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2023-2024学年河南省南阳市高一上学期期中联考数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省南阳市高一上学期期中联考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=x1A. ⌀B. AC. BD. A∪B
2.命题“方程x2-8x+15=0有一个根是偶数”的否定是
( )
A. 方程x2-8x+15=0有一个根不是偶数
B. 方程x2-8x+15=0至少有一个根不是偶数
C. 方程x2-8x+15=0至多有一个根不是偶数
D. 方程x2-8x+15=0的每一个根都不是偶数
3.若函数fx的图象如图所示，则fx的解析式可能是
( )
A. fx=1ex+e-xB. fx=1ex-e-xC. fx=ex-e-xex+e-xD. fx=ex+e-xex-e-x
4.我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln54≈0.223，由此可知ln5的近似值为
( )
A. 1.519B. 1.726C. 1.609D. 1.316
5.已知a=243，b=425，c=2013，则
( )
A. b6.通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y=x称为取整函数．那么“x=y”是“x-y<1”的
条件( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
7.若关于x的不等式1x-a>1x-b的解集是x1( )
A. a-b<0B. a+b=4C. a=1，b=3D. a=3，b=1
8.已知函数fx=-2x2+4x,x≤2x-2x+1,x>2，若存在三个不相等的实数x1，x2，x3使得fx1=fx2=fx3，则fx1+x2+x3的取值范围是
( )
A. 25,1B. 25,+∞C. 25,2D. 2,+∞
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.满足函数fx=x2-ax+1在区间1,3上不单调的实数a的值可能是
( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.下列函数中，具备奇偶性的函数是( )
A. fx= x2B. fx=1+22x-1
C. fx=-x,x<-11,-11D. fx= 4-x22-x-2
11.已知二次函数fx=ax2+bx+c满足f1+x=f1-x，且对∀x1，x2∈-∞,1，都有fx1-fx2x1-x2>0，则下列结论正确的有
( )
A. f1.2>f1.5B. 2a+b=0
C. f- 212.已知a>0，b>0，a+b=1，则下列结论成立的是
( )
A. 1a+1b的最小值为4B. 1a+ab的最小值为3
C. 11-a+12-b的最小值为2D. a+1b的最小值为1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.幂函数fx=a2-2a+2xba>0的图象经过点2,4，则a+b=______．
14.若函数fx的定义域是2,5，则函数y=f2x-3 x2-2x-3的定义域是______．
15.已知fx=x2+x+2，则不等式fx+1<8的解集是______．
16.如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为 6，则该等腰三角形的面积最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
(1)已知x+x-1=3，求是x12+x-12值
(2)计算：2-12+40 2+1- 2-1-823+2lg5lg20+lg22．
18.(本小题12分)
已知函数fx=x+1x．
(1)判断函数fx在1,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)求函数gx= x2+4x2+5的值域．
19.(本小题12分)
已知集合A=xx2+ax-a-1<0,a∈R，B=x2(1)若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；
(2)设p:x∈A，q:x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+600．
(1)设袁阳每月获得的利润为ω(单位：元)，写出每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系；
(2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？
