数学必修 第一册3.2 函数的基本性质第一课时同步训练题

这是一份数学必修 第一册3.2 函数的基本性质第一课时同步训练题，共4页。试卷主要包含了故选C，故选A等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【解析】由图象可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B．
2．定义在R上的函数f(x)，对于任意的x1，x2∈R(x1≠x2)， eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)＞0都成立，则( )
A．f(2)＞f(3)B．f(2)≥f(3)
C．f(2)＜f(3)D．f(2)≤f(3)
【答案】C
【解析】因为对于任意的x1，x2∈R， eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)＞0都成立，所以f(x)在R上单调递增，故f(2)＜f(3)．故选C．
3．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)＞f(2a)B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a)D．f(a2＋1)＜f(a2)
【答案】D
【解析】因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1＞a2，所以f(a2＋1)＜f(a2)．故选D．
4．下列函数中，在区间(1，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝－3x－1B．y＝ eq \f(2,x)
C．y＝x2－4x＋5D．y＝|x－1|＋2
【答案】D
【解析】由一次函数的性质可知y＝－3x－1在区间(1，＋∞)上单调递减，故A错误；由反比例函数的性质可知y＝ eq \f(2,x)在区间(1，＋∞)上单调递减，故B错误；由二次函数的性质可知y＝x2－4x＋5在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故C错误；在(1，＋∞)上，y＝|x－1|＋2＝x－1＋2＝x＋1，为增函数．故选D．
5．函数y＝|x＋2|在区间[－3，0]上( )
A．单调递减B．单调递增
C．先减后增D．先增后减
【答案】C
【解析】因为y＝|x＋2|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x＜－2．))作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，易知在[－3，－2)上单调递减，在[－2，0]上单调递增．
6．函数y＝ eq \r(2x－3)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－3]B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
C．(－∞，1)D．[－1，＋∞)
【答案】B
【解析】由2x－3≥0，得x≥ eq \f(3,2)．又因为t＝2x－3在(－∞，＋∞)上单调递增，y＝ eq \r(t)在定义域上是增函数，所以y＝ eq \r(2x－3)的单调递增区间是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))．
7．已知函数y＝ax和y＝－ eq \f(b,x)在(0，＋∞)上都是单调递减，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)＜0B．增函数且f(0)＜0
C．减函数且f(0)＞0D．增函数且f(0)＞0
【答案】A
【解析】因为y＝ax和y＝－ eq \f(b,x)在(0，＋∞)上都是单调递减，所以a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a＜0．故选A．
8．函数f(x)＝|x－2|＋3的单调递减区间为________．
【答案】(－∞，2]
【解析】f (x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x＞2，,5－x，x≤2，))显然函数f(x)在x≤2时单调递减．
9．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上是单调递增，那么实数a的取值范围为________．
【答案】(－∞，2]
【解析】因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图象的对称轴为直线x＝ eq \f(a－1,2)，且函数f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上是单调递增，所以 eq \f(a－1,2)≤ eq \f(1,2)，解得a≤2．
10．判断并证明函数f(x)＝－ eq \f(1,x)＋1在(0，＋∞)上的单调性．
解：函数f(x)＝－ eq \f(1,x)＋1在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x1)＋1))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x2)＋1))＝ eq \f(x1－x2,x1x2)．
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2＞0．
又由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)＝－ eq \f(1,x)＋1在(0，＋∞)上单调递增．
B级——能力提升练
11．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋3a，x≥0，,x2－ax＋1，x＜0))是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
【答案】A
【解析】当x＜0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，则 eq \f(a,2)≥0，解得a≥0；当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤ eq \f(1,3)．所以0≤a≤ eq \f(1,3)．
12．(多选)下列四个函数在(－∞，0)上单调递增的有( )
A．y＝|x|＋1 B．y＝ eq \f(|x|,x)
C．y＝－ eq \f(x2,|x|) D．y＝x＋ eq \f(x,|x|)
【答案】CD
【解析】A中，y＝|x|＋1＝－x＋1(x＜0)在(－∞，0)上单调递减；B中，y＝ eq \f(|x|,x)＝－1(x＜0)在(－∞，0)上既不单调递增，也不单调递减；C中，y＝－ eq \f(x2,|x|)＝x(x＜0)在(－∞，0)上单调递增；D中，y＝x＋ eq \f(x,|x|)＝x－1(x＜0)在(－∞，0)上也单调递增．故选CD．
13．函数y＝|x2－2x－3|的增区间是____________，值域是________．
【答案】(－1，1)，(3，＋∞) [0，＋∞)
【解析】函数的图象如图所示．易知增区间为(－1，1)，(3，＋∞)，值域是[0，＋∞)．
14．设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)＞1的解集为____________．
【答案】 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜－\f(3,2)))))
【解析】由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又因为f(3)＝1，所以不等式f(x)＋f(－2)＞1，即为f(－2x)＞f(3)．因为f(x)是定义在R上的增函数，所以－2x＞3，解得x＜－ eq \f(3,2)．故不等式f(x)＋f(－2)＞1的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜－\f(3,2)))))．
15．已知函数f(x)＝x－ eq \f(a,x)＋ eq \f(a,2)在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解：设1＜x1＜x2，所以x1x2＞1．
因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－ eq \f(a,x1)＋ eq \f(a,2)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(a,x2)＋\f(a,2)))＝(x1－x2)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a,x1x2)))＜0．
因为x1－x2＜0，所以1＋ eq \f(a,x1x2)＞0，即a＞－x1x2．
因为1＜x1＜x2，x1x2＞1，
所以－x1x2＜－1，所以a≥－1．
所以a的取值范围是[－1，＋∞)．