2023-2024学年上海市上海中学东校高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市上海中学东校高一上学期期中考试数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．用或填空：0 .
【答案】
【分析】空集中没有任何元素．
【详解】由于空集不含任何元素，∴．
故答案为．
【点睛】本题考查元素与集合的关系，关键是掌握空集的概念．
2．若集合，，且，则 ．
【答案】0
【分析】利用两个集合相等结合集合元素的互异性求解即可.
【详解】因为集合，所以解得或，
当时不满足集合元素互异性的要求舍去，
当时，，
故答案为：0
3．若集合有且仅有两个子集，则实数k的值是 .
【答案】－1或
【分析】依据题意可知A中只有一个元素，然后分，讨论计算即可.
【详解】由条件，知A中只有一个元素．
当时，．
当时，，解得，此时．
综上所述，实数k的值为或．
故答案为：－1或
4．不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】根据分式不等式的求解步骤，可得答案.
【详解】不等式，等价于，则，解得，
所以该不等式的解集为.
故答案为：.
5．方程的解是 .
【答案】
【分析】利用对数式与指数式互化解题，．
【详解】且，且
，即
解得（舍），
即方程的解是3.
【点睛】解简单对数不等式，要善于运用对数式指数式互化．
6．三角不等式中，等号当且仅当 成立．
【答案】
【分析】当、同号或时，的等号成立.
【详解】当时，，当时，，故当且仅当时，等号成立
故答案为：
7．如果，，那么，，从小到大的顺序是
【答案】
【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。
【详解】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；
同理，所以。
综上：
故答案为：
【点睛】此题考查比较大小，一般可以考虑作差，作商等方法进行比较，属于简单题目。
8．若正数x，y满足，则的最小值是 ．
【答案】5
【分析】先由条件得，再利用1的代换以及基本不等式求最值.
【详解】由条件，两边同时除以，得到，
那么
等号成立的条件是，即，即.
所以的最小值是5，
故答案为： 5 ．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.
9．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分类讨论的解题思想，结合一元二次不等式恒成立，可得答案.
【详解】当时，不等式化简为，显然此时不等式恒成立；
当时，由一元二次不等式恒成立可得，解得，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
10．定义：关于的不等式的解集叫的邻域．若的邻域为区间，则的最小值是
【答案】
【详解】根据邻域概念知， |x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），
∵|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b⇔（﹣2，2（a+b）﹣2），
∴2（a+b）﹣2＝2，⇒a+b＝2，
∴a2+b2（a+b）2＝2，当且仅当a＝b时取等号，
则a2+b2的最小值是2．
故答案为2．
11．设是非空集合，定义：且．已知，则等于 ．
【答案】
【分析】根据二次根数的定义结合一元二次不等式的解法，可得集合，由题意可得答案.
【详解】集合，
则，.
故答案为：.
12．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ．
【答案】
【分析】利用题设规定的子集的定义，将211化为的形式，从而得解.
【详解】由于，
因为集合，的子集为的第个子集，其中，
所以的第211个子集是.
故答案为：.
二、单选题
13．若集合中的元素是的三边长，则一定不是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有，
故一定不是等腰三角形；
故选：D.
14．已知，下列各不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】针对A，B，C选项代入特值即可得到答案，D选项利用基本不等式可得出结论.
【详解】取时，，可判断选项A，B不正确；
取时，，可判断选项C不正确；
因为同号，，
当且仅当时，等号成立，选项D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查不等式恒成立的问题，涉及到基本不等式的知识点，属于简单题.
15．设集合A＝{x|x＝，m∈N*}，若x1∈A，x2∈A，则（ ）
A．(x1+x2)∈AB．(x1﹣x2)∈AC．(x1x2)∈AD．∈A
【答案】C
【分析】利用元素与集合的关系的进行判定.
