2023-2024学年上海市控江中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市控江中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，集合，若，则 .
【答案】
【分析】根据题意得到，代入集合B，结合元素的互异性，即可求解.
【详解】由题意，集合，又因为，所以，
则，
故答案为：.
2．“或”的否定形式为 ．
【答案】“且”
【分析】直接由或命题的否定法则进行否定即可得解.
【详解】由题意“或”的否定形式为“且”.
故答案为：“且”.
3．不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据等价于，求解即可.
【详解】因为，所以，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
4．已知幂函数的图像经过点，则实数的值为 ．
【答案】4
【分析】直接将点的坐标代入幂函数表达式即可求解.
【详解】因为幂函数的图像经过点，所以，解得.
故答案为：4.
5．关于的方程的两根为，，则的值为 ．
【答案】14
【分析】直接由韦达定理、平方和的变形公式计算即可.
【详解】因为关于的方程的两根为，，
所以由韦达定理有，
从而.
故答案为：14.
6．已知，用表示=
【答案】
【分析】利用对数运算公式化简，求得所求表达式.
【详解】依题意.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
7．已知正实数、满足，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正实数、满足，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.
故答案为：.
8．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先讨论，然后时，将一元二次不等式恒成立问题进行等价转换即可得解.
【详解】若，则不等式变为了恒成立，故满足题意；
若，则不等式恒成立等价于，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
9．对任意，指数函数的值总大于，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可知指数函数单调递减，且它在时的最小值要大于，由此即可得解.
【详解】由题意对任意，，故只能指数函数单调递减，且当时，，
即实数满足，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
10．关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意首先由三角不等式得到的最小值为，然后将问题转换为恒成立问题来做，进一步分类讨论解绝对值不等式即可.
【详解】因为，
所以，
即，
所以，等号成立当且仅当在和1两个数之间，规定时的取等条件为，
综上所述的最小值为，
因为关于的不等式的解集是，
所以恒成立，
所以当且仅当，
当时，不可能成立，当时，，解得.
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
11．若正实数，满足，，则的值为 .
【答案】20
【分析】利用对数的性质可得，故可求的值.
【详解】因为，
所以.
故答案为：20.
12．若“对于任意的实数，关于的不等式在区间上总有解”是真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意首先将问题转换为即可，其中，，这当然得对取分类讨论求的最大值（与有关），再根据相应的的范围即可得到此时的范围，由此即可得解.
【详解】由题意，使得，
不妨令，故只需即可，
当时，，
，有，，所以，即此时满足题意；
，有，，
不妨令，
，有，，即此时满足题意，
，有，，即此时满足题意；
，有，，所以，即此时满足题意；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是首先将问题转换为，使得，思路一定要明确，此时先对分类讨论求，由函数不等式恒成立、能成立问题的理论去解决即可.
二、单选题
13．函数的图象是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，继而根据幂函数的奇偶性和单调性进行判断即可得答案．
【详解】由题意得，故函数的定义域为R，为偶函数，
且函数在上单调递增，在上单调递减，
故选项，错误，
又当时，，即当时，图象上升的趋势较平缓，
由图象观察可知选项A错误，正确，
故选：．
14．已知实数满足，则函数在上的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数在上的单调性可求其最大值.
【详解】因为，则函数在上为减函数，则.
故选：A.
15．有四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若且，则．其中真命题的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】对于①，直接作差结合立方差公式变形即可判断；对于②，由对数函数单调性、换底公式即可判断；对于③，作商比较大小即可；对于④，直接根据不等式的性质，同向不等式相加即可判断.
【详解】对于①，若，则，故命题①是真命题；
对于②，若，则，故命题②是假命题；
对于③，若，，则，故命题③是真命题；
对于④，若且，则，故命题④是真命题；
综上所述：真命题有①③④.
故选：C.
16．设集合（其中常数，），（其中是常数），则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】讨论的取值范围，求出集合，进而求出集合，再根据充分条件、必要条件即可求解.
【详解】当时，，
若，则，此时，
当时，，
若，则，此时，
故“”是“”的充分条件；
当时，，若，，可得，
当时，，若，，可得，
所以“”不是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
三、解答题
17．已知函数的定义域为集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用集合的并集运算求解即可.
（2）根据有：集合是集合的子集，求解的取值范围即可.
【详解】（1）当时，集合，因为真数大于零，有：，
解得集合，所以.
（2）因为真数大于零，有：，解得集合，
集合且，所以集合是集合的子集：
，，无解，即集合B不是空集；
，则，解得.
所以
18．已知，．
(1)比较与的大小；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用作差法可得出与的大小关系；
（2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】（1）解：
.
因为，，则.
当时，，此时，；
当时，，此时，.
综上所述，当时，；当时，.
（2）解：因为，，且，
则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.
19．《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本（元）与每月分类处理量（吨）之间的函数关系式可近似表示为，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益.
（1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；
（2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？
【答案】（1）200吨；（2）.
【分析】（1）先列出每吨垃圾分类处理的平均成本关于分类处理量的函数关系，再结合重要不等式求最值即可，再运算取等的条件；
（2）先列出每月获利元与分类处理量的函数关系，再求解即可得解.
【详解】解：（1）由题意可知，每吨垃圾分类处理的平均成本为月处理成本除以月处理量，
即，
又 ，当且仅当，即时取等号，
故时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；
（2）设该小区每月获利为元，则该小区每月获利为月分类处理垃圾的利润减去月处理成本，
，
令，解得，又，
即，
故要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在.
【点睛】本题考查了重要不等式的应用及二次不等式的解法，重点考查了阅读理解能力，属中档题.
20．已知为实常数，函数．
(1)当时，求所有满足的的值；
(2)若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若方程有两个不相等的实数根，，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)的取值范围是.
【分析】（1）代入函数直接求解即可.
（2）先对不等式进行参数分离，利用换元法，整理得到在上恒成立，分析则在求最大值即可.
（3）先对的取值范围进行粗略的判断，得到，在对方程进行参数分离，分析有两根的情况下的取值范围，最后根据整理出对应方程两根的大小关系，用进行表示，最终得到的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则时，整理，
可知或者（不符合，舍去），则.
（2）对任意的，都有，
则，即恒成立.
令，，则在上恒成立.
则在求最大值即可.
当时，.
所以，即实数的取值范围为.
（3）因为方程有两个不相等的实数根，，
当时，与在上单调递增，故在上单调递增，
所以方程不可能有两个相等的实数根，则.
整理方程得，
令，则，则在有两个解，
令，则其在上为单调增，在上为单调减.
所以当时，取得最大值，且.
又因为当时，，所以的范围是.
又因为，可设，可得，
令，则为方程的两根，故①
又因为韦达定理可知：②
联立①②得，解得.
又因为求根公式计算，
所以，解得
则的取值范围是.
21．集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”．
(1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）；
(2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；
(3)若集合是“可分集合”，证明是奇数．
【答案】(1)不是“可分集合”，为“可分集合”
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由“可分集合”的定义判断；
（2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立；
（3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明.
【详解】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”，
对于，集合所有元素之和为.
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意.
综上所述，集合是“可分集合”.
（2）证明：不妨设，
若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，
若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有③，或者④，
由①③得，矛盾，由①④得，矛盾，
由②③得矛盾，由②④得矛盾，
故当时，集合一定不是“可分集合”．
（3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，
故的奇偶性相同，
①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，
②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”，
若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数
综上，集合中元素个数为奇数.
【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性.