2023-2024学年河南省焦作市博爱县第一中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省焦作市博爱县第一中学高一上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合是关于的不等式的解集，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，当时，关于x的不等式恒成立，即 恒成立，即 恒成立，由此可得实数的取值范围．
【详解】∵的解集包含，
∴当时，不等式恒成立，
即在上恒成立，∴，
即，∴，
∴在上恒成立，
∴， ∴，
所以实数的取值范围是．
故选:B.
2．若曲线的一条切线为，其中，为正实数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据已知求出，，再利用基本不等式求解.
【详解】设切点为，则有，
∵，∴，
，（当且仅当时取等）
故选：A
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．已知函数，若f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．(，1]B．[，]C．(，+∞)D．[1，2]
【答案】B
【解析】根据函数，f(x)在R上是增函数，则每一段都为增函数，且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解.
【详解】因为函数，f(x)在R上是增函数，
所以，
解得，
故选：B
4．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得，再解对数不等式即可得答案.
【详解】函数为上的偶函数，则其图象关于轴对称，
∵函数在上单调递增，则在上单调递减，
要满足，则，即，
∴.
故选：C.
5．已知，则的值是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意知，
，
由于，故，则原式.
故选B.
【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题.
6．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性进行判断即可.
【详解】因为，
所以，
故选：D
7．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（ ）
（参考数据）
A．5B．7C．9D．10
【答案】B
【分析】根据已知条件求得，然后列不等式来求得的取值范围，进而求得的最小整数值.
【详解】当时，，
所以，由得，
，
所以的最小整数值为.
故选：B
8．已知，，且，则ab的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【分析】运用对数运算及换底公式可得，运用基本不等式可求得的最小值.
【详解】∵，
∴，即：
∴，
∵，，
∴，，
∴，当且仅当即时取等号，
即：，当且仅当时取等号，
故的最小值为16.
故选：C.
二、多选题
9．已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有
A．数列的前10项和为100
B．若成等比数列，则
C．若，则n的最小值为6
D．若，则的最小值为
【答案】AB
【解析】由已知可得:,,,则数列为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B选项;因为 ,通过裂项求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项D错误.
【详解】由已知可得:,,
,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A正确;
成等比数列,则,即,解得故B正确;
因为所以,解得,故的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知,所以,当且仅当时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D错误.
故选:AB.
【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期为的奇函数B．在上为增函数
C．在内有20个极值点D．在上恒成立的充要条件是
【答案】BCD
【分析】A选项，根据函数奇偶性定义得到函数为奇函数，但，A错误；B选项，求导得到函数单调性；C选项，求导，令导函数等于0，检验后得到极值点个数；D选项，求导后，分与两种情况，结合放缩法得到结论.
【详解】A选项，的定义域为R，，是奇函数，
但是，不是周期为的函数，故A错误；
B选项，当时，，，单调递增，
当时，，，单调递增，
且在连续，故在单调递增，故B正确；
C选项，当时，，，
令得，，
当时，，，
令得，,且以上零点均为变号零点，
故均为极值点，因此，在内有20个极值点，故C正确；
D选项，由题意得在上恒成立，令，
当时，，令，，
，因为，所以，
则，由于，故，
当且仅当时，等号成立，故在上单调递增，
所以，故满足在上恒成立；
当时，，
由于，所以，则，
又，故，
若，此时，
则在单调递减，则，不合要求，
若，则存在，使得，
当时，，当时，，
故在处取得极小值，且，不合要求.
综上：，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论.三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
三、单选题
11．函数，且的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数图象平移及函数的对称性和单调性易排除错误选项.
【详解】由题意知，关于对称，当时，对称轴，时函数单调递增，
当时,对称轴，时函数单调递减，排除A,C,D.
故选：B.
四、多选题
12．下列说法正确的是（ ）
A．当时，的大小关系是
B．总会存在一个，当时，恒有
C．函数有零点，但不可以用二分法求出零点所在范围
D．方程有两个根
【答案】AB
【分析】作出函数，，图象的简图，数形结合判断选项正误.
【详解】
如图，时，，所以A正确；
当时，，所以B正确；
的零点都为变号零点，所以可以用二分法求零点所在范围，C错误；
方程在有一个根，在上有两个根，共三个，D错误.
故选：AB.