21.(本小题12分)
已知lgab+lgba=52，ab=ba，其中a>b>1．
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数fx=m⋅ax+bx+1在定义域1,2上为增函数，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数fx的定义域为R.当x>0时，fx=2x+a，a∈R．
(1)若函数fx为奇函数，求函数fx的表达式；
(2)若函数fx是奇函数且在R上单调，求实数a的取值范围；
(3)在(1)的条件下，若关于x的方程(fx+2+afx-a=0有三个不等的实数根，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据运算先求出集合 B ，再利用交集运算求解即可．
解：因为集合 A=x1所以 A∩B=A ，
故选：B
2.【答案】D
【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．
解：命题“方程 x2-8x+15=0 有一个根是偶数”的否定是：方程 x2-8x+15=0 没有一个根是偶数，只有D符合．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据图象上特殊点 (0,0) 检验即可得解．
解：对于A， f(0)=12 ，与图象不相符，故错误；
对于B， f(0) 无意义，与图象不相符，故错误；
对于D， f(0) 无意义，与图象不相符，故错误；
对于C，函数定义域为 R ， f(0)=0 ， f-x=e-x-exe-x+ex=-fx ，函数为奇函数，符合图象，故C正确．
故选：C
4.【答案】C
【解析】【分析】根据对数的运算性质及所给数据计算可得．
解：因为 ln2≈0.693 ， ln54≈0.223 ，
所以 ln54=ln5-ln4=ln5-2ln2 ，则 ln5=ln54+2ln2≈0.223+2×0.693=1.609 ．
故选：C
5.【答案】A
【解析】【分析】利用指数函数与幂函数的单调性判断．
解： b=425=245 ，又 43>1>45 ，指数函数 y=2x 是增函数，所以 243>245 ，即 a>b ，
243=1613 ，而 20>16 ，幂函数 y=x13 是增函数，所以 2013>1613 ，即 c>a ，
所以 c>a>b ，
故选：A．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据给定的信息，结合充分条件、必要条件的定义判断作答．
解：若 x=y ，则可设 x=y=a ，则 x=a+b ， y=a+c ，其中 b,c∈0,1 ，
∴ x-y=b-c ，而 -1但当 x-y<1 时， x,y 不一定相等，
例如 x=2.9 ， y=3.1 ，满足 x-y<1 ，但 x=2,y=3 ，
即“ x-y<1 ”推不出“ x=y ”，
所以“ x=y ”是“ x-y<1 ”的充分不必要条件．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】【分析】解不等式，根据不等式的解集确定 a,b 的值．
解：不等式 1x-a>1x-b 可化为 a-b(x-a)(x-b)>0 ，
若 a-b>0 ，则不等式化为 (x-a)(x-b)>0 ，解集不可能是 x1不等式化为 (x-a)(x-b)<0 ，由题意 a,b 中一个为1，一个为3，而 a-b<0 ，因此有 a=1,b=3 ，BC均正确，D错误．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】【分析】作出函数图象，由图象得出 x1,x2,x3 具有的关系、范围，从而再由函数的单调性得出结论．
解：作出函数 y=f(x) 的图象，如图，在 (0,2) 上它关于直线 x=1 对称，
x>2 时， f(x)=x-2x+1=1-3x+1∈(0,1) ，且 f(x) 为增函数，
fx1=fx2=fx3 ，则 x1+x2=2 ， x3>2 ，
x1+x2+x3=2+x3>4 ， f(4)=4-24+1=25 ，所以 f(x1+x2+x3)∈(25,1) ，
故选：A．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】根据二次函数的性质得到不等式，解出即可．
解：由题得 1故选：ABC．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，先求出定义域，定义域符合条件再判断 f(-x),f(x) 的关系得解．
解：对于A， fx= x2 的定义域 x∈[0,+∞) ，不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数，故错误；
