2022-2023学年河南省南阳市高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省南阳市高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则如图中阴影部分表示的集合为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由自然数集的定义化简集合，解二次不等式化简集合，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，由此得解.

【详解】易知，

由得，故，则，

由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，而，

所以图中阴影部分表示的集合为.

故选：B.

2．“”是“”的（    ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．即不充分也不必要

【答案】A

【分析】从充分性和必要性进行分析，即可判断和选择.

【详解】当时，，满足充分性；

当时，或，不一定有，故必要性不成立；

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：.

3．关于x的一元二次不等式的解集为，则（    ）．

A． B． C．2 D．8

【答案】D

【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，再结合韦达定理即可求得的值，从而求得的值.

【详解】因为的解集为，所以是方程的两根，

由韦达定理得，解得，

所以.

故选：D.

4．函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件可得，从而可求出函数的定义域

【详解】由题意得，

解得且，

所以函数的定义域为.

故选：D.

5．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（  ）

A．如果,那么 B．如果,那么

C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立

【答案】C

【分析】观察图形,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,由4个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系,得到,并判明何时取等即可

【详解】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,

故选C

【点睛】本题考查均值定理的几何法证明,考查数形结合,属于基础题

6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数单调性及对数的运算性质即得.

【详解】因为，，，

所以.

故选：A.

7．函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（    ）．

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】利用指数函数与幂函数的图像性质判断得a的可能取值.

【详解】观察图像①与②可知，图像①是指数函数，图像②是幂函数，

因为图像①单调递减，由指数函数的图像性质可知，排除D；

再由图像②存在的图像，由幂函数的图像性质可知的分母为奇数，排除AC；

综上：满足a的取值要求，故a的可能取值为.

故选：B.

8．已知是定义在R上的奇函数，且对任意，当时，都有，则关于x的不等式的解集为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，由题设条件证得在R上单调递增，再将题干中不等式转化为，由的单调性得可，从而求得，即求得所求不等式的解集.

【详解】因为对任意，当时，都有，即，

令，则在R上单调递增，

因为是定义在R上的奇函数，所以，

由得，即，

所以由的单调性得，即，即，

所以，即的解集为.

故选：B.

二、多选题

9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）．

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】BCD

【分析】判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可.

【详解】对于A，对于，由得或，故的定义域为；

对于，由得，故的定义域为；所以与不是同一函数，故A错误；

对于B，由根式指数幂知，且与的定义域都为，所以与是同一函数，故B正确；

对于C，对于，当时，；当时，；又当时，；

综上：，所以与是同一函数，故C正确；

对于D，显然与的解析式表达式一样，所以与是同一函数，故D正确.

故选：BCD.

10．已知a、b、c、d均为实数，有下列命题，正确的是（    ）．

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】ABC

【分析】利用作差法结合不等式的性质逐项分析即得.

【详解】对于A，因为，，所以，即，故A正确；

对于B，因为，又，即，所以，故B正确；

对于C，因为，又，即，所以，故C正确；

对于D，因为，，，所以，即，故D错误．

故选：ABC.

11．下列说法正确的是（    ）．

A．命题“，有”的否定是“，使得”

B．幂函数为偶函数

C．的单调减区间为

D．函数的图象与y轴的交点至多有1个

【答案】AD

【分析】对于A，由全称命题的否定的方法即可判断其说法正确；

对于B，先由幂函数的概念化简，再利用奇偶性的判断方法判断的奇偶性；

对于C，化简易得其单调递减区间；

对于D，利用函数的概念即可判断其说法正确.

【详解】对于A，全称命题的否定的方法：改符号，否结论，故A说法正确；

对于B，因为为幂函数，所以，解得或，

当时，，则，显然，故为奇函数，故B说法错误；

注：此时已经判断得B错误，故不再讨论的情况；

对于C，因为，由反比例函数易知的单调递减区间为，，注意两区间是分开的，不能用并集符号，故C错误；

对于D，由函数的概念可知，一个自变量对应至多一个因变量，因此当时，可能没有取值，也可能只有一个取值，故的图象与y轴的交点至多有1个，故D正确.

故选：AD.

12．若满足对任意的实数a，b都有，且，则下列判断正确的有（    ）．

A．是奇函数

B．在定义域上单调递减

C．当时，函数

D．

【答案】CD

【分析】利用新定义函数的性质进行判断，计算出判断A；根据函数单调性的定义判断出；先利用证明对所有的有理数，都有，然后用无理数都可以看作一个有理数的极限，由极限的性质得出，这样就可判断；根据定义计算，然后求出选项的和即可.

【详解】对于选项A，令，则，即，

所以，所以函数不可能是奇函数，故A错误；

对于选项，对于任意的，，若存在，使得，

则，与矛盾，故对于任意的，，所以任意的，，

因为，所以对于任意的正整数，，所以，

同理，

对任意正有理数，显然有（是互质的正整数），

则，

对任意正无理数，可看作是某个有理数的极限，

而，所以是的极限，所以，

综上，对所有的正实数，都有，故正确；

对于选项，设，则，由对选项的分析可知：当时，则有，故，所以函数是增函数，故错误；

对于选项，由已知可知，所以，所以，

故正确，

故选：.

