【课时练】(湘教版) 2023-2024学年初中数学八年级上册 5.2 二次根式的乘法和除法 同步分层训练培优卷

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2023-2024学年初中数学八年级上册 5.2 二次根式的乘法和除法 同步分层训练培优卷(湘教版)一、选择题1．（2023八下·舟山期末）下列计算中，正确的是（　　）A．(−3)2=−3 B．96=62 C．3×6=6 D．32+42=7【答案】B【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法【解析】【解答】解：A、(-3)2=3，故错误；B、96=62，故正确；C、3×6=18=32，故错误；D、32+42=5，故错误.故答案为：B.【分析】根据二次根式的性质可判断A；根据二次根式的除法法则可判断B；根据二次根式的乘法法则可判断C；根据算术平方根的概念可判断D.2．（2023七下·沙坪坝期末）估计2(2+15)的值应在（　　）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【答案】D【知识点】估算无理数的大小；二次根式的乘除法【解析】【解答】解：原式=2×2+2×15=2+30，∵25＜30＜36，∴5＜30＜6，∴7＜2+30＜8，故答案为：D.【分析】利用二次根式的乘法先求出原式的值，再估算即可.3．下列各式从左至右的变形中，一定正确的是（　　）A．ab=a·b B．a2=a C．a·b=ab D．xy=xy【答案】C【知识点】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：A、若a=﹣1，b=﹣2，原式从左至右的变形中不成立；B、若a为负数，原式从左至右的变形中不成立；C、原式=ab，成立；D、若x=﹣1，y=﹣2，原式从左至右的变形中不成立，故选C【分析】利用二次根式的乘除法则以及二次根式性质判断即可．4．（2023·四川模拟）下列计算结果中，是无理数的是（　　）A．(−π)+π B．2×2 C．2+π D．4【答案】C【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法；无理数的认识【解析】【解答】解：A. (−π)+π=0，属于有理数，不符合题意；B. 2×2=2，属于有理数，不符合题意； C. 2+π，属于无理数，符合题意； D. 4=2，属于有理数，不符合题意；故答案为：C.【分析】根据加法法则、二次根式的乘法法则、算术平方根的概念分别计算出各个式子的结果，然后根据无理数是无限不循环小数进行判断.5．化简-xy2（y＜0）的结果是（　　）A．yx B．y-x C．-yx D．-y-x【答案】D【知识点】二次根式的性质与化简【解析】【解答】解：由二次根式的概念可知，﹣xy2≥0，又y＜0，∴﹣x≥0，∴化简-xy2（y＜0）的结果是﹣y-x，故选：D．【分析】根据二次根式的概念求出x的符号，根据二次根式的性质化简即可．6．（2022八下·连山期中）如果ab>0，a+b<0那么下面各式：①ab=ab；②ab⋅ba=1；③ab÷ab=−b；其中正确的是（　　）A．①② B．①③ C．①②③ D．②③【答案】D【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法【解析】【解答】解：∵a+b＜0，ab＞0，∴a，b同为负数，∴ab无意义，故①不符合题意；ab⋅ba=ab⋅ba=1=1，故②符合题意；ab÷ab=ab⋅ba=ab⋅ba=b2=−b，故③符合题意；故答案为：D．【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘除法逐项判断即可。7．已知a= 12+1 ，b= 12−1 ，则a与b的关系是（　　）A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等【答案】C【知识点】分母有理化【解析】【解答】解：a=12+1=2-12+12-1=2-1；b=12-1；∴a与b互为倒数. 故答案为：C. 【分析】本题利用分母有理化，得出a=12+1=2-12+12-1=2-1，再观察a与b的关系。8．（2022八下·高阳期末）在将式子mm（m＞0）化简时，小明的方法是：mm=mmm⋅m=mmm=m；小亮的方法是： mm=(m)2m=m；小丽的方法是：mm=m2m=m2m=m.