对于B， fx=1+22x-1 定义域为 x∈(-∞,0)∪(0,+∞) ，关于原点对称，
又 f(-x)=1+22-x-1=1+2⋅2x1-2x=1+2x1-2x=-1+21-2x=-1-22x-1=-f(x) ，
所以函数 fx=1+22x-1 为奇函数，故B正确；
因为 fx=-x,x<-11,-11 的定义域为 x∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞) ，关于原点对称，
当 x<-1 时，则 -x>1 ， f(-x)=-x=f(x) ，
当 x>1 时，则 -x<-1 ， f(-x)=-(-x)=x=f(x) ，
当 -1综上，当 x∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞) 时，都有 f(-x)=f(x) ，故函数 偶函数，故C正确；
因为 fx= 4-x22-x-2 ，所以 4-x2≥0x-2≠2 ，解得 -2≤x≤2 且 x≠0 ，
所以函数定义域为 [-2,0)∪(0,2] ，关于原点对称，
由定义域可知 f(x)= 4-x22-(2-x)= 4-x2x ，所以 f(-x)= 4-(-x)2-x= 4-x2-x=-f(x) ，故函数为奇函数，故D正确．
故选：BCD
11.【答案】ABC
【解析】【分析】可以知道二次函数 fx 是以 x=1 为对称轴，且在区间 -∞,1 上为增函数，从而在 1,+∞ 上为减函数，根据单调性可判断A的真假，根据离对称轴越近，所对应的函数值越大，可判断C的真假，因为无法确定 c 的符号，所以D无法判定．
解：∵ fx 为二次函数，
由 f1+x=f1-x 得函数的对称轴为 x=1 ，即： -b2a=1 ⇒ 2a+b=0 ，故B正确；
由对任意 x1,x2∈-∞,1 ，都有 fx1-fx2x1-x2>0 ，所以 fx 在 -∞,1 上为增函数，
从而在 1,+∞ 上为减函数，因为： 1<1.2<1.5 ，所以 f1.2>f1.5 ，故A正确；
又因为： - 2-1> 3-1 ，所以 f- 2因为没有条件涉及 c ，所以 c 的符号无法判断，故D无法判断真假．
故选：ABC．
12.【答案】AB
【解析】【分析】由基本不等式判断AB，利用函数的单调性判断CD．
解： a>0,b>0,a+b=1 ，则 0 由题意 a+b=1≥2 ab ，所以 ab≤14 ，当且仅当 a=b=12 时等号成立，即 ab 的最大值是 14 ，
1a+1b=a+bab=1ab≥4 ，A正确；
1a+ab=1a+1-bb=1a+1b-1≥3 ，B正确；
11-a+12-b=1b+12-b=2b(2-b)=2-b2+2b=2-(b-1)2+1 ，函数 y=2-(b-1)2+1 在 b∈(0,1) 时是减函数，因此它没有最小值也没有最大值，C错误；
a+1b=1-b+1b ，而函数 y=1-b+1b 在 (0,1) 上是减函数，没有最小值也没有最大值，D错．
故选：AB．
13.【答案】3
【解析】【分析】根据幂函数的定义可求出 a 的值，再由 f2=4 可求出 b 的值，由此可得出 a+b 的值．
解：因为幂函数 fx=a2-2a+2xba>0 的图象经过点 2,4 ，
则 a2-2a+2=1 ，即 a-12=0 ，可得 a=1 ，则 fx=xb ，
又因为 f2=2b=4 ，解得 b=2 ，因此， a+b=3 ．
故答案为： 3 ．
14.【答案】3,4
【解析】【分析】由已知求得 f2x-3 的定义域，再由分母中根式内部的代数式大于0求解．
解：函数 fx 的定义域是 2,5 ，所以 2≤2x-3≤5 ，即 52≤x≤4 ，
所以 f2x-3 的定义域为 52,4 ，
所以函数 y=f2x-3 x2-2x-3 有意义需满足 52≤x≤4x2-2x-3>0 ，
解得 3即数 y=f2x-3 x2-2x-3 的定义域为 3,4 ，
故答案为 ： 3,4 ．
15.【答案】-3,1
【解析】【分析】将 fx 改写成分段函数，然后根据分段函数的解析式，分 x+1≥0 和 x+1<0 两种情况讨论求解
解：对于 fx=x2+x+2 ，
当 x≥0 时， fx=x2+x+2 ，当 x<0 时， fx=x2-x+2 ，
所以 fx=x2+x+2,x≥0x2-x+2,x<0 ，
当 x+1≥0 时，即 x≥-1 时，不等式 fx+1<8 可化为 x+12+x+1+2<8 ，
即 x2+3x-4<0 ，解得 -4当 x+1<0 时，即 x<-1 时，不等式 fx+1<8 可化为 x+12-x+1+2<8 ，
即 x2+x-6<0 ，解得 -3综上，不等式 fx+1<8 的解集为 -3,1 ，
故答案为： -3,1 ．
16.【答案】4
【解析】【分析】作 CE⊥AB 于 E ， DF⊥AB 于 F ，设 DF=h ， FB=b ，故 AF=3b ，得到 6=9b2+h2 ， S△ABC=4bh ，利用均值不等式计算得到答案．
