重庆市开州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份重庆市开州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，八年级的优秀率即可得．等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦B．垂直于弦的直径平分这条弦
C．任意三点确定一个圆D．圆内接四边形对角相等
5．估计的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
6．冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
7．下列每个图形都是由大小相同的三角形按照一定的规律排列而成，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有个小三角形，第③个图形中有个小三角形，按此规律，则第6个图形中的小三角形个数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是圆的直径，、、、是圆的弦，平分，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．正方形中，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，已知，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
10．对两个整式，进行如下操作：将的结果记为，称为第1次操作；将第1次操作的结果加上，结果记为，称为第2次操作；将第2次操作的结果加上，结果记为，称为第3次操作；将第3次操作的结果加上，结果记为，称为第4次操作；…．
①当时，则第5次操作的结果；
②当时，则第2023次操作的结果；
③当时，则前50次操作的结果之和．
其中正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、填空题
11．计算 ．
12．一个n边形的内角和正好是它的外角和的4倍，则 ．
13．有三张背面完全一样、正面分别标有数字的卡片，将它们背面朝上洗匀，从中随机抽取一张计为，放回洗匀再从中随机抽取一张记为，则的概率是 ．
14．将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为 ．（用一般式表示）
15．长方形中，以点为圆心的长为半径画弧交于点，以为直径的半圆与相切，切点为，已知，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
16．如图，菱形的边长为2，，是边上一点，将三角形沿翻折，点落在点处，交于点，则的长为 ．
17．已知关于的方程的解为正整数，关于的不等式组有且仅有3个整数解，则符合所有条件的整数的和为 ．
18．若一个各数位数字不为0的四位数，的千位数字与百位数字的和等于其十位数字与个位数字两倍的和，则称这个四位数为“双丰数”，将“双丰数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到新数，并记，则最小的“双丰数”为 ；若四位数（，，，，，，，为整数）为“双丰数”，且能被9整除，令，则在所有满足条件的“双丰数”中，当值最小时的“双丰数”为 ．
三、解答题
19．解方程与化简：
(1)解方程：；
(2)化简：．
20．如图，在平行四边形中，平分交于．
(1)用尺规作图完成以下基本作图：作的角平分线，分别交、于点、，连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论．）
(2)根据（1）中作图，证明四边形是菱形，请你补全证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∴________，
又∵平分
∴
∴
________，
又∵平分
∴
在和中
∴
∴________，
又∵，
四边形是平行四边形
又∵
∴________．
21．2023年10月，开州区某学校举办了以“莎姐守卫”未成年学生防性侵为主题的相关知识测试．为了了解学生对“莎姐守卫”未成年学生防性侵相关知识的掌握情况，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为，，，四个等级，分别是：
：，：，：，：．
其中，七年级学生的竞赛成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，
86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．
八年级等级的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，解答下列问题；
(1)填空：________，________，________；
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）
(3)若七年级有1000名学生参赛，八年级有900名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
22．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
23．如图，在三角形中，，以为直径的圆经过点，过点作圆的切线交延长线于点，点是圆上一点，点是劣弧的中点，弦的延长线交切线于点，

(1)判断于的数量关系并证明；
(2)若，求圆的半径．
24．如图1，在矩形中，，，动点以每秒1个单位的速度，从点出发．按的顺序在边上运动．与点同时出发的动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动．当动点运动到点时，动点、都停止运动．连接，设点的运动时间为秒，在运动过程中，的面积记为，三角形的面积为．
(1)直接写出，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在如图2的平面直角坐标系中，画出为，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时的取值范围．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点与点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点为线段上方抛物线上的任意一点，过点作交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移3个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点为原抛物线对称轴上一动点，是否存在以为腰，以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，正方形中，是边上的动点，交延长线于点，交于点，连接．
(1)若，求的长；
(2)若点是的中点，探究、、的数量关系，并说明理由；
(3)正方形的边长为2，直接写出四边形面积的最大值．
学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85.2
86
59.66
八年级
85.2
91
91.76
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.根据一元二次方程的定义即可求解．
【详解】解：A. 为一元一次方程，故错误；
B. ，为一元二次方程，故正确；
C. 为分式方程，故错误；
D. 为二元一次方程，故错误；
故选：B．
2．A
【分析】根据二次函数 顶点坐标是进行解答即可．
【详解】解：∵二次函数顶点坐标是，
∴二次函数图象的顶点坐标为．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念：图形绕着某点旋转后与原图重合的图形，对各选项分析判断求解．
【详解】A、绕着某点旋转后与原图不重合，故A选项不合题意；
B、绕着某点旋转后与原图重合，故B选项不合题意；
C、绕着某点旋转后与原图不重合，故C选项符合题意；
D、 绕着某点旋转后与原图不重合，故D选项不合题意．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了圆内的有关的定义及基础知识．根据圆的有关定义作出判断即可．
【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；
B、利用垂径定理可以得到垂直于弦的直径平分弦，故本选项符合题意；
C、经过不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，先利用二次根式的混合运算法则计算，进而估算的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴的值在3和4之间，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键．根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，列出方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意，得：
，
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形得出第⑥个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案.
