高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数同步测试题，共5页。试卷主要包含了下列各式正确的是，化简 eq\r为，故选D，化简与计算等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．(2023年如东期末)式子 eq \r((π－4)2)＋ eq\r(3,(3－π)3)的值为( )
A．7－2πB．2π－7
C．－1D．1
【答案】A
【解析】∵ eq \r((π－4)2)＋ eq\r(3,(3－π)3)＝4－π＋3－π＝7－2π．故选A．
2．若 eq\r(4,a－2)＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是( )
A．(－∞，2)∪(2，＋∞)B．[2，＋∞)
C．(－∞，4)∪(4，＋∞)D．[2，4)∪(4，＋∞)
【答案】D
【解析】要使原式有意义，只需 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2≥0，,a－4≠0，))即a≥2且a≠4．
3．(2023年钦州期末)下列各式正确的是( )
A．．8 eq \s\up8(\f(2,3))＝2B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－3)＝－ eq \f(1,8)
C． eq \r((π－4)2)＝π－4D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81))) eq \s\up12(－\f(3,4))＝ eq \f(27,8)
【答案】D
【解析】对于A，8 eq \s\up8(\f(2,3))＝(23) eq \s\up8(\f(2,3))＝22＝4．对于B， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－3)＝23＝8．对于C，∵π＜4，∴ eq \r((π－4)2)＝4－π．对于D， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81))) eq \s\up12(－\f(3,4))＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(4))) eq \s\up12(－\f(3,4))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(－3)＝ eq \f(27,8)．故选D．
4．有下列各式：①( eq\r(n,a))n＝a；②x－ eq \s\up5(\f(3,4))＝ eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))\s\up12(4))；③a eq \s\up8(\f(3,4))·a eq \s\up5(\f(4,3))＝a；④ eq\r(4,a2＋b2)＝ eq \r(a＋b)．
其中正确的个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【解析】由n次方根的定义可知①对；因为 eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))\s\up12(4))＝ eq\r(3,x-4)＝x－ eq \s\up5(\f(4,3))，所以②是错的；因为a eq \s\up5(\f(4,3))·a eq \s\up8(\f(3,4))＝a eq \s\up8(\f(3,4))＋ eq \s\up5(\f(4,3))＝a eq \s\up5(\f(25,12))，所以③是错的；因为a2＋b2不是完全平方式，开不出来，所以④是错的．所以只有①对．故选B．
5．化简 eq\r(4,m6)(m＜0)为( )
A．m eq \r(m)B．m eq \r(－m)
C．－m eq \r(m)D．－m eq \r(－m)
【答案】D
【解析】因为m＜0，所以 eq\r(4,m6)＝ eq \r(－m3)＝－m eq \r(－m)．故选D．
6．(2023年湛江月考)若x－ eq \f(1,x)＝2，则 eq \f(x2,x4＋x2＋1)＝( )
A．5B．7
C． eq \f(1,7)D． eq \f(1,4)
【答案】C
【解析】因为x－ eq \f(1,x)＝2，两边平方，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x))) eq \s\up12(2)＝x2＋ eq \f(1,x2)－2＝4，即x2＋ eq \f(1,x2)＝6，所以原式＝ eq \f(1,x2＋1＋\f(1,x2))＝ eq \f(1,6＋1)＝ eq \f(1,7)．故选C．
7．(多选)在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的有( )
A．(－x)0.5＝－ eq \r(x)(x≠0)B． eq\r(6,y2)＝y eq \s\up5(\f(1,3))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y))) eq \s\up12(－\f(3,4))＝ eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))\s\up12(3))(xy≠0)D．x－ eq \s\up5(\f(1,3))＝－ eq\r(3,x)
【答案】ABD
【解析】对于A，当x＞0时，(－x)0.5无意义，故A错误；对于B，当y＜0时， eq\r(6,y2)≠y eq \s\up5(\f(1,3))，故B错误；对于C，由分数指数幂可得xy＞0，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y))) eq \s\up12(－\f(3,4))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x))) eq \s\up12(\f(3),4)＝ eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))\s\up12(3))，故C正确；对于D，x－ eq \s\up5(\f(1,3))＝ eq \f(1,x eq \s\up5(\f(1,3)))＝ eq \f(1,\r(3,x))，故D错误．故选ABD．
8．若 eq \r(x2＋2x＋1)＋ eq \r(y2＋6y＋9)＝0，则(x2 021)y＝________．
【答案】－1