解：如图所示：作 CE⊥AB 于 E ， DF⊥AB 于 F ，则 AE=EB ， EF=FB ，
设 DF=h ， FB=b ，故 AF=3b ，
在 ▵ADF 中： 6=9b2+h2≥2 9b2+h2=6bh ，即 bh≤1 ，
当且仅当 9b2=h2 ，即 h= 3 ， b= 33 时等号成立， S△ABC=2S△ABD=4bh≤4 ．
故答案为： 4 ．
17.【答案】解：(1)由于 x12+x122=x+x-1+2=5 ，因为 x12+x-12>0 ，所以 x12+x12= 5
(2)原式 = 22+ 22- 2+1-4+2lg52lg2+lg5+lg22
= 22+ 22- 2+1-4+22lg2⋅lg5+lg52+lg22 ，
= 22+ 22- 2+1-4+2lg2+lg52
= 22+ 22- 2+1-4+2
=-3 ．
【解析】【分析】(1)由指数幂的运算性质运算即可得解；
(2)利用指数和对数的运算性质求解．
18.【答案】解：(1)fx 在 1,+∞ 上是增函数，证明如下：
任取 x1 ， x2∈1,+∞ ，且 x1fx2-fx1=x2+1x2-x1+1x1
=x2-x1+1x2-1x1=x2-x1x2x1-1x2x1
∵ x1 ， x2∈1,+∞ ，且 x10 ， x2x1>1 ，
∴ fx2-fx1>0 即 fx1∴函数 fx 在 1,+∞ 上是增函数．
(2)令 t= x2+4t≥2 ，则 t2-4=x2 ，
于是 gx 的值域即为求 ht=tt2+1=1t+1t 的值域，
由(1)知函数 y=t+1tt≥2 在 2,+∞ 是单调递增的，
所以当 t=2 时，即 x2+4=2 ，即 x=0 时， y 取最小值 ymin=2+12=52 ，
所以 0<1t+1t≤25 ，
所以函数 gx= x2+4x2+5 的值域为 0,25
【解析】【分析】(1)根据单调性的定义证明即可．
(2)令 t= x2+4t≥2 ，换元法结合单调性求函数的值域．
19.【答案】解：(1)依题意， -a-1<0a+3≥0 ，解得 a>-1 ，
所以 a 的取值范围为 -1,+∞ ．
(2)由 p 是 q 的必要不充分条件，得 B 真包含于 A ，而 B=x2不等式 x2+ax-a-1<0⇔(x-1)(x+a+1)<0 ，
显然 52∈A ，即 32a+214<0 ，解得 a<-72 ，则 -a-1>1 ，因此 A=x1于是 -a-1≥3 ，解得 a≤-4 ，
所以 a 的取值范围为 -∞,-4 ．
【解析】【分析】(1)利用元素与集合的关系列出不等式组，求解不等式组即得．
(2)由必要不充分条件的定义，利用集合的包含关系列式求解即得．
20.【答案】解：(1)依题意可知每件的销售利润为 x-20 元，每月的销售量为 -10x+600 件，
所以每月获得的利润 ω 与销售单价 x 的函数关系为
ω=x-20-10x+60020≤x≤60
(2)由每月获得的利润不小于 3000 元，得： x-20-10x+600≥3000
化简，得 x2-80x+1500≤0 ．
解得 30≤x≤50 ．
又因为这种节能灯的销售单价不得高于 40 元，所以 30≤x≤40 ．
设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，则
p=24-20-10x+600=-40x+2400 ．
由 30≤x≤40 ，得 800≤-40x+2400≤1200 ．
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为 800,1200 元．
【解析】【分析】(1)每件的销售利润乘以每月的销售量即为利润，据此列方程即可；
(2)设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
21.【答案】解：(1)设 lgba=k ，则 k>1 ，因为 k+1k=52 ，所以 k=2 ，则 a=b2 ．
又 ab=ba ，所以 b2b=bb2 ，即 2b=b2 ，
又 a>b>1 ，解得 b=2 ， a=4 ．
(2)由(1)得 fx=m⋅4x+2x+1 ，令 t=2x ， x∈1,2 ，
则 y=mt2+t+1 ， t∈2,4 ．
为使 fx 在 1,2 上为增函数，
则 m=0 或 m>0-12m≤2 或 m<0-12m≥4 ，
解得 m=0 或 m>0 或 -18≤m<0 ，
综上， m 的取值范围为 -18,+∞
【解析】【分析】(1)根据题意，令 lgba=k ，利用 k+1k=52 ，求出 a,b 关系，结合 ab=ba ，求出 a ， b 的值．
(2)将 a ， b 的值代入，换元令 t=2x ，转换为 y=mt2+t+1 在指定区间为增函数问题，分类讨论即可．
22.【答案】解：(1)当 x=0 时， f0=0 ；