则下列说法正确的是（　　）A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法错误B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法错误C．小明、小亮、小丽的方法都正确D．小明、小丽、小亮的方法都错误【答案】C【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化【解析】【解答】解：在将式子mm（m＞0）化简时， 小明的方法是：mm＝m⋅mm⋅m＝mmm＝m，正确；小亮的方法是：mm＝(m)2m＝m，正确；小丽的方法是：mm＝m2m＝m2m＝m，正确；则小明、小亮、小丽的方法都正确，故答案为：C 【分析】小明的方法：分子分母乘以有理化因式，化简即可；小亮的方法：将分子利用二次根式的性质化为（m）2，再约分即可；小丽的方法：将分子利用二次根式的性质化为m2，再利用二次根式的除法法则计算即可.二、填空题9．（2023八下·天河期末）计算8×2的结果是　 　．【答案】4【知识点】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：8×2=8×2=16=4故答案为：4.【分析】利用二次根式的性质进行乘法运算.10．（2022八上·嘉定期中）若两个代数式M与N满足M⋅N=−1，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则3−5的“互为友好因式”是　 　． 【答案】3+52 或 5+32【知识点】分母有理化；定义新运算【解析】【解答】解：由题意可得： 3−5 的“互为友好因式”为： −13−5=−1×(3+5)(3−5)(3+5)=−1×(3+5)−2=3+52 ， 故答案为： 3+52 ．【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。11．（2022九上·清水月考）若实数x，y满足x2+y2−4x=2y−5，则x+yx−y的值是　 　【答案】3+22【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；偶次幂的非负性【解析】【解答】解：∵x2+y2−4x=2y−5∴(x−2)2+(y−1)2=0∴x−2=0，y−1=0∴x=2，y=1∴x+yx−y=2+12−1=3+22．故答案为：3+22．【分析】利用配方法及完全平方公式把已知条件转化成(x−2)2+(y−1)2=0，根据两个非负数相加为0，则每个式子都为0，从而列方程求出x和y，代入后再进行分母有理化即可解答.12．（2020八上·覃塘期末）我们在二次根式的化简过程中得知： 12+1=2−1,13+2=3−2, 14+3=4−3 ，…，则 (12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+12020+2019) (2020+1)=　 　【答案】2019【知识点】平方差公式及应用；分母有理化【解析】【解答】 (12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+12020+2019) (2020+1)=( 2−1+3−2+4−3+ …+ 2020−2019 )( 2020+1 )=( 2020−1 )( 2020+1 )= (2020)2−1=2019.故答案为：2019【分析】先利用分母有理化求出第一个括号内的值，再利用平方差公式即可得答案.13．（2020八上·港南期末）观察下列等式：①13+1=3−1(3+1)(3−1)=3−12 ；②15+3=5−3(5+3)(5−3)=5−32③17+5=7−5(7+5)(7−5)=7−52…参照上面等式计算方法计算：11+3+13+5+15+7+⋯+1311+101=　 　.【答案】101−12【知识点】分母有理化【解析】【解答】 11+3+13+5+15+7+⋯+1311+101 ， = 3−12+5−32+7−52+⋯+101−992= 3−1+5−3+7−5+⋯+101−992= 101−12 .故答案为： 101−12 .【分析】利用分母有理化将每一个式子进行化简，然后利用二次根式的加减计算即可.三、解答题14．（2021八上·深圳月考）若 [x] 表示不超过x的最大整数（如 [π]=3，[−223]=−3 等），求 [12−1×2]+[13−2×3] +[13−2×3]+…+[12014−2013×2014] 的值． 