上海市控江中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1—6题每个空格填对得4分，7—12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1. 若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a+b=___________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据集合相等求出即可求解.
【详解】{1，a}{2，b}，
则，，
所以a+b= 3.
故答案为：3
2. 设全集，集合，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据补集的定义进行求解即可.
【详解】由全集，集合，
则，
故答案为：.
3. 设，若关于的等式对于任意实数恒成立，则__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据多项式相等，相应系数分别相等可得.
【详解】由题意及多项式恒等，知，所以.
故答案为：6
4. 设，若恰有两个元素，则这两个元素的和为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用根与系数的关系进行求解即可.
【详解】由恰有两个元素，
则方程有两个不相等的实根，
因此利用根与系数的关系可知方程两根之和，即集合两个元素的和为，
故答案为：.
5. 已知关于的方程的一次项系数被“*”遮挡了.若此方程的一个根为101，则另一个根为__________.
【答案】12##0.5
【解析】
【分析】利用根与系数的关系进行求解即可.
【详解】设另一个根为，则两根之积为：，则.
故答案为：12.
6. 设，若是集合的真子集，则的值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】集合的真子集为空集，即为空集，求出的值即可.
【详解】由题意知集合为空集，则，即.
故答案为：.
7. 设全集，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据图，即可求解.
【详解】如图，根据条件画出图，可知，
故答案为：
8. 设，集合，且，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，则由集合的包含关系和集合中元素的性质，即可求得的值.
【详解】因为，所以，
①（舍去，不满足集合的互异性），
②（舍），或.
显然a=-1时满足题设.
故答案为：.
9. 设集合满足，则满足条件的所有的数目为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】列出所有满足条件的集合的情况，即可得问题的答案.
【详解】由题意知中必含有2和4，1和3可以选也可不选，则满足条件的所有的情况如下：
，，，.
所以满足条件的所有的数目为.
故答案为：4
10. 设，若关于的一元二次方程的两个实根为，且，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，再结合根与系数的关系进行求解即可.
【详解】由关于的一元二次方程的两个实根为，
则，解得：，
由根与系数的关系可得，，
则，
解得（舍），，
故答案为：.
11. 为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意在集合中选取的值，满足.
【详解】若命题为假命题，则由题意知，且，此时为.
故答案为：
12. 设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为__________.
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断.
【详解】①若，①错误，
②，②正确，
③，③正确，
④，④正确，
⑤若，⑤错误.
故答案为：②③④
二､选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 设，陈述句：，陈述句：.若使得是的充分条件，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】是的充分条件，说明由可以推出，可得对应集合是对应集合的子集，由此建立不等关系，可以得出实数的取值范围．
【详解】由：，即：，
由：，即：，
又是的充分条件，则，
因此可得，
故选：B.
14. 集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先对集合进行化简，然后再求交集即可.
【详解】由题，，
则.
故选：C.
15. 能整除8的所有正整数组成的集合可表示为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】能整除8的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可.
【详解】能整除8的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除，
利用描述法表示能整除8的所有正整数组成的集合，
由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除，
而选项B，符合能整除8的所有正整数组成的集合，因此B正确，
故选：B.
16. 设，集合，则总与相同集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分和进行分类讨论，确定集合具体元素，再结合选项进行判断即可.
【详解】若时，集合，
若时，集合
对于选项A，C表示含有两个元素的集合，因此A，C不符合；
对于选项B，当时，，当时，集合，因此B符合；
对于选项D，例如，则，此时与集合不相同，因此D不符合，
故选：B.
三､解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 设，集合，集合且.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1），求出，再利用交集的运算进行求解即可；
（2）分和，进行分类讨论，确定的取值范围.
【小问1详解】
若，则，
又，
【小问2详解】
当，即时，若，则，解得，
当，即时，此时集合为空集，故不符合，
综上.
18 设.
（1）求证：；
（2）若，求证：中至少有一个数是奇数.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据求解，即可证明；
（2）利用反证法，即可证明.
【小问1详解】
假设，则，
与矛盾，则假设不成立，故.
【小问2详解】
假设中都是偶数，
则，
两式相加并整理，得，
与矛盾，故假设不成立，
则中至少有一个数是奇数.
19. 设，集合.
（1）求证：“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件；
（2）是否存在，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）求出，时，分别对应的实数的范围，再根据充分非必要条件的定义进行判断即可；
（2）分别和，进行分类讨论，求出的值即可.
【小问1详解】
若，则，即，
若，则，即，
则“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件.
【小问2详解】
若，则，即，
若，则，即，
因此时，，
若，则集合中只有一个元素，
因此若，则集合中只有一个元素，即，
此时，，
综上知，则存在，使得.
20. 设，记关于与的二元一次方程组的解集为.
（1）求；
（2）是否存在的值，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由；
（3）若使得中的数对为正整数数对，即与均为正整数，求的值以及对应的.
【答案】（1）
（2）存在，；
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）令，解方程组，即可求出；
（2）将代入，得到，求使方程无解即；
（3）由（2）知，，得，求出使得为正整数的，再求出对应的即可.
【小问1详解】
当时，方程组为，解得，所以.
小问2详解】
将代入，得，整理得，
当时，方程无解，即.
【小问3详解】
由，则，
由（2）知，，得，
因为为正整数，所以为正整数，解得或或，
当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以.
21. 设为实数，集合.
（1）若，求；
（2）若，求满足的条件；
（3）设，，且集合均恰有两个元素，求三元数对.
【答案】（1）；
（2）或
（3），，，.
【解析】
【分析】（1）代入，分解因式解方程可得；
（2）由是方程的根得，再按是否为方程的根分类讨论即可；
（3）先分析方程的一次项系数及方程二次项系数均不为，再分，，且三类情况讨论即可.
【小问1详解】
若，
则方程为，
即，解得或.
；
【小问2详解】
由题意知，.
，是方程根，
即，解得.
由，集合有且仅有一个元素，
即方程有且仅有一个根，
①若是方程的根，
则，且，解得；
②若不是方程的根，
则方程无实数根，
则；
综上所述，或.
【小问3详解】
，，
若，，
，
则，又，，
所以有，解得.
验证：当时，，
不满足集合恰有两个元素，故；
若， 由，
，
则，，又，则，又，
所以，即.
由，则,即,解得.
验证：当时，
也不满足集合恰有两个元素，故；
由上可知，且.则，
且方程与有相同的判别式，
即两方程根的个数相同. 由集合均恰有两个元素，则.
，
因为，则是方程或的根.
由，且，则是方程或的根.
①当时，是方程的根，，则，
又，则，由，
则是方程的根，则.
（i）若，联立解得.
验证：当，，时，
，
，满足题意；
（ii）若，方程有两个不相等的实数根，
又，则方程的两根必为和.
故由韦达定理得，解得；
验证：当时，
，
，满足题意；
②当时，，即是方程的根，
则，又，则，
则是方程的根，则，即
（i）若，联立解得.
验证：当，，时，
，
，满足题意；
（ii）若，方程有两不等的实数根，
又，则方程的两根必为和.
故由韦达定理得，解得；
验证：当时，
，
，满足题意；
③当且时，则不是方程的根，也不是方程的根.
由，则是方程的两实数根，
且是方程的根，
则有，解得.
验证：当且，，时，有.
有三个元素，故不满足题意；
综上所述，满足题意的所有三元数对有，，，.
【点睛】关键点分析：本题的关键在于两个突破口，一是以方程与的两根情况为入手点，当时可知，且；二是以为入手点，以“是否为方程的根”与“是否为方程的根”为分类界点产生讨论即可.