当 x<0 时， fx=-f-x=-2-x+a=-2-x-a ；
故 fx=-2-x-a,x<00,x=02x+a,x>0
(2)当 x>0 时， fx 是单调增函数， fx 在 R 上单调，则 fx 必为 R 上的单调增函数，
只须满足 -20-a≤0≤20+a ，得 a≥-1 ，即 a∈-1,+∞ ．
(3)fx+2+afx-a=0 ， fx=-2-a 或 fx=a ，
若 fx 是单调函数，最多有两个解，不满足，故 a<-1 ，画出函数图像，如图所示：
方程有三个不等的实数根，而 a<1+a ，
故只须 1+a<-2-a<-1-a 且 -2-a≠0 ，解得 a<-32 且 a≠-2 ，
综上所述： a 的取值范围为 -∞,-2∪-2,-32 ．
【解析】【分析】(1)确定 f0=0 ，当 x<0 时， fx=-f-x=-2-x-a ，得到答案．
(2)确定函数单调递增，得到 -20-a≤0≤20+a ，解得答案
(3)确定 fx=-2-a 或 fx=a ，函数不单调，画出函数图像，根据图像得到 1+a<-2-a<-1-a 且 -2-a≠0 ，解得答案．
1.已知集合A=x1
2.命题“方程x2-8x+15=0有一个根是偶数”的否定是
( )
A. 方程x2-8x+15=0有一个根不是偶数
B. 方程x2-8x+15=0至少有一个根不是偶数
C. 方程x2-8x+15=0至多有一个根不是偶数
D. 方程x2-8x+15=0的每一个根都不是偶数
3.若函数fx的图象如图所示，则fx的解析式可能是
( )
A. fx=1ex+e-xB. fx=1ex-e-xC. fx=ex-e-xex+e-xD. fx=ex+e-xex-e-x
4.我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln54≈0.223，由此可知ln5的近似值为
( )
A. 1.519B. 1.726C. 1.609D. 1.316
5.已知a=243，b=425，c=2013，则
( )
A. b
条件( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
7.若关于x的不等式1x-a>1x-b的解集是x1
A. a-b<0B. a+b=4C. a=1，b=3D. a=3，b=1
8.已知函数fx=-2x2+4x,x≤2x-2x+1,x>2，若存在三个不相等的实数x1，x2，x3使得fx1=fx2=fx3，则fx1+x2+x3的取值范围是
( )
A. 25,1B. 25,+∞C. 25,2D. 2,+∞
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.满足函数fx=x2-ax+1在区间1,3上不单调的实数a的值可能是
( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.下列函数中，具备奇偶性的函数是( )
A. fx= x2B. fx=1+22x-1
C. fx=-x,x<-11,-1
11.已知二次函数fx=ax2+bx+c满足f1+x=f1-x，且对∀x1，x2∈-∞,1，都有fx1-fx2x1-x2>0，则下列结论正确的有
( )
A. f1.2>f1.5B. 2a+b=0
C. f- 2
( )
A. 1a+1b的最小值为4B. 1a+ab的最小值为3
C. 11-a+12-b的最小值为2D. a+1b的最小值为1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.幂函数fx=a2-2a+2xba>0的图象经过点2,4，则a+b=______．
14.若函数fx的定义域是2,5，则函数y=f2x-3 x2-2x-3的定义域是______．
15.已知fx=x2+x+2，则不等式fx+1<8的解集是______．
16.如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为 6，则该等腰三角形的面积最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
(1)已知x+x-1=3，求是x12+x-12值
(2)计算：2-12+40 2+1- 2-1-823+2lg5lg20+lg22．
18.(本小题12分)
已知函数fx=x+1x．
(1)判断函数fx在1,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)求函数gx= x2+4x2+5的值域．
19.(本小题12分)
已知集合A=xx2+ax-a-1<0,a∈R，B=x2
(2)设p:x∈A，q:x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+600．
(1)设袁阳每月获得的利润为ω(单位：元)，写出每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系；
