2023-2024学年黑龙江省大庆实验中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省大庆实验中学高一上学期期中数学试题含答案，共29页。

说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内；
2．满分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题（共8道小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 4
6. 若幂函数的图象过点，则的值域为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（共4道小题，每小题5分，共20分）
9. 若函数与的值域相同，但定义域不同，则称与是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
10. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.则（ ）
A. 当一所公寓窗户面积与地板面积总和为时，这所公寓的窗户面积至少应该为
B. 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好
C. 若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，公寓采光效果一定会变差
D. 若窗户面积和地板面积都增加原来的，其中公寓采光效果不变
11. 设正实数，满足，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为9
C. 的最小值为1D. 的最大值是
12. 已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 存，使得没有零点
B. 若，则有个零点
C. 若，则有个零点
D. 若有个零点，则的取值范围为
三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）
13. 函数的定义域为________．
14. 已知为上的偶函数，当时，，则______．
15. 已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则______．
16. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为______．
四、解答题（共6道题，17题10分，18-22题每道题12分．共70分）
17. 已知全集，集合，集合．
（1）求集合；
（2）若集合，且，求实数取值范围．
18. 已知函数，．
（1）若不等式的解集为，求实数的值：
（2）当时，解关于的不等式．
19. 已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）若关于的不等式对于任意的恒成立，求正实数的取值范围．
20. 已知函数，
（1）解不等式；
（2）对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围
21. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求实数，的值：
（2）试判断函数的单调性并用单调性的定义证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22. 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）
（1）试判断函数，是否是上的有界函数；（直接写结论）
（2）已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（3）对实数进行讨论，探究函数在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．大庆实验中学实验一部2023级高一上学期期中考试
数学学科试题
说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内；
2．满分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题（共8道小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用并集和补集的定义可求得集合.
【详解】因为合，，则，
因此，.
故选：C
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题“，”为存在量词命题，该命题的否定为“，”.
故选：B.
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为，则，即，可得，
，，
所以，函数的零点所在的区间是.
故选：B.
4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
【详解】设，
则要使在区间上单调递增，
由复合函数单调性可得：
满足，即，
得a，
即实数a的取值范围是.
故选：D
5. 已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意先求的值，然后再求的值.
【详解】因为，，
所以
.
.
故选：A.
6. 若幂函数的图象过点，则的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由求出的值，再令，将用含的二次函数表示，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】由题意可得，可得，则，
令，可得，则，
令，其中，则，
当且仅当时，等号成立，故函数的值域为.
故选：A.
7. 已知函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由偶函数，得，函数在上单调递增，由，得，得，即可求解.
【详解】解：因为函数是定义在区间上的偶函数，
所以，
又函数在上单调递减，即函数在上单调递减，
得函数在上单调递增，
由，得，
得，得，
得，
则则不等式的解集是：.
故选：B.
8. 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可.
【详解】因为为偶函数，为奇函数，且①，
所以，②，
①②两式联立可得，.
由可得，
可得，
令，其中，
任取、且，则，
所以，
，
当时，则，则，则，
当时，则，则，则，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
又因为，，则，
令，则，则，
因函数、在上均为增函数，则，
故，即，故的最大值为.
故选：C.
二、多项选择题（共4道小题，每小题5分，共20分）
9. 若函数与的值域相同，但定义域不同，则称与是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AD
【解析】
【分析】求出的值域，根据“同象函数”的定义逐项判断可得答案.
【详解】函数的值域为，
对于A，函数，，所以，与的值域一样，所以与是“同象函数”，故A正确；
对于B，函数，，所以函数，与的值域不一样，所以与不是“同象函数”，故B错误；
对于C，函数，，所以，与的值域不一样，所以与不是“同象函数”，故C错误；
对于D，函数，，所以，与的值域一样，所以与是“同象函数”，故D正确.
故选：AD.
10. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.则（ ）
A. 当一所公寓窗户面积与地板面积的总和为时，这所公寓的窗户面积至少应该为
B. 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好
C. 若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，公寓采光效果一定会变差
D. 若窗户面积和地板面积都增加原来的，其中公寓采光效果不变
【答案】ABD
【解析】
【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D.
【详解】对于A，该公寓窗户面积为x，则地板面积为，
所以，解得，
所以这所公寓的窗户面积至少应该为，A正确；
对于B，若窗户面积a和地板面积b, 同时增加相同面积c，
由题知，增加前后窗户面积与地板面积之比分别为，
则，
所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好，B正确；
对于C，设窗户面积a和地板面积b, 增加的地板面积，增加窗户面积，
由题知，增加前后窗户面积与地板面积之比分别为，
则，其中的值是否大于0无法判断，
所以的大小无法判断，即无法判断公寓采光效果是否会变差，C错误；
对于D，设窗户面积a和地板面积b,
若窗户面积和地板面积都增加原来的，其中
则窗户增加，地板增加，
所以增加前后窗户面积与地板面积之比分别为，
所以公寓采光效果不变，故D正确；
故选：ABD
11. 设正实数，满足，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为9
C. 的最小值为1D. 的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式，结合选项即可逐一求解.
【详解】对于A，因为，所以，则，
当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为，故A正确；
对于B，因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，因为，
当且仅当，即，时等号成立，所以C错误；
对于D，，
∴的最大值为，
当且仅当，即，时等号成立，D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在，使得没有零点
B. 若，则有个零点
C. 若，则有个零点
D. 若有个零点，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】画出的简图，令，则，令，则，然后结合图象，分，，，，和六种情况讨论函数的零点即可.
【详解】令，解得或；令，解得或或．
根据函数图象的平移变换，可画出的简图，如图所示．

令，则，令，则．
当时，只有1解，且，此时只有解，所以只有个零点．
当时，有解，即或．
有解；有解．所以有个零点．
当时，有3解．
当时，只有1解；
当时，有解；
当时，有解．所以有个零点．
当时，有3解，即或1或3．
只有1解；有2解；有3解．所以有6个零点．
当时，有2解．
当时，有2解；当时，有3解．所以有5个零点．
当时，只有1解有2解，所以有2个零点．
当时，只有1解，且，此时只有1解，所以只有个零点．
综上所述，对任意的，都有零点，A错，
若，则有个零点，B对，
若，则有个零点，C对，
若有个零点，则的取值范围为，D对，
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.
