数学3.1 椭圆练习

这是一份数学3.1 椭圆练习，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
3.1.4　椭圆专项训练一、单选题(共8小题)1．已知椭圆一个焦点(2,0)，离心率为，则椭圆的标准方程(　　)A．＋＝1 B．x2＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】D【解析】因为椭圆一个焦点(2,0)，所以椭圆的的焦点在横轴上，且c＝2，又因为该椭圆的离心率为，所以有＝⇒a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12，因此椭圆的方程为＋＝1．故选D．2．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】B【解析】由题意可得c＝2，设右焦点为F′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，由∠PFF′＋∠OF′P＋∠FPO＋∠OPF′＝180°知∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－20＝16，所以椭圆的方程为＋＝1．故选B．3．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)A．(－6，－1) B．(－6，－1)∪(－1,4)C．(－1,4) D．(－∞，－6)∪(4，＋∞)【答案】A【解析】因为方程表示椭圆，且焦点在y轴上，则有解得－6＜m＜－1．故选A．4．椭圆C：＋＝1(0＜b＜3)上恰有4个不同的点Pi(i＝1,2,3,4)满足|PiB|＝2|PiA|，其中A(1,0)，B(4,0)，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)A． B．C． D．【答案】D【解析】设P(x，y)，则|PB|＝2|PA|，即＝2，化简得到x2＋y2＝4，即椭圆与圆有4个交点，故b＜2，e＝＝＞．故1＞e＞．故选D．,5．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点，点M是过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点，且＝，则椭圆C的离心率为(　　)A． B．2－C．－1 D．【答案】C【解析】不妨设M在第一象限，由＝，两边平方后化简得·＝0，所以⊥．在Rt△MF1F2中，∵∠MOF2＝60°，|OM|＝c，|OF2|＝c，∴∠MF2F1＝60°，|MF2|＝c，|MF1|＝c，由椭圆定义可知|MF2|＋|MF1|＝c＋c＝2a，所以离心率e＝＝＝－1．故选C．6．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是2x＋y－9＝0，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆C的离心率是(　　)A． B．C． D．【答案】B【解析】设交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则∴两式作差得＋＝0，而M(4,1)是交点的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，结合已知直线方程，有＝－＝－2，又∵b2＝a2－c2，∴1－2＝1－e2＝，可得e＝．故选B．7．已知||＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，＝＋，则动点P的轨迹方程是(　　)A．＋y2＝1 B．x2＋＝1C．＋y2＝1 D．x2＋＝1【答案】A【解析】设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，即x＝x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝3y．因为||＝3，所以x＋y＝9，即2＋(3y)2＝9，整理得动点P的轨迹方程是＋y2＝1．故选A．8．已知点P在椭圆＋＝1上运动，点Q在圆(x－1)2＋y2＝上运动，则|PQ|的最小值为(　　)A．2 B．C．2－ D．【答案】D【解析】设点P(x，y)，则＋＝1，得y2＝3－，圆(x－1)2＋y2＝的圆心A(1,0)，半径为，则|AP|2＝(x－1)2＋y2＝x2－2x＋1＋3－＝x2－2x＋4，x∈[－3，3]，令h(x)＝x2－2x＋4，x∈[－3,3]，对称轴为x＝，所以当x＝时，h(x)取得最小值h＝×2－2×＋4＝，所以|AP|的最小值为，所以|PQ|的最小值为－＝．故选D．二、多选题(共2小题)9．已知椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M(1,1)，则下列结论正确的有(　　)A．△PF1F2的周长为8 B．△PF1F2的最大面积为2C．存在点P使得·＝0 D．