2023-2024学年河南省南阳市高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省南阳市高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据运算先求出集合，再利用交集运算求解即可.
【详解】因为集合，,
所以,
故选：B
2．命题“方程有一个根是偶数”的否定是（ ）
A．方程有一个根不是偶数
B．方程至少有一个根不是偶数
C．方程至多有一个根不是偶数
D．方程的每一个根都不是偶数
【答案】D
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】命题“方程有一个根是偶数”的否定是：方程没有一个根是偶数，只有D符合．
故选：D．
3．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图象上特殊点检验即可得解.
【详解】对于A，，与图象不相符，故错误；
对于B，无意义，与图象不相符，故错误；
对于D，无意义，与图象不相符，故错误；
对于C，函数定义域为，，，函数为奇函数，符合图象，故C正确.
故选：C
4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得，，由此可知的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算性质及所给数据计算可得.
【详解】因为，，
所以，则.
故选：C
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性判断．
【详解】，又，指数函数是增函数，所以，即，
，而，幂函数是增函数，所以，即，
所以，
故选：A．
6．通过北师大版必修一教材页的详细介绍，我们把称为取整函数．那么“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据给定的信息，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】若，则可设，则，，其中，
∴，而，∴，即“”能推出“”；
但当时，不一定相等，
例如，，满足，但，
即 “”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
7．若关于的不等式的解集是，则下列式子中错误的是（ ）
A．B．C．，D．，
【答案】D
【分析】解不等式，根据不等式的解集确定的值．
【详解】不等式可化为，
若，则不等式化为，解集不可能是，因此，A正确；
不等式化为，由题意中一个为1，一个为3，而，因此有，BC均正确，D错误．
故选：D．
8．已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函数图象，由图象得出具有的关系、范围，从而再由函数的单调性得出结论．
【详解】作出函数的图象，如图，在上它关于直线对称，
时，，且为增函数，
，则，，
，，所以，
故选：A．
二、多选题
9．满足函数在区间上不单调的实数的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据二次函数的性质得到不等式，解出即可.
【详解】由题得，解得，则ABC符合题意，D错误.
故选：ABC.
10．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据函数奇偶性的定义，先求出定义域，定义域符合条件再判断的关系得解.
【详解】对于A，的定义域，不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数，故错误；
对于B，定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数，故B正确；
因为的定义域为，关于原点对称，
当时，则，，
当时，则，，
当时，，
综上，当时，都有，故函数为偶函数，故C正确；
因为，所以，解得且，
所以函数定义域为，关于原点对称，
由定义域可知，所以，故函数为奇函数，故D正确.
故选：BCD
11．已知二次函数满足，且对，，都有，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】可以知道二次函数是以为对称轴，且在区间上为增函数，从而在上为减函数，根据单调性可判断A的真假，根据离对称轴越近，所对应的函数值越大，可判断C的真假，因为无法确定的符号，所以D无法判定.
【详解】∵为二次函数，
由得函数的对称轴为，即：，故B正确；
由对任意，都有，所以在上为增函数，
从而在上为减函数，因为：，所以，故A正确；
又因为：，所以，故C正确；
因为没有条件涉及，所以的符号无法判断，故D无法判断真假.
故选：ABC.
12．已知，，，则下列结论成立的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】AB
【分析】由基本不等式判断AB，利用函数的单调性判断CD．
【详解】，则
由题意，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，
，A正确；
，B正确；
，函数在时是减函数，因此它没有最小值也没有最大值，C错误；
，而函数在上是减函数，没有最小值也没有最大值，D错．
故选：AB．
三、填空题
13．幂函数的图象经过点，则 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义可求出的值，再由可求出的值，由此可得出的值.
【详解】因为幂函数的图象经过点，
则，即，可得，则，
又因为，解得，因此，.
故答案为：.
14．若函数的定义域是，则函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】由已知求得的定义域，再由分母中根式内部的代数式大于0求解.
【详解】函数的定义域是，所以，即，
所以的定义域为，
所以函数有意义需满足，
解得，
即数的定义域为，
故答案为：.
15．已知，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】将改写成分段函数，然后根据分段函数的解析式，分和两种情况讨论求解
【详解】对于，
当时，，当时，，
所以，
当时，即时，不等式可化为，
即，解得，所以；
当时，即时，不等式可化为，
即，解得，所以；
综上，不等式的解集为，
故答案为：.
16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为，则该等腰三角形的面积最大值为 ．
【答案】4
【分析】作于，于，设，，故，得到，，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】如图所示：作于，于，则，，
设，，故，
在中：，即，
当且仅当，即，时等号成立，.
故答案为：.
四、解答题
17．（1）已知，求是值
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由指数幂的运算性质运算即可得解；
（2）利用指数和对数的运算性质求解.
【详解】（1）由于，因为，所以
（2）原式
，
．
18．已知函数．
(1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)在上是增函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据单调性的定义证明即可.
（2）令，换元法结合单调性求函数的值域.
【详解】（1）在上是增函数，证明如下：
任取，，且，
∵，，且，，，
∴即，
∴函数在上是增函数．
（2）令，则，
于是的值域即为求的值域，
由（1）知函数在是单调递增的，
所以当时，即，即时，取最小值，
所以，
所以函数的值域为
19．已知集合，．
(1)若且，求实数的取值范围；
(2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用元素与集合的关系列出不等式组，求解不等式组即得.
（2）由必要不充分条件的定义，利用集合的包含关系列式求解即得.
【详解】（1）依题意，，解得，
所以的取值范围为.
（2）由是的必要不充分条件，得真包含于，而，
不等式，
显然，即，解得，则，因此，
于是，解得，
所以的取值范围为.
20．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：．
(1)设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系；
(2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）每件的销售利润乘以每月的销售量即为利润，据此列方程即可；
（2）设政府每个月为他承担的总差价为元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
【详解】（1）依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件，
所以每月获得的利润与销售单价的函数关系为
（2）由每月获得的利润不小于元，得：
化简，得．
解得．
又因为这种节能灯的销售单价不得高于元，所以．
设政府每个月为他承担的总差价为元，则
．
由，得．
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元．
21．已知，，其中．
(1)求实数，的值；
(2)若函数在定义域上为增函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，令，利用，求出关系，结合，求出，的值.
（2）将，的值代入，换元令，转换为在指定区间为增函数问题，分类讨论即可.
【详解】（1）设，则，因为，所以，则．
又，所以，即，
又，解得，．
（2）由（1）得，令，，
则，．
为使在上为增函数，
则或或，
解得或或，
综上，的取值范围为
22．已知函数的定义域为．当时，，．
(1)若函数为奇函数，求函数的表达式；
(2)若函数是奇函数且在上单调，求实数的取值范围；
(3)在（1）的条件下，若关于的方程有三个不等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）确定，当时，，得到答案.
（2）确定函数单调递增，得到，解得答案.
（3）确定或，函数不单调，画出函数图像，根据图像得到且，解得答案.
【详解】（1）当时，；
当时，；
故
（2）当时，是单调增函数，在上单调，则必为上的单调增函数，
只须满足，得，即.
（3），或，
若是单调函数，最多有两个解，不满足，故，画出函数图像,如图所示：
方程有三个不等的实数根，而，
故只须且，解得且，
综上所述：的取值范围为．