【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数，
第②个图形中三角形的个数，
第③个图形中三角形的个数，
第④个图形中三角形的个数，
第⑤个图形中三角形的个数，
……
第⑥个图形中三角形的个数为，
第n个图形中三角形的个数为，
故选：B.
8．B
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理及角平分线定义求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据圆周角定理及直角三角形性质求解即可.
【详解】解：是圆的直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：B.
9．D
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，过作，由旋转得是等边三角形，即可求出，进而求出和即可解答.
【详解】解：连接，过作，如图，
将边绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：D.
10．A
【分析】本题考查整式加减及数字变化的规律．依次求出每次操作后的结果，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
，，，，，，
所以第次操作后：，为正偶数）；
当时，
，
又因为，
所以．故①正确．
当次，
，
又因为，
所以．故②正确．
，
又因为，
所以原式，
即．故③正确．
故选：A．
11．3
【分析】本题考查绝对值，零指数幂，根据绝对值，零指数幂的运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：3．
12．
【分析】根据多边形的内角和公式以及外角和，列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式以及外角和特征，掌握多边形外角和等于360°，正确列方程是解题关键．
13．
【分析】本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.画树状图，共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字的乘积为正数的结果有2种，再由概率公式求解即可.
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字的乘积为正数的结果有2种，
∴抽取的两张卡片上的数字的乘积为正数的概率是，
故答案为：.
14．或
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】解：∵，
∴将抛物线向左平移3个单位， 再向下平移2个单位，
得到的新抛物线解析式为，
故答案为：或．
15．
【分析】本题考查切线的性质，矩形的性质，扇形面积的计算，取中点O，连接，由切线的性质得到，由矩形的性质推出，又，推出四边形是正方形，得到阴影的面积=扇形的面积+扇形的面积-正方形的面积，即可求出阴影的面积．
【详解】解：取中点O，连接，
∵与半圆相切于E，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴阴影的面积扇形的面积扇形的面积正方形的面积，
∵，
∴正方形的边长是2，
∴阴影的面积．
故答案为：．
16．/
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，图形的折叠问题．设，根据菱形的性质可得，再根据折叠的性质可得，是等腰直角三角形，从而得到，再由，求出x的值，即可求解．
【详解】解：设，
∵菱形的边长为2，，
∴，
由折叠的性质得：，
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴．
故答案为：
17．
【分析】本题考查解一元一次不等式组及分式方程求参数，根据含参数一元一次不等式组的解法得到的范围，再由关于的方程的解为正整数，求出得到的范围，从而得到答案.
【详解】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
分式方程的解为正整数，且，
，
解得：，
解不等式组，
由①得；
由②得；
关于的不等式组解集为：，
关于的不等式组有且仅有3个整数解，
整数解为，即，
满足题意整数，之和为，
故答案为：.
18． 1211 9162
【分析】本题考查对题干中新定义运算法则的理解，第一空根据“双丰数”和定义的运算，进行分析计算即可，第二空根据定义的运算，将整理化简，因为能被9整除，推出能被9整除，得到可取、、、，根据“双丰数”定义，得到的值，再对结合进行分析，要值最小，即尽量取大且最大为，即可解题．
【详解】解：“双丰数”各数位数字不为0，其千位数字与百位数字的和等于其十位数字与个位数字两倍的和，
要“双丰数”最小，
“双丰数”的十位数与个位数应尽可能的小，其千位数字也尽可能的小，
故其十位数与个位数都为1．
其千位数字与百位数字的和，
故其千位数与百位数分别为1和2，
所以最小的“双丰数”为1211，
由题可知，，
，
能被9整除，能被9整除，
能被9整除，，
为“双丰数”，
又，，，，，，，为整数
，
即可取、、、，
①，有，即，，，
，
要值最小，即尽量取大且最大为，当时，，
②，有，
即，，，当时，，
即，，，当时，，
③，
要值最小，即，，
即，，
④，
要值最小，即，，
即，，
综上所述，最小，即，，，，
故答案为：，．
19．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，分式化简，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
∴，；
（2）解：
．
20．(1)见解析
(2)；；；四边形是菱形
【分析】本题考查了作图基本作图，平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质．
（1）利用基本作图，作的角平分线即可；
（2）证明得到，结合，，得到四边形是平行四边形，利用，证得四边形是菱形．
【详解】（1）解：作图如下：
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
∴，
，
又平分，
，
，
，
又平分，
，
在和中，
，
，
，
又，，
∴四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
故答案为：；；；四边形是菱形．
21．(1)，，
(2)见解析；
(3)估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有660人．
【分析】本题考查频数分布直方图，用样本估算总体，加权平均数，中位数．
（1）利用中位数和众数的定义即可求出和的值；利用八年级组的频数除以20即可得的值；
（2）根据平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得；