|PM|＋|PF1|的最大值为5【答案】AB【解析】对于A，由椭圆C：＋＝1，可得△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2×3＋2＝8，故A正确；对于B，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，且最大面积为S＝×2×2＝2，故B正确；对于C，当P为椭圆短轴顶点时，∠F1PF2为最大，此时cos∠F1PF2＝＝＝＞0，即∠F1PF2为锐角，所以不存在点P使得·＝0，故C错误；对于D，由椭圆C：＋＝1，所以F2(1,0)，又因为M(1,1)，所以|MF2|＝＝1，所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋6－|PF2|＝6＋|PM|－|PF2|≤6＋|MF2|＝7，故D错误．故选AB．10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是(　　)A． B．C． D．【答案】CD【解析】由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a．又因为|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a．①当点P与F1，F2不共线时，在△PF1F2中，|PF1|－|PF2|＜|F1F2|，即a＜2c，所以e＝＞；②当点P与F1，F2共线时，分析知|PF1|＝a＋c，|PF2|＝a－c，所以a＋c＝2(a－c)，即a＝3c，所以e＝＝．综上，椭圆的离心率的取值范围是．故选CD．三、填空题(共4小题)11．若点A(1，m)在椭圆＋＝1的内部，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】∵点A(1，m)在椭圆＋＝1的内部，∴＋＜1，整理得m2＜2，解得－＜m＜．12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若△F1AB的周长为16，则椭圆方程为______________．【答案】＋＝1【解析】由△F1AB的周长为16可得4a＝16，所以a＝4，因为离心率为，即＝，所以c＝2，可得b2＝a2－c2＝12，所以椭圆方程为＋＝1．13．(2021年镇江模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，点P在过点A且垂直于x轴的直线l上，当△F1F2P的外接圆面积达最小时，PA长等于半焦距，则该椭圆的离心率为________．【答案】【解析】如图，设△F1F2P的外接圆的圆心为O′，则O′在F1F2的垂直平分线上，又∵点P在x＝a上，O′在y轴上，∴|O′P|≥a，即当△F1F2P的外接圆的半径为|O′P|＝a时，面积最小，由题意可知|PA|＝|O′O|＝c，|O′P|＝|O′F2|＝a，在Rt△O′OF2中，c2＋c2＝a2，即e＝＝．14．已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝81和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M点的轨迹方程是________．【答案】＋＝1【解析】由题可得圆C1的圆心为C1(－2,0)，半径为r1＝9，圆C2的圆心为C2(2,0)，半径为r2＝3，设动圆M的半径为r，因为动圆M与圆C1内切，则由题可知圆M在圆C1内部，所以|MC1|＝9－r．因为动圆M与圆C2外切，所以|MC2|＝3＋r，则|MC1|＋|MC2|＝12＞|C1C2|，所以圆心M点的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，即a＝6，c＝2，则b2＝a2－c2＝32，所以圆心M点的轨迹方程是＋＝1．四、解答题(共2小题)15．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离为．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆的左焦点且斜率为2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AB|．解：(1)由题意得e＝＝，即a＝c，短轴一个顶点到长轴一个顶点的距离为，即b2＋a2＝()2＝5，而a2＝b2＋c2，所以a2＝3，b2＝2．所以椭圆C的方程为＋＝1．(2)由(1)得左焦点(－1,0)，直线l的方程：y＝2(x＋1)，联立直线l与椭圆的方程，消去y整理得7x2＋12x＋3＝0，设A(x，y)，B(x′，y′)，所以x＋x′＝－，xx′＝．所以|AB|＝＝×＝．16．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点．(1)当P为椭圆C的上顶点时，求∠F1PF2；(2)若F1P⊥F2P，求满足条件的点P的个数(直接写答案)；(3)直线y＝k(x－1)与椭圆C交于点A，B，若|AB|＝，求k．解：(1)因为椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C的上顶点，所以F1(－1,0)，F2(1,0)，P．所以|PF1|＝|PF2|＝2，|F1F2|＝2，所以∠F1PF2＝60°．(2)若F1P⊥F2P，满足条件的点P的个数为0．(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝．所以|AB|＝＝＝＝，解得k＝±．