河南省新乡市铁路高级中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（图片版含答案）

高二数学9月月考答案

一、单选题1.D  2.B  3.A  4.A  5.C  6.D  7.C  8.A

二、多选题9.AC  10.BD  11.BCD  12.ACD

三、填空题 1314.15. 16.

四、解答题

17.【答案】(1)k=-或k=2.(2)±1.

【详解】(1)由已知可得==(1,1,0),==(-1,0,2),

∴k+=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),k-2=k(1,1,0)-2(-1,0,2)=(k+2,k,-4). 

若k+与k-2互相垂直,则(k+)·(k-2)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0,

即(2k+5)(k-2)=0,

解得k=-或k=2. 

(2)由(1)知=(1,1,0),=(-1,0,2),

则λ-=λ(1,1,0)-(-1,0,2)=(λ+1,λ,-2),-λ=(1,1,0)-λ(-1,0,2)=(1+λ,1,-2λ),

由题意可设λ-=m(-λ)(m∈R),所以 

解得因此实数λ的值为±1.

18.【答案】（1）；（2）证明见解析．

【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：

，，，，，

∴，，，．

（1），

∴

∴异面直线EF和所成的角为．

（2）

∴，即

，

∴即．

又∵，平面且

∴平面．

19.【答案】(1)(2)

【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

，

，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为；

（2）连接，显然，因为，．

所以，于是，

因为平面，平面，

所以平面，

因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，

设平面的法向量为，

，

则有，

，

点到平面的距离为：

.

20.【答案】(1)证明见解析(2)

【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示：

∵是等腰直角三角形，

∴，且，

∵平面底面，平面底面平面，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵，

∴，

∴，（符合勾股定理），

∴，

∵平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）由（1）知，可以建立分别以为轴的空间直角坐标系，

则，

又因为斜三棱柱中，，

所以，

所以，

设平面的法向量，

则，令，则，

∴平面的法向量，

设平面的法向量，

则，令，则，

∴平面的法向量，

设二面角的平面角为，

则.

所以，

故二面角的正弦值为.

21.【答案】(1)(2)存在，

【详解】（1）过作于，由于，则,由于,且四边形是等腰梯形，所以,在三角形中，由余弦定理可得，所以,故,

以为坐标原点，，为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，

设面的法向量，

则，即，取，得．

设面的法向量，

则，即，则取，得．

，

由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，

二面角的余弦值为．

（2），,，面，

面．

设,

若平面，则 ,所以，

所以

22.【答案】(1)证明见解析(2)条件选择见解析，

【详解】（1）过点作交于点，连接，如图所示：

因为，所以．

所以四点共面．

又因为平面，平面平面

所以

所以四边形是平行四边形

所以，

由，，

所以，所以

所以为的中位线，

所以为的中点．

（2）过作于，连接．

因为，又因为，

且，

所以平面．   

又平面，

所以平面平面．

因为，所以为中点，

又因为平面平面，

所以平面．

又平面，

所以

如图建立空间直角坐标系．

设．由题意得，，，，，．

所以，，．

设平面的法向量为，则

，

令，则．所以．

选择条件①

因为到平面的距离为，

所以，

解得．    

所以四棱锥的体积．

选择条件②

因为直线与平面所成的角为，

所以，

解得．    

所以四棱锥的体积．