【答案】解： 12−1×2=12−2=2+22=1+22 ， 13−2×3=13−6=3+63=1+63 ，14−3×4=14−12=4+124=1+124∴1(n+1)−n(n+1)=(n+1)−n(n+1)n2+2n+1−n2−n=(n+1)+n(n+1)n+1=1+n(n+1)n+1 ，∵1+n(n+1)n+1<1+(n+1)(n+1)n+1=2∵[x] 表示不超过x的最大整数，∴[1+n(n+1)n+1]=1 ，∴[12−1×2]+[13−2×3] +[13−2×3]+…+[12014−2013×2014]=2013×1=2013 ．【知识点】分母有理化；定义新运算【解析】【分析】先利用分母有理化的计算方法化简，再根据题干中的定义求解即可。15．（2021八上·彭州开学考）已知 112+21 + 123+32 + 134+43 +…+ 1nn+1+(n+1)n ＝ 4950 ，求n的值. 【答案】解：∵1nn+1+(n+1)n＝ nn+1+(n+1)nn2(n+1)−(n+1)2n＝ nn+1+(n+1)n−n(n+1)＝ nn ﹣ n+1n+1∴112+21 + 123+32 + 134+43 +…+ 1nn+1+(n+1)n ＝ 11 ﹣ 22 + 22 ﹣ 33 +……+ nn ﹣ n+1n+1 ＝1﹣ n+1n+1∴1﹣ n+1n+1 ＝ 4950 ，∴n＝2499【知识点】分母有理化【解析】【分析】1nn+1+(n+1)n通过变形可得 nn- n+1n+1，则原式可变形为1-n+1n+1＝4950，据此求解.四、综合题16．（2023八下·柳州期末）阅读下面的材料并解决问题.12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−113+2=3−2(3+2)(3−2)=3−212+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3……（1）观察上式并填空：16+5=　 　.（2）观察上式并猜想：当n是正整数时，1n+1+n=　 　；（用含n的式子表示）（3）请利用（2）的结论计算下列式子：(12+1+13+2+……+12022+2021+12023+2022)×(2023+1)【答案】（1）6−5（2）n+1−n（3）原式=(2−1+3−2+⋯+2023+1)=(−1+2023)    (2023+1)=(2023)2−12=2022【知识点】分母有理化【解析】【解答】解：（1）根据题意，16-5=1×(6+5)（6-5）（6+5）=(6+5)（6）2-（5）2，即16-5==(6+5)6-5=(6+5) （2）1n+1+n=1×(n+1-n)(n+1+n)(n+1-n)=n+1-n（n+1）2-（n）2n+1-n(n+1)-n=n+1-n （3）根据（2）的化简过程，原式==[(2-1)+(3-2)+……+(2023-2022)]×(2023-1)=(2-1+3-2+……+2023-2022)×(2023-1)=(-1+2023)(2023-1)=(2023)2-12=2023-1=2022 【分析】(1)结合阅读材料中分母有理化的方法，分子分母同乘以6-5，分母利用平方差公式化简； （2）同（1）分子分母同乘以n+1-n，分母利用平方差公式化简； （3）将每一个分母中含根号的二次根式利用（2）中的结论进行转化，然后通过合并同类项消项到最简，再利用平方差公式计算.17．（2023八下·大化期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题(2+1)(2−1)=1(3+2)(3-2)=1(4+3)(4-3)=1(5+4)(5-4)=1（1）观察以上规律，请写出第n个等式：　 　(n为正整数)．（2）利用上面的规律，计算12+1+13+2+14+3+…+1100+99（3）请利用上面的规律，比较(18-17)与(19-18)的大小．【答案】（1）(n+1+n)(n+1-n)=1（2）解：12+1+13+2+14+3+…+1100+99=2−1+3−2+4−3+…+100−99=100−1=10−1=9（3）解：(18-17)=118+17，19−18=119+18∵18+17<19+18∴118+17>119+18∴18-17>19-18【知识点】实数大小的比较；分母有理化；探索数与式的规律【解析】【解答】解：（1）由已知等式可得：第n个等式 (n+1+n)(n+1-n)=1；故答案为：(n+1+n)(n+1-n)=1.【分析】（1）根据已知等式找出规律，从而写出第n个等式 ；（2）先将各式化简，再合并即可；（3）先求出各式的倒数，再比较即可.