五、填空题
13．有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距与车速和车长（）的关系满足：（k为正的常数），假定车身长为4，当车速为时，车距为2.66个车身长.应规定车速为 时，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？
【答案】50
【分析】由题设求得，要使大桥上每小时通过的车辆最多只需让最小，应用基本不等式求最小时的值即可.
【详解】由题设，，解得，
∴，
要使大桥上每小时通过的车辆最多，则最小，
∴由题意，，当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
14．已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，．若，则 ．
【答案】/-0.75
【分析】利用函数为奇函数及指、对运算转化需求的函数值．
【详解】，由为奇函数，
有．
故答案为：.
15．设，平行于轴的直线分别与函数和的图像交于点，，若函数的图像上存在点，满足为等边三角形，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用指数、对数互化关系求出的坐标，及的中点的坐标，进而表示出点的坐标即可求解作答.
【详解】直线，由，得，即点，
由，得，即点，于是，
如图，取的中点，连接，由正，得，，
显然点不可能在直线上方，因此点，而点在函数的图象上，
则，即，解得，
所以.
故答案为：
16．若函数且在是减函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据复合函数同增异减的单调性性质，分，两种情况讨论，即可确定实数的取值范围.
【详解】因为，令，则，
①当时，单调递减，
因为当时，是减函数，则在上单调递增，
则对称轴且，解得，与矛盾，故此时无解；
②当时，单调递增，
因为当时，是减函数，则在上单调递减，
则对称轴且，解得，
综上，的取值范围为.
故答案为：.
六、解答题
17．已知函数.
(1)若的两个零点为，，求实数，的值；
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)时，解集为；时，解集为；时，解集为.
【分析】（1）根据根与系数的关系确定实数，的值；
（2）根据一元二次不等式对应方程的两个根的大小分类讨论，求得不等式的解集.
【详解】（1）因为的两个零点，，
则有，
解得：或（舍去）；
（2）由已知：，
当时，分解因式，
当时，，不等式的解为；
当时，，不等式的解为；
当时，不等式的解为.
综上可得：时，解集为；时，解集为；时，解集为.
18．已知函数，函数与关于点中心对称．
(1)求的解析式；
(2)若方程有两个不等的实根，，且，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的对称性可得，从而可得的解析式；
（2）根据方程的根，利用一元二次方程根与系数的关系与指数函数的性质，结合，即可求得a的值．
【详解】（1）已知函数，函数与关于点中心对称
所以，则
（2）由于方程有两个不等的实根，，不妨设
即两个不等的实根，则，由于函数是递增函数，
所以①，②
因为，，则，
所以，则代入②得：，解得，
代入①得.
19．已知函数 为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
函数为偶函数,
，即，
，
；
（2） ，
当时，在单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减
， ，
解得或，
所以所求不等式的解集为。
20．已知函数
(1)若，求不等式的解集;
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合指数函数的性质解不等式；
（2）用换元法，然后结合二次函数性质求得最小值．
【详解】（1）若，则，
所以，即，所以，
所以或，解得或，
即不等式的解集为．
（2）若，即，解得．
所以，
令，所以．
当，即时，在上单调递增，
所以，即．
当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，所以，
即．
综上，．
21．已知函数（且）.
(1)若，且，求函数的零点；
(2)当时，有最小值，求的值.
【答案】(1)6
(2)
【分析】(1)利用函数零点的定义以及对数的运算求解；(2)根据复合函数的单调性讨论最值求解.
【详解】（1）时，定义域为，
令，
即，所以，
即解得（舍）或.
所以的零点为6.
（2）,，
令，，
则在单调递增，
若，在单调递减，
解得，
若，在单调递增，
无最小值，不满足题意，
所以.
22．已知函数为方程的解.
(1)判断的奇偶性；
(2)若不等式：对于恒成立，求满足条件的的集合.（其中为自然对数的底）
【答案】(1)奇函数；
(2)且.
【分析】（1）先判断定义域关于原点对称，在验证与的关系，即可得到答案.
（2）先解出方程的解，再把与代入不等式中，化简得，即可再结合函数的定义域即可求出答案.
【详解】（1）定义域：，定义域关于原点对称
则
既满足
故函数为奇函数.
（2）
为方程的解
由
可得：
上式恒成立，只需
即，
即
解得：且
综上，满足条件的的集合
且