【解析】因为 eq \r(x2＋2x＋1)＋ eq \r(y2＋6y＋9)＝0，所以 eq \r((x＋1)2)＋ eq \r((y＋3)2)＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，解得x＝－1，y＝－3．所以(x2 021)y＝[(－1)2 021]-3＝(－1)-3＝－1．
9．(2023年滨州期末)已知am＝9，an＝2，则 eq \r(am-2n)＝________．
【答案】 eq \f(3,2)
【解析】因为am＝9，an＝2，则am-2n＝ eq \f(am,a2n)＝ eq \f(am,(an)2)＝ eq \f(9,4)，所以 eq \r(am-2n)＝ eq \f(3,2)．
10．化简与计算：
(1)8 eq \s\up8(\f(2,3))－(0.5)-3＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3)))) eq \s\up12(－6)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(81,16))) eq \s\up12(－\f(3,4))；
(2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)；
(3)a eq \r(3)·a－ eq \r(3)＋(2 eq \r(2))2 eq \r(2)(a＞0)．
解：(1)8 eq \s\up8(\f(2,3))－(0.5)-3＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3)))) eq \s\up12(－6)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(81,16))) eq \s\up12(－\f(3,4))＝(23) eq \s\up8(\f(2,3))－(2-1)-3＋(3－ eq \f(1,2))-6× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(4))) eq \s\up12(－\f(3,4))＝22－23＋33× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(－3)＝4－8＋27× eq \f(8,27)＝4．
(2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)＝(－4÷12)·a-2-1+4·b-3+1+2·c-1＝－ eq \f(a,3c)．
(3)a eq \r(3)·a－ eq \r(3)＋(2 eq \r(2))2 eq \r(2)＝a eq \r(3)－ eq \r(3)＋2 eq \r(2)×2 eq \r(2)＝a0＋24＝1＋16＝17．
B级——能力提升练
11．(多选)(2023年淮安期中)若an＝b(a≠0，n＞1，n∈N*)，则下列说法中正确的有( )
A．当n为奇数时，b的n次方根为a
B．当n为奇数时， eq\r(n,b)＝a
C．当n为偶数时，b的n次方根为a
D．当n为偶数时， eq\r(n,b)＝|a|
【答案】ABD
【解析】当n为奇数时，b的n次方根只有1个，为a，即 eq\r(n,b)＝a，故A，B正确；当n为偶数时，∵(±a)n＝an＝b，∴b的n次方根有2个，为±a，故C错误；当n为偶数时， eq\r(n,b)＝|a|，故D正确．故选ABD．
12．若a＞1，b＞0，ab＋a－b＝2 eq \r(2)，则ab－a－b等于( )
A．4B．2或－2
C．－2D．2
【答案】D
【解析】设ab－a－b＝t．因为a＞1，b＞0，所以ab＞1，a－b＜1．所以t＝ab－a－b＞0．故t2＝(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2 eq \r(2))2－4＝4．所以t＝2．
13．若α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．
【答案】 eq \f(1,4) 2 eq \s\up8(\f(1,5))
【解析】利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝ eq \f(1,5)，则2α·2β＝2α＋β＝2-2＝ eq \f(1,4)，(2α)β＝2αβ＝2 eq \s\up8(\f(1,5))．
14．已知 eq \r(a) － eq \f(1,\r(a))＝ eq \f(3,2)，则 eq \r(a) ＋ eq \f(1,\r(a))＝________．
【答案】 eq \f(5,2)
【解析】依题意，设 eq \r(a) ＋ eq \f(1,\r(a))＝t，则t＞0，所以t2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(a) ＋\f(1,\r(a)))) eq \s\up12(2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(a) －\f(1,\r(a)))) eq \s\up12(2)＋4＝ eq \f(25,4)，所以t＝ eq \f(5,2)．
15．(2023年嘉祥期末)对下列式子化简求值．
(1)求值： eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)×\r(3,3))) eq \s\up8(6)－4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,27))) eq \s\up12(－\f(2,3))＋2 0220；
(2)已知a eq \s\up5(\f(x,2))－a－ eq \s\up5(\f(x,2))＝2(a＞0且a≠1)，求 eq \f(a2x＋a-2x,ax＋a－x)的值．
解：(1) eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)×\r(3,3))) eq \s\up8(6)－4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,27))) eq \s\up12(－\f(2,3))＋20220＝ eq \f(1,2)×23×32－4× eq \f(9,4)＋1＝36－9＋1＝28．
(2)∵a eq \s\up6(\f(x,2))－a－ eq \s\up5(\f(x,2))＝2，∴ax＋a－x＝(a eq \s\up5(\f(x,2))－a－ eq \s\up5(\f(x,2)))2＋2＝6，
∴a2x＋a-2x＝(ax＋a－x)2－2＝34，
∴ eq \f(a2x＋a-2x,ax＋a－x)＝ eq \f(17,3)．