（3）分别利用1000和900乘以七、八年级的优秀率即可得．
【详解】（1）解：八年级、组的频数和为，
所以将八年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在组，分别为87，88，
则其中位数，
根据七年级成绩可知88分的最多有3人，所以众数为，
，
所以；
故答案为：87.5，88，35；
（2）解：八年级的成绩更好，理由如下：
七、八年级的平均数相同，但八年级成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的更好；
（3）解：（人，
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有660人．
22．(1)甲最多施工900米
(2)的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．
（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答；
（2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲施工米，
由题意可得：，
解得：．
答：甲最多施工900米．
（2）解：由题意可得：，
整理得，
解得．
答：的值为2．
23．(1)，见解析
(2)的半径为2
【分析】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质的，根据含角的直角三角形的性质证明即可；
（2）首先推导出，，进而得到，在中，利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，连接．

过点作圆的切线交延长线于点，
，
，
以为直径的圆经过点，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，，
，
点是劣弧的中点，
，
，
，
在中，设，则：，
由勾股定理，得：，
解得： （不合题意，舍去），，
，
在直角三角形中，同理可求，
的半径为2．
24．(1)，；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）点分三种情况：点在上运动、点在上运动和点在上运动，分别确定三角形的底和高求解即可；点在射线上运动，直接确定三角形的底和高求解即可；
（2）根据函数解析式描点作图，再观察的图象，可以从增减性写出函数的一条性质；
（3）先从图象上确定交点的横坐标，再利用确定 在下面的范围即可.
【详解】（1）解：当点在上运动时，；
当点在上运动时，；
当点在上运动时，；
∴；
当点在射线上运动时，；
∴；
（2）解：画出，的函数图象如下，

函数的一条性质：当时，y随x的增大而增大；当，y的值都为6；当，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）解：观察图象可得：当时，t的取值范围是：.
【点睛】本题考查了矩形的性质，动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，正确求出函数解析式并画出图象是解题的关键.
25．(1)
(2)的最大值为，此时点的坐标为
(3)存在，或或或
【分析】（1）把A、B的坐标代入函数解析式即可求解；
（2）先证明是等腰直角三角形，得出，然后求出直线解析式，设设，则，可求，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）首先求出点E、B的坐标，设，然后分两种情况：①，②，分别根据两点间距离公式求出k，得到M的坐标即可．
【详解】（1）解：把与点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：过点作轴交于点，
当时，，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∵轴，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为，
此时的坐标为；
（3）解：
，
∴抛物线沿着水平方向向右平移个单位长度得到新的抛物线为，
即，
联立方程组，解得，
∴，
设，
当时，则，
解得，
∴；
当时，，
解得，
∴
∴或或或时，存在以为腰，以、、为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，二次函数的图象和性质，二次函数的平移规律，解直角三角形，勾股定理的应用，坐标与图形性质，等腰三角形等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．
26．(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，然后求出，再根据等角的余角相等求出，再利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）过点作交于点，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
（3）连接，连接，设它们交于点，利用已知条件和（1）的结论得到，则点在以正方形的中心为圆心，对角线的一半为半径的圆弧上，当点运动弧的中点时，点到的距离最大；过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用全等三角形的判定与性质和等底等高的三角形的面积相等可得：三角形的面积四边形的面积，利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
【详解】（1）解：在正方形中，，，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：、、的数量关系为：．理由：
如图，过点作交于点，
在和中，
，
，
，
由（1）知：，
，
．
，，
．
∵，
，
．
在和中，
，
，
，
由（1）知：是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
；
（3）解：四边形面积的最大值为．理由：
连接，连接，设它们交于点，如图，
正方形的边长为2，
，，
．
是等腰直角三角形，
，
，
．
点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动，
即点在以正方形的中心为圆心，对角线的一半为半径的圆弧上，
当点运动弧的中点时，点到的距离最大．如图，
则，
由（1）知：，，
，
，
，
，
过点作于点，过点作，交的延长线于点，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
∴，
三角形的面积四边形的面积，
由题意：，，
．
三角形的最大面积为．
四边形面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．