三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）
13. 函数的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的真数大于0、分母不为0可得答案.
【详解】要使函数有意义，
只需，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14. 已知为上的偶函数，当时，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数的基本性质可求得的值.
【详解】因为为上的偶函数，当时，，
则.
故答案为：.
15. 已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则______．
【答案】48
【解析】
【分析】求函数图像的对称中心，由函数的对称性求值.
【详解】函数满足，则函数的图像关于点对称，
函数，函数的图像关于原点对称，则函数的图像关于点对称，
与的图象的8个交点，也两两关于点对称，
则.
故答案为：48
16. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意确定，考虑、两种情况，根据函数的单调性得到关于实数的不等式，即可得解.
【详解】因为当时，，
要使得函数的值域为，必须满足当时，函数单调递增，故.
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，，
而当时，，所以，，
可得，解得或，此时，；
当时，函数在上为增函数，则，
所以，，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（共6道题，17题10分，18-22题每道题12分．共70分）
17. 已知全集，集合，集合．
（1）求集合；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解出集合，利用交集的定义可求得集合；
（2）由题意可知，，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【小问1详解】
解不等式可得，解得或，故，
又因为，故.
【小问2详解】
显然，因，则，解得，
所以，实数取值范围是.
18. 已知函数，．
（1）若不等式的解集为，求实数的值：
（2）当时，解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分析可知，方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值；
（2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合二次不等式的解法可出原不等式的解集.
【小问1详解】
解：因为不等式的解集为，
所以，方程的两根分别为、，且，可得，
所以，，解得.
【小问2详解】
解：因为，不等式即为
方程两根为，，
①当，即时，原不等式为，该不等式的解集为；
②当时，即时，解原不等式可得或；
③当时，即时，解原不等式可得或.
综上可知：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19. 已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）若关于的不等式对于任意的恒成立，求正实数的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质化简，令，结合二次函数即可求出函数的最大值；
（2）将恒成立问题转化成，借助（1）的结论，解不等式即可.
【小问1详解】
因为，
令，
可得，
所以当且仅当，即时，函数取到最大值1．
【小问2详解】
由（1）可得：当且仅当，即时，函数取到最大值6，
所以，即，且，
解得，即，
故实数的取值范围为．
20. 已知函数，
（1）解不等式；
（2）对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的单调性求解；
（2）求出的值域，由题意转化为的值域包含的值域，根据二次函数分类讨论求解即可.
【小问1详解】
由题意，，即，整理得，又函数是R上的增函数，解得，所以不等式的解集为．
【小问2详解】
因为为R上的增函数，当时，函数的值域为．
由已知，任意，总存在，使得成立，
所以的值域是值域的子集．即在上的最小值．
对，对称轴为，
当时，在单调递增，，
令，解得
当，在单调递减，在单调递增，，成立．
综上可知：的取值范围是.
21. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求实数，的值：
（2）试判断函数的单调性并用单调性的定义证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义，列等式求解参数即可；
（2）根据函数的解析式判定函数的单调性，再运用单调性的定义证明；
（3）先运用函数的奇偶性和单调性化简不等式，再运用分离变量法转化不等式恒成立问题，结合函数的最值求解出参数的取值范围.
【详解】解：（1）由，解得．
由，得
经检验可知符合题意，所以，
（2）在上单调递减．由（1）得：
证明：任取，且
∵，∴，，
∴
∴在上单调递减
（3）因为为奇函数且为减函数，
所以不等式等价于
，
令，，下面求的最小值
令，则，当时取到的最小值为
∴，∴．
即的取值范围是
22. 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）
（1）试判断函数，是否是上的有界函数；（直接写结论）
（2）已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（3）对实数进行讨论，探究函数在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】22. 不是上的有界函数，是上的有界函数
23.
24. 当时，存在上界M，;
当或时，存在上界M，；
当时，存在上界M，;
当时，不存在上界M．
【解析】
【分析】（1）根据有界函数的定义判断即可；
（2）先求解函数的值域，进而求解的取值范围，再根据有界函数的定义确定上界M的取值范围；
（3）先求解函数及，再根据有界函数的定义，讨论m取不同数值时，函数是否存在上界 ，并求解出对应的上界范围.
【详解】解：（1）在上单调递增
不是上的有界函数，
时， ，此时
时， ，此时
是上的有界函数
（2），易知在区间上单调递增，
∴. ∴，
所以上界构成的集合为．
（3），
当时，，，此时的取值范围是，
当时，在上是单调递减函数，
其值域为，故，
此时的取值范围是，
当时，，若在上是有界函数，
则区间为定义域的子集，所以不包含0，
所以或，解得：或，
时，在上是单调递增函数，
此时的值域为，
①，即或时，，
此时的取值范围是，
②，即时，，
此时的取值范围是，
综上：当时，存在上界，；
当或时，存在上界，；
当时，存在上界，，
当时，此时不存上界．