(2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？
21.(本小题12分)
已知lgab+lgba=52，ab=ba，其中a>b>1．
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数fx=m⋅ax+bx+1在定义域1,2上为增函数，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数fx的定义域为R.当x>0时，fx=2x+a，a∈R．
(1)若函数fx为奇函数，求函数fx的表达式；
(2)若函数fx是奇函数且在R上单调，求实数a的取值范围；
(3)在(1)的条件下，若关于x的方程(fx+2+afx-a=0有三个不等的实数根，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据运算先求出集合 B ，再利用交集运算求解即可．
解：因为集合 A=x1
故选：B
2.【答案】D
【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．
解：命题“方程 x2-8x+15=0 有一个根是偶数”的否定是：方程 x2-8x+15=0 没有一个根是偶数，只有D符合．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据图象上特殊点 (0,0) 检验即可得解．
解：对于A， f(0)=12 ，与图象不相符，故错误；
对于B， f(0) 无意义，与图象不相符，故错误；
对于D， f(0) 无意义，与图象不相符，故错误；
对于C，函数定义域为 R ， f(0)=0 ， f-x=e-x-exe-x+ex=-fx ，函数为奇函数，符合图象，故C正确．
故选：C
4.【答案】C
【解析】【分析】根据对数的运算性质及所给数据计算可得．
解：因为 ln2≈0.693 ， ln54≈0.223 ，
所以 ln54=ln5-ln4=ln5-2ln2 ，则 ln5=ln54+2ln2≈0.223+2×0.693=1.609 ．
故选：C
5.【答案】A
【解析】【分析】利用指数函数与幂函数的单调性判断．
解： b=425=245 ，又 43>1>45 ，指数函数 y=2x 是增函数，所以 243>245 ，即 a>b ，
243=1613 ，而 20>16 ，幂函数 y=x13 是增函数，所以 2013>1613 ，即 c>a ，
所以 c>a>b ，
故选：A．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据给定的信息，结合充分条件、必要条件的定义判断作答．
解：若 x=y ，则可设 x=y=a ，则 x=a+b ， y=a+c ，其中 b,c∈0,1 ，
∴ x-y=b-c ，而 -1
例如 x=2.9 ， y=3.1 ，满足 x-y<1 ，但 x=2,y=3 ，
即“ x-y<1 ”推不出“ x=y ”，
所以“ x=y ”是“ x-y<1 ”的充分不必要条件．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】【分析】解不等式，根据不等式的解集确定 a,b 的值．
解：不等式 1x-a>1x-b 可化为 a-b(x-a)(x-b)>0 ，
若 a-b>0 ，则不等式化为 (x-a)(x-b)>0 ，解集不可能是 x1
故选：D．
8.【答案】A
【解析】【分析】作出函数图象，由图象得出 x1,x2,x3 具有的关系、范围，从而再由函数的单调性得出结论．
解：作出函数 y=f(x) 的图象，如图，在 (0,2) 上它关于直线 x=1 对称，
x>2 时， f(x)=x-2x+1=1-3x+1∈(0,1) ，且 f(x) 为增函数，
fx1=fx2=fx3 ，则 x1+x2=2 ， x3>2 ，
x1+x2+x3=2+x3>4 ， f(4)=4-24+1=25 ，所以 f(x1+x2+x3)∈(25,1) ，
故选：A．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】根据二次函数的性质得到不等式，解出即可．
解：由题得 1
10.【答案】BCD
【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，先求出定义域，定义域符合条件再判断 f(-x),f(x) 的关系得解．
解：对于A， fx= x2 的定义域 x∈[0,+∞) ，不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数，故错误；
对于B， fx=1+22x-1 定义域为 x∈(-∞,0)∪(0,+∞) ，关于原点对称，
