图形如图所示，由圆的性质可得，，＝＝4－3＝ (当且仅当C2，Q，P，E四点共线时，等号成立)，
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．求满足以下条件的参数的值．
(1)若直线：和直线：平行，求m的值．
(2)已知直线经过点，，直线经过点，，若，求a的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由两直线平行，根据平行的判定求的值即可.
（2）当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解.
【详解】（1）直线和直线平行，
，解得或，
当时，直线：和直线：平行，
当时，直线：和直线：重合，
所以；
（2）由题意，知直线的斜率一定存在，直线的斜率可能不存在.
当直线的斜率不存在时，，即，此时，则，满足题意.
当直线的斜率存在时，，
由斜率公式，得.
由，知，即，解得.
综上所述，或.
18．已知圆，直线．
(1)当为何值时，直线与圆相切；
(2)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.
（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.
【详解】（1）圆的标准方程为，圆心，半径为，
若直线与圆相切，则有，解得.
（2）设圆心到直线的距离为，则有
即，即，由，解得或
所以直线的方程为或.
五、证明题
19．如图，四棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设是的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用等体积法求解即可.
【详解】（1）设是的中点，连接，，
由于是的中点,
所以，,
由于，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
由于平面，平面，
所以平面；
（2）设到平面的距离为，
因为平面，平面，所以，
由于，，所以四边形是平行四边形，
由于，所以，
由于平面，
所以平面，
又平面，所以，
由，
得，
即，
所以点到平面的距离为．

六、解答题
20．已知椭圆：的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据离心率，得到，再结合点在椭圆上求解.
（2）由题意得到直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得，再由求解.
【详解】（1）由题，
∴，
将点代入椭圆：，
得.
故椭圆的方程为：.
（2）过右焦点，斜率的直线方程：，
联立，化简得，
设，，则，
所以，
所以.
七、证明题
21．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求过点的直线与抛物线交于、两个不同的点(均与点不重合)．设直线、的斜率分别为、，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）本题可将代入抛物线方程中求出的值，即可得出结果；
（2）本题首先可设、以及直线的方程，然后通过联立直线的方程与抛物线方程即可得出、，最后通过并化简即可得出结果.
【详解】（1）因为抛物线过点，
所以，，抛物线方程为.
（2）设，，直线的方程为，
联立，整理得，
，，，
则
，
故为定值.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，通过联立直线的方程与抛物线方程以及韦达定理得出、的值是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
22．如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，，分别是棱，的中点，且.
（1）证明：平面平面.
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】（1）要证平面平面，即证平面；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可．
【详解】（1）∵，是棱的中点，
∴，又，
∴，
∵平面，平面，
∴，又，
∴平面，又平面，
∴平面平面；
（2）由题知平面，中，，
则两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
不妨设，又，
易得，
∴ ，
设平面与平面的法向量分别为和，
则 ，即，
令，可得，
则 ，即，
令，可得，
∴，
设平面与平面所成二面角为，
则，
∴平面与平面所成二面角的正弦值为.
【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.