【详解】设，，
则，
因为p、，所以，则x1x2∈A，
故选：C．
16．已知、、为实数，，，记集合，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
B．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
C．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
D．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的判别式,结合函数的表达式,先考虑当集合的元素个数分别为2、3时, 集合的元素个数情况；再考虑当集合的元素个数分别为2、3时, 集合的元素个数情况,最后选出正确答案.
【详解】选项A：当时，集合的元素个数为2，此时,集合的元素个数为1,故本选项说法错误；
选项B：当时,集合的元素个数为2,此时，集合的元素个数为3，故本选项说法错误；
选项C：当时，集合的元素个数为3，此时,集合的元素个数为2,故本选项说法错误；
选项D：若集合的元素个数为3，方程有三个不等实根,则有,在该条件下方程一定有这一个根，且不是的根，又，所以有两个不等于的根，即集合的元素个数也一定为3.
故选D
【点睛】本题考查了通过方程根的情况求参数问题,考查了分类讨论思想.
三、解答题
17．已知集合，，，且，求.
【答案】
【解析】由得，代入中的方程可求得的值，从而解得集合,结合，可得集合,进而利用一元二次方程根与系数的关系得到的值，然后得到答案.
【详解】， 且，
将代入，得，
，
又，，，
利用韦达定理可得：，，
.
【点睛】本题考查根据集合的交集与并集求参数的值，涉及二次方程的根与系数的关系，属基础题.
18．集合，
（1）求
（2）求
【答案】（1），
（2）
【分析】（1）分式不等式转为为整式不等式求解，绝对值不等式直接打开；（2）直接进行集合的交补运算即可。
【详解】（1）
即；
即。
（2）
【点睛】此题考查集合的交补运算和不等式的解法，注意分式不等式转化为整式不等式求解时分母不为0，属于简单题目。
19．设，，若是的必要非充分条件，求实数的取值范围
【答案】
【分析】根据必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可。
【详解】设对应的集合是A，对应的集合是B，
若是的必要非充分条件，则
则
得
【点睛】此题考查简易逻辑，关键点理清楚前后的关系，属于简单题目。
20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨.
(1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本
(2)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少
【答案】(1)当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元
(2)当年产量为吨时，可获得最大利润万元
【分析】（1）根据已知条件求得总成本的表达式，利用二次函数的性质求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量.
（2）利用求得总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量.
【详解】（1）因为，
所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元.
（2）设该工厂年获得总利润为万元，
则.
因为在上是增函数，
所以当时，有最大值为.
故当年产量为吨时，可获得最大利润万元.
21．对于正整数集合（,）,如果去掉其中任意一个元素（）之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合是否为“和谐集”,并说明理由；
(2)求证：集合是“和谐集”；
(3)求证：若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.
【答案】(1)不是；理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.
【分析】(1)根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”；
(2)集合去掉任意一个元素进行分类讨论,找到符合题意的两个集合即可证明集合是“和谐集”；
(3)判断任意一个元素（）的奇偶性相同,分类讨论,可以证明出若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.
【详解】(1)当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：
,经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”；
(2)集合所有元素之和为49.
当去掉元素1时,剩下的元素之和为48,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
当去掉元素3时,剩下的元素之和为46,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
当去掉元素5时,剩下的元素之和为44,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
当去掉元素7时,剩下的元素之和为42,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
当去掉元素9时,剩下的元素之和为40,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
当去掉元素11时,剩下的元素之和为38,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
当去掉元素13时,剩下的元素之和为36,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
(3)设正整数集合（，）所有元素之和为,由题意可知
均为偶数,因此任意一个元素（）的奇偶性相同.
若是奇数,所以（）也都是奇数,由于,显然为奇数；
若是偶数, 所以（）也都是偶数.此时设（）显然也是“和谐集”,重复上述操作有限次,便可以使得各项都为奇数的“和谐集”,此时各项的和也是奇数,集合中元素的个数也是奇数,
综上所述：若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.
【点睛】本题考查了新定义的理解与运用,正确理解题意,运用分类讨论的方法是解题的关键.