2023-2024学年上海市华东师范大学附属东昌中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市华东师范大学附属东昌中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．若集合，集合，用列举法表示： .
【答案】
【解析】按照交集的运算求解即可.
【详解】解：集合，集合，
则集合.
故答案为：.
2．若，化简： .
【答案】
【解析】利用指数幂的运算法则计算即可．
【详解】
故答案为：
3．若不等式的解集是，则 .
【答案】
【解析】由一元二次不等式和一元二次方程的关系，结合根与系数的关系求出，可得答案．
【详解】不等式的解集是，即方程的两根为
由根与系数的关系可得，解得
则
故答案为：
4．函数恒过定点为 ．
【答案】
【详解】当时，，
故恒过．
点睛：函数图象过定点问题，主要有指数函数过定点，对数函数过定点，幂函数过点，注意整体思维，整体赋值求解．
5．函数f(x)=的定义域为 .
【答案】.
【分析】由题意得到关于的不等式组，解不等式组可得函数的定义域．
【详解】由题意得，解得，
所以函数的定义域为．
【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域时，可根据解析式的特征得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后可得函数的定义域．
6．设，则中等号成立的充要条件是 ．
【答案】且.
【分析】利用充分、必要性的定义判断题设不等式等号成立的充要条件即可.
【详解】由题设，，
∴要使等号成立，则且，
当且时，有，即成立.
综上，且是中等号成立的充要条件.
故答案为：且.
7．已知，则 （用表示）．
【答案】
【分析】根据对数运算求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
8．用反证法证明命题“已知，则且”时，先假设结论不成立，即 ．
【答案】或
【分析】根据反证法的概念直接写出结果.
【详解】由题可知：假设结论不成立，即或
故答案为：或
9．若幂函数的图像关于y轴对称，则实数 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可
【详解】由幂函数可得，解得或，
又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以．
故答案为：
10．实数x，y满足 ，则 的最小值是 .
【答案】6
【分析】根据基本不等式，结合条件，可直接求得答案.
【详解】由题意知： ，
故 ,
当且仅当 时取等号，
故答案为：6
11．已知函数在上是一个严格增函数，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性，判断两段函数的单调性以及分界点处的函数值情况，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】是上的严格增函数，
需满足，解得
故答案为：
12．对于问题:“已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式”,给出如下一种解法:
解析:由的解集,得
的解集为,即
关于的不等式的解集为.
参考上述解法,若关于的不等式的解集为
关于的不等式的解集为 .
【答案】.
【分析】关于的不等式可看成前者不等式中的用代入可得不等式的解集.
【详解】若关于的不等式的解集为
则关于的不等式可看成前者不等式中的用代入可得，
则，则.
故解集为：.
【点睛】本题考查不等式的解法，考查方法的类比，正确理解题意是关键．
二、单选题
13．“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要
【答案】C
【分析】本题可依次对“”是否是“”的充分条件以及“”是否是“”的必要条件进行判断，即可得出结果.
【详解】，即或，则，
“”是“”的充分条件，
，即，
，，，
“”是“”的必要条件，
故“”是“”的充要条件，
故选：C.
14．若，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据对数的运算性质即可求解.
【详解】对于A,若时，则无意义，故A错误，
对于B,若时，无意义，故B错误，
对于C,若，则或，故C错误，
对于D,若，则，故正确，
故选：D
15．已知，，，则的大小关系是（参考数据，）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出、、，即可判断.
【详解】，，，显然，
，，
，
所以，所以.
故选：B
16．设函数，若（其中），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析函数的性质并作出图象，将问题转化为直线与函数的图象的四个交点问题，结合图象性质再构造函数，借助单调性求解作答.
【详解】当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
作出函数的图象，如图，设，

当时，直线与函数的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为，且，
当时，由，解得或，于是，
由，得，则，即，而，
因此，
令，显然函数在上递减，且，于是，
所以的取值范围是．
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及同一函数的几个不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.
三、解答题
17．已知集合
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）化简集合，根据交集的概念进行运算可得结果；
（2）化简集合，根据子集关系列式可解得结果.
【详解】（1），
由，得，得，得，
，
所以.
（2），由得，解得.
18．已知函数，其中均为实数．
(1)若函数的图像经过点，求的值；
(2)若，函数在区间上有最小值，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将，点坐标代入直接求解即可；
（2）由对数函数的单调性求出的值即可．
【详解】（1）因为函数的图像经过点，，
所以，解得．
（2）因为，所以函数在区间上单调递减，
所以当时，取得最小值，
即，
解得．
19．已知函数的图像关于原点对称
(1)求实数的值（不需证明），
(2)解关于的不等式：；
(3)若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用关于原点对称，，解出的值，并验证；
（2）换元法求解不等式；
（3）对任意的实数，不等式恒成立，则，根据的单调性，求出即可.
【详解】（1）的图像关于原点对称，定义域为，关于原点对称，所以，即，
当时，，，
所以为奇函数，图象关于原点对称.
（2），令，则，化简为，
解得或，所以，
即即，
所以不等式的解集为.
（3）对任意的实数，不等式恒成立，则
又因为，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
20．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形（图中阴影部分）和一个小正方形构成的面积为的十字形地域，现计划在正方形上建一座花坛，造价为420元；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为21元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）．

(1)将表示为的函数；
(2)当为何值时，总造价最小？并求出这个最小值．
【答案】(1)
(2)米，元
【分析】（1）设，求得，结合题意，即可求得关于的函数关系式；
（2）由（1）中关于的函数关系式，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，正方形构成的面积为且，
矩形的面积为，则阴影部分的面积为，
设，则，可得，
且，解得，
所以
，
所以关于的函数关系式为.
（2）解：由（1）知，，
由，
当且仅当，即时等号成立，
即的长为米时，总造价为最小，且最小值为元.
21．设在二维平面上有两个点，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离．在初中时我们学过的两点之间的距离公式是，这样的距离称为欧几里得距离（简称欧氏距离）或直线距离．
(1)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么的取值范围是多少？
(2)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么的取值范围是多少？
(3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)1，理由见解析
【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义可得，解绝对值不等式可得答案.
（2）根据曼哈顿距离的定义可得恒成立，结合绝对值不等式的意义求出其最小值，解不等式即可求得答案.
（3）根据曼哈顿距离的定义可得的解析式，分段讨论，结合函数单调性求得每段上的最小值，综合可得答案.
【详解】（1）因为，故，
由曼哈顿距离不大于3可得，即，
则，解得，故的取值范围是.
（2）因为，故，
由题意可得:恒成立，
，
当且仅当时等号成立，即的最小值为，
，则或，解得或.
故的取值范围是或.
（3）点在函数图象上且，点的坐标为，
故，，
当时，，函数在上单调递增，
故，
当时，；
令，由于，故，
，，
故，即此时最小值为1，此时时取到.
当时，，
函数在上单调递减，故，
当且仅当时取等号，
综合以上可知，的最小值为1.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解曼哈顿距离或绝对值距离的定义，并根据此定义去解答问题，特别是第三问的解答，要注意分段讨论，判断函数的单调性，求解最值.