三、填空题

13．请写出一个同时满足下列三个条件的幂函数______.

（1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的值域是.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据幂函数的性质求解

【详解】因为是偶函数，在上单调递增，的值域是，

所以同时满足三个条件的幂函数可以为.

故答案为：（答案不唯一）

14．已知函数，若，则______．

【答案】4

【分析】由题可得，进而可得，结合条件即得.

【详解】，

，

所以.

故答案为：.

15．为了方便进行核酸检测，某市拟建造一批外形为长方体的核酸检测工作房，如图所示．房子的高度为，占地面积为，墙体和的造价均为800元，墙体和的造价均为1200元，地面和房顶的造价共20000元．则一个这样的工作房的总造价最低为______元．

【答案】48800

【分析】设，则可表示出工作房的总造价为，利用基本不等式即可求出.

【详解】设，，则，

则这样的工作房总造价为，

因为，

当且仅当，即时等号成立，

所以一个这样的工作房的总造价最低为48800元.

故答案为：48800.

四、双空题

16．函数的单调递减区间为______，值域为______．

【答案】         

【分析】先求复合函数的内外函数的单调性与值域，再利用同增异减求得复合函数的单调性，利用内外函数的值域求得复合函数的值域.

【详解】令，则开口向下，对称轴为，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故，即，

又因为在上单调递增，故在上单调递增，

所以由得，故，

故在上单调递增，在上单调递减，且，

所以函数的单调递减区间为，值域为．

故答案为：；.

五、解答题

17．计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）利用指数幂的运算法则求解即可；

（2）利用对数的运算法则求解即可.

【详解】（1）原式．

（2）原式

18．已知集合，．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解二次不等式化简集合，代入后利用数轴法及集合的交集运算即可求得；

（2）由集合与充要条件的关系得到B是A的真子集，再利用数轴法即可求得a的取值范围．

【详解】（1）由得，故，

若，则，

又，所以．

（2）由（1）知，

因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

所以，解得，故，

所以实数a的取值范围为．

19．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题，已知函数．

(1)当时，求函数在区间上的值域；

(2)若______，，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，再求出函数的最值，即可得解；

（2）若选①，参变分离可得，恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得到的最大值，从而得解；

若选②，只需，，根据二次函数的性质求出区间端点的函数值，即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）解：当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

∴，，

∴函数在区间上的值域为．

（2）解：方案一：选条件①．

∵，恒成立，

∴，恒成立，只需，恒成立．

因为（当且仅当时等号成立），

所以的最大值为，所以．

所以实数的取值范围为．

方案二：选条件②．

∵，，∴，，

∵函数的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得．

∴或，

即或，

解得或，

∴．

故实数的取值范围为．

20．已知为R上的奇函数，当时，．

(1)求；

(2)求的解析式；

(3)关于x的方程有3个不同的实数根，求实数k的取值范围．

【答案】(1)0

(2)

(3)

【分析】（1）（2）由奇函数的性质求解，

（3）作出图象，数形结合求解，

【详解】（1））因为为R上的奇函数，

当时，，所以．

（2）因为为R上的奇函数，所以．

令得：，所以．

任取，则．

所以．

由，所以．

综上所述：．

（3）作出的图象如图所示：

要使有3个根，只需．

所以实数k的范围为．

21．为了鼓励居民节约用电，某市居民家庭电价收费标准划分为三档：

第一档：月用电量不超过，执行a元的价格；

第二档：月用电量超过，但不超过，执行b元的价格；

第三档：月用电量超过，执行c元的价格．

(1)写出普通居民家庭月电费y；（单位：元）关于月用电量x（单位：）的函数解析式；

(2)已知某户居民家庭的用电价格1-6月按照第一档执行，7-8月按照第二档执行，9-10月按照第一档执行，11-12月按照第三档执行，且6、8、12月的用电量与缴费情况如下表，求a、b、c的值，并画出普通居民家庭月电费 y（单位：元）关于月用电量 x（单位：）的函数图象．

【答案】(1)；

(2)； ； ；图象见解析.

【分析】（1）根据居民家庭电价收费标准即得；

（2）根据函数解析式结合条件可求，进而可得函数图象.

【详解】（1）由题可知当时，，

当时，，

当时，，

所以普通居民家庭月电费y；（单位：元）关于月用电量x（单位：）的函数解析式为：

；

（2）当时，由，解得：；

当时，由，解得：；

当时，由，解得：；

所以；

其图象为：

22．已知函数为奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；

(3)解关于的不等式．

【答案】(1)；

(2)函数在R上单调递减；证明见解析；

(3).

【分析】（1）根据奇函数的定义即得；

（2）根据函数单调性的定义证明即得；

（3）根据函数的单调性及奇偶性可得，进而即得.

【详解】（1）函数的定义域为R，

因为为奇函数，所以，

所以，

所以，

所以；

（2）函数在R上单调递减；

下面用单调性定义证明：

任取，，且，

则，

因为在R上单调递增，且，

所以，又，

所以，

所以函数在R上单调递减；

（3）因为为奇函数，所以，

由得，，

即，

由（2）可知，函数在R上单调递减，

所以，即，

解得或，

所以t的取值范围为．