又 f(-x)=1+22-x-1=1+2⋅2x1-2x=1+2x1-2x=-1+21-2x=-1-22x-1=-f(x) ，
所以函数 fx=1+22x-1 为奇函数，故B正确；
因为 fx=-x,x<-11,-1
当 x<-1 时，则 -x>1 ， f(-x)=-x=f(x) ，
当 x>1 时，则 -x<-1 ， f(-x)=-(-x)=x=f(x) ，
当 -1
因为 fx= 4-x22-x-2 ，所以 4-x2≥0x-2≠2 ，解得 -2≤x≤2 且 x≠0 ，
所以函数定义域为 [-2,0)∪(0,2] ，关于原点对称，
由定义域可知 f(x)= 4-x22-(2-x)= 4-x2x ，所以 f(-x)= 4-(-x)2-x= 4-x2-x=-f(x) ，故函数为奇函数，故D正确．
故选：BCD
11.【答案】ABC
【解析】【分析】可以知道二次函数 fx 是以 x=1 为对称轴，且在区间 -∞,1 上为增函数，从而在 1,+∞ 上为减函数，根据单调性可判断A的真假，根据离对称轴越近，所对应的函数值越大，可判断C的真假，因为无法确定 c 的符号，所以D无法判定．
解：∵ fx 为二次函数，
由 f1+x=f1-x 得函数的对称轴为 x=1 ，即： -b2a=1 ⇒ 2a+b=0 ，故B正确；
由对任意 x1,x2∈-∞,1 ，都有 fx1-fx2x1-x2>0 ，所以 fx 在 -∞,1 上为增函数，
从而在 1,+∞ 上为减函数，因为： 1<1.2<1.5 ，所以 f1.2>f1.5 ，故A正确；
又因为： - 2-1> 3-1 ，所以 f- 2
故选：ABC．
12.【答案】AB
【解析】【分析】由基本不等式判断AB，利用函数的单调性判断CD．
解： a>0,b>0,a+b=1 ，则 0
1a+1b=a+bab=1ab≥4 ，A正确；
1a+ab=1a+1-bb=1a+1b-1≥3 ，B正确；
11-a+12-b=1b+12-b=2b(2-b)=2-b2+2b=2-(b-1)2+1 ，函数 y=2-(b-1)2+1 在 b∈(0,1) 时是减函数，因此它没有最小值也没有最大值，C错误；
a+1b=1-b+1b ，而函数 y=1-b+1b 在 (0,1) 上是减函数，没有最小值也没有最大值，D错．
故选：AB．
13.【答案】3
【解析】【分析】根据幂函数的定义可求出 a 的值，再由 f2=4 可求出 b 的值，由此可得出 a+b 的值．
解：因为幂函数 fx=a2-2a+2xba>0 的图象经过点 2,4 ，
则 a2-2a+2=1 ，即 a-12=0 ，可得 a=1 ，则 fx=xb ，
又因为 f2=2b=4 ，解得 b=2 ，因此， a+b=3 ．
故答案为： 3 ．
14.【答案】3,4
【解析】【分析】由已知求得 f2x-3 的定义域，再由分母中根式内部的代数式大于0求解．
解：函数 fx 的定义域是 2,5 ，所以 2≤2x-3≤5 ，即 52≤x≤4 ，
所以 f2x-3 的定义域为 52,4 ，
所以函数 y=f2x-3 x2-2x-3 有意义需满足 52≤x≤4x2-2x-3>0 ，
解得 3
故答案为 ： 3,4 ．
15.【答案】-3,1
【解析】【分析】将 fx 改写成分段函数，然后根据分段函数的解析式，分 x+1≥0 和 x+1<0 两种情况讨论求解
解：对于 fx=x2+x+2 ，
当 x≥0 时， fx=x2+x+2 ，当 x<0 时， fx=x2-x+2 ，
所以 fx=x2+x+2,x≥0x2-x+2,x<0 ，
当 x+1≥0 时，即 x≥-1 时，不等式 fx+1<8 可化为 x+12+x+1+2<8 ，
即 x2+3x-4<0 ，解得 -4
即 x2+x-6<0 ，解得 -3
故答案为： -3,1 ．
16.【答案】4
【解析】【分析】作 CE⊥AB 于 E ， DF⊥AB 于 F ，设 DF=h ， FB=b ，故 AF=3b ，得到 6=9b2+h2 ， S△ABC=4bh ，利用均值不等式计算得到答案．
解：如图所示：作 CE⊥AB 于 E ， DF⊥AB 于 F ，则 AE=EB ， EF=FB ，
设 DF=h ， FB=b ，故 AF=3b ，
在 ▵ADF 中： 6=9b2+h2≥2 9b2+h2=6bh ，即 bh≤1 ，
当且仅当 9b2=h2 ，即 h= 3 ， b= 33 时等号成立， S△ABC=2S△ABD=4bh≤4 ．
故答案为： 4 ．
17.【答案】解：(1)由于 x12+x122=x+x-1+2=5 ，因为 x12+x-12>0 ，所以 x12+x12= 5
(2)原式 = 22+ 22- 2+1-4+2lg52lg2+lg5+lg22
= 22+ 22- 2+1-4+22lg2⋅lg5+lg52+lg22 ，
= 22+ 22- 2+1-4+2lg2+lg52
= 22+ 22- 2+1-4+2
=-3 ．
【解析】【分析】(1)由指数幂的运算性质运算即可得解；
(2)利用指数和对数的运算性质求解．
18.【答案】解：(1)fx 在 1,+∞ 上是增函数，证明如下：
任取 x1 ， x2∈1,+∞ ，且 x1
=x2-x1+1x2-1x1=x2-x1x2x1-1x2x1
∵ x1 ， x2∈1,+∞ ，且 x1
∴ fx2-fx1>0 即 fx1
(2)令 t= x2+4t≥2 ，则 t2-4=x2 ，
于是 gx 的值域即为求 ht=tt2+1=1t+1t 的值域，
由(1)知函数 y=t+1tt≥2 在 2,+∞ 是单调递增的，
所以当 t=2 时，即 x2+4=2 ，即 x=0 时， y 取最小值 ymin=2+12=52 ，
所以 0<1t+1t≤25 ，
所以函数 gx= x2+4x2+5 的值域为 0,25
【解析】【分析】(1)根据单调性的定义证明即可．
(2)令 t= x2+4t≥2 ，换元法结合单调性求函数的值域．
19.【答案】解：(1)依题意， -a-1<0a+3≥0 ，解得 a>-1 ，
所以 a 的取值范围为 -1,+∞ ．
(2)由 p 是 q 的必要不充分条件，得 B 真包含于 A ，而 B=x2
显然 52∈A ，即 32a+214<0 ，解得 a<-72 ，则 -a-1>1 ，因此 A=x1
所以 a 的取值范围为 -∞,-4 ．
【解析】【分析】(1)利用元素与集合的关系列出不等式组，求解不等式组即得．
(2)由必要不充分条件的定义，利用集合的包含关系列式求解即得．
20.【答案】解：(1)依题意可知每件的销售利润为 x-20 元，每月的销售量为 -10x+600 件，
所以每月获得的利润 ω 与销售单价 x 的函数关系为
ω=x-20-10x+60020≤x≤60
(2)由每月获得的利润不小于 3000 元，得： x-20-10x+600≥3000
化简，得 x2-80x+1500≤0 ．
解得 30≤x≤50 ．
又因为这种节能灯的销售单价不得高于 40 元，所以 30≤x≤40 ．
设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，则
p=24-20-10x+600=-40x+2400 ．
由 30≤x≤40 ，得 800≤-40x+2400≤1200 ．
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为 800,1200 元．
【解析】【分析】(1)每件的销售利润乘以每月的销售量即为利润，据此列方程即可；
(2)设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
21.【答案】解：(1)设 lgba=k ，则 k>1 ，因为 k+1k=52 ，所以 k=2 ，则 a=b2 ．
又 ab=ba ，所以 b2b=bb2 ，即 2b=b2 ，
又 a>b>1 ，解得 b=2 ， a=4 ．
(2)由(1)得 fx=m⋅4x+2x+1 ，令 t=2x ， x∈1,2 ，
则 y=mt2+t+1 ， t∈2,4 ．
为使 fx 在 1,2 上为增函数，
则 m=0 或 m>0-12m≤2 或 m<0-12m≥4 ，
解得 m=0 或 m>0 或 -18≤m<0 ，
综上， m 的取值范围为 -18,+∞
【解析】【分析】(1)根据题意，令 lgba=k ，利用 k+1k=52 ，求出 a,b 关系，结合 ab=ba ，求出 a ， b 的值．
(2)将 a ， b 的值代入，换元令 t=2x ，转换为 y=mt2+t+1 在指定区间为增函数问题，分类讨论即可．
22.【答案】解：(1)当 x=0 时， f0=0 ；
当 x<0 时， fx=-f-x=-2-x+a=-2-x-a ；
故 fx=-2-x-a,x<00,x=02x+a,x>0
(2)当 x>0 时， fx 是单调增函数， fx 在 R 上单调，则 fx 必为 R 上的单调增函数，
只须满足 -20-a≤0≤20+a ，得 a≥-1 ，即 a∈-1,+∞ ．
(3)fx+2+afx-a=0 ， fx=-2-a 或 fx=a ，
若 fx 是单调函数，最多有两个解，不满足，故 a<-1 ，画出函数图像，如图所示：
方程有三个不等的实数根，而 a<1+a ，
故只须 1+a<-2-a<-1-a 且 -2-a≠0 ，解得 a<-32 且 a≠-2 ，
综上所述： a 的取值范围为 -∞,-2∪-2,-32 ．
【解析】【分析】(1)确定 f0=0 ，当 x<0 时， fx=-f-x=-2-x-a ，得到答案．
(2)确定函数单调递增，得到 -20-a≤0≤20+a ，解得答案
(3)确定 fx=-2-a 或 fx=a ，函数不单调，画出函数图像，根据图像得到 1+a<-2-a<-1-a 且 -2-a≠0 ，解得答案．
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