(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习20《三角恒等变换》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
计算：sin 45°cs 15°＋cs 225°sin 165°＝( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.﹣eq \f(1,2)
已知tan α＝eq \f(m,3)，tan(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(2,m)，则m＝( )
A.﹣6或1 B.﹣1或6 C.6 D.1
计算：(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( )
A.eq \r(3) B.1＋eq \r(2) C.2 D.2(tan 18°＋tan 27°)
若2cs(θ﹣eq \f(π,3))＝3cs θ，则tan θ＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(3),2) C.﹣eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(3),3)
若sin(α﹣β)sinβ﹣cs(α﹣β)csβ＝eq \f(4,5)，且α为第二象限角，则tan(α＋eq \f(π,4))＝( )
A.7 B.eq \f(1,7) C.﹣7 D.﹣eq \f(1,7)
若sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α﹣β)＝eq \f(1,3)，则eq \f(tan α,tan β)的值为( )
A.5 B.﹣1 C.6 D.eq \f(1,6)
已知cs(eq \f(π,2)＋α)＝3sin(α＋eq \f(7π,6))，则tan(eq \f(π,12)＋α)＝( )
A.4﹣2eq \r(3) B.2eq \r(3)﹣4 C.4﹣4eq \r(3) D.4eq \r(3)﹣4
设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x﹣2cs x取得最大值，则cs θ＝( )
A.eq \f(2\r(5),5) B.eq \f(\r(5),5) C.﹣eq \f(2\r(5),5) D.﹣eq \f(\r(5),5)
若cs(eq \f(π,8)﹣α)＝eq \f(1,6)，则cs(eq \f(3π,4)＋2α)的值为( )
A.eq \f(17,18) B.﹣eq \f(17,18) C.eq \f(18,19) D.﹣eq \f(18,19)
计算：sin415°﹣cs415°＝( )
A.eq \f(1,2) B.﹣eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.﹣eq \f(\r(3),2)
下列各式中，值为eq \f(\r(3),2)的是( )
A.sin 15°cs 15° B.cs2eq \f(π,12)﹣sin2eq \f(π,12)
C.eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°) D. eq \r(\f(1＋cs 30°,2))
已知A，B均为钝角，sin2eq \f(A,2)＋cs(A＋eq \f(π,3))＝eq \f(5－\r(15),10)，且sin B＝eq \f(\r(10),10)，则A＋B＝( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(5π,4) C.eq \f(7π,4) D.eq \f(7π,6)
二、填空题
已知tan α＝2，则tan(α﹣eq \f(π,4))＝________.
计算：eq \r(3)cs 15°﹣4sin215°cs 15°＝________.
设sin α＝2cs α，则tan 2α的值为________.
定义运算 SKIPIF 1 < 0 ＝ad﹣bc.若cs α＝eq \f(1,7)， SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(3\r(3),14)，0＜β＜α＜eq \f(π,2)，则β＝________.
三、解答题
已知函数f(x)＝(sin x＋cs x)2﹣cs 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈[0，eq \f(π,2)]时，f(x)≥0.
设函数f(x)＝cs(eq \f(π,2)﹣x)cs x﹣sin2(π﹣x)﹣eq \f(1,2).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若f(α)＝eq \f(3\r(2),10)﹣1，且α∈(eq \f(π,8)，eq \f(3π,8))，求f(α﹣eq \f(π,8))的值.
已知cs(eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))eq \f(π,6)＋α)·cs(eq \f(π,3)﹣α)＝﹣eq \f(1,4)，α∈(eq \f(π,3)，eq \f(π,2)).
求：(1)sin 2α；
(2)tan α﹣eq \f(1,tan α).
已知函数f(x)＝sin2x﹣sin2(x﹣eq \f(π,6))，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[﹣eq \f(π,3)，eq \f(π,4)]上的最大值和最小值.
\s 0 (小白高考)新高考数学(适合体育生)一轮复习20《三角恒等变换》巩固练习（含答案）答案解析
一、选择题
答案为：B.
解析：sin 45°cs 15°＋cs 225°sin 165°＝sin 45°·cs 15°＋(﹣cs 45°)sin 15°＝sin(45°﹣15°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
答案为：A.
解析：∵tan α＝eq \f(m,3)，∴tan(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝eq \f(3＋m,3－m).∵tan(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(2,m)，
∴eq \f(2,m)＝eq \f(3＋m,3－m).解得m＝﹣6或m＝1.故选A.
答案为：C.
解析：(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°
＝1＋tan 45°(1﹣tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.故选C.
答案为：D.
解析：由2cs(θ﹣eq \f(π,3))＝3csθ可得csθ＋eq \r(3)sinθ＝3csθ，故tanθ＝eq \f(2\r(3),3).故选D.
答案为：B.
解析：∵sin(α﹣β)sin β﹣cs(α﹣β)cs β＝eq \f(4,5)，
即﹣cs(α﹣β＋β)＝﹣cs α＝eq \f(4,5)，∴cs α＝﹣eq \f(4,5).
又∵α为第二象限角，∴tan α＝﹣eq \f(3,4)，∴tan(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(1,7).
答案为：A.
解析：由题意知sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(1,2)，sin αcs β﹣cs αsin β＝eq \f(1,3)，
所以sinαcsβ＝eq \f(5,12)，csαsinβ＝eq \f(1,12)，所以eq \f(sin αcs β,cs αsin β)＝5，即eq \f(tan α,tan β)＝5，故选A.
答案为：B.
解析：由题意可得﹣sin α＝﹣3sin(α＋eq \f(π,6))，
即sin[(eq \f(π,12)＋α)﹣eq \f(π,12)]＝3sin[(eq \f(π,12)＋α)＋eq \f(π,12)]，
sin(α＋eq \f(π,12))·cs eq \f(π,12)﹣cs(eq \f(π,12)＋α)sin eq \f(π,12)＝3sin(eq \f(π,12)＋α)cs eq \f(π,12)＋3cs(eq \f(π,12)＋α)sin eq \f(π,12)，
整理可得tan(eq \f(π,12)＋α)＝﹣2tan eq \f(π,12)＝﹣2tan(eq \f(π,4)﹣eq \f(π,6))＝﹣2×eq \f(tan \f(π,4)－tan \f(π,6),1＋tan \f(π,4)tan \f(π,6))＝2eq \r(3)﹣4.故选B.
答案为：C.
解析：利用辅助角公式可得f(x)＝sin x﹣2cs x＝eq \r(5)sin(x﹣φ)，其中cs φ＝eq \f(\r(5),5)，sin φ＝eq \f(2\r(5),5).当函数f(x)＝sin x﹣2cs x取得最大值时，θ﹣φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋eq \f(π,2)＋φ(k∈Z)，则cs θ＝cs(2kπ＋eq \f(π,2)＋φ)＝﹣sin φ＝﹣eq \f(2\r(5),5)(k∈Z)，故选C.
答案为：A.
解析：∵cs(eq \f(π,8)﹣α)＝eq \f(1,6)，∴cs(eq \f(π,4)﹣2α)＝2cs2(eq \f(π,8)﹣α)﹣1＝2×(eq \f(1,6))2﹣1＝﹣eq \f(17,18)，
∴cs(eq \f(3π,4)＋2α)＝cs[π﹣(eq \f(π,4)﹣2α)]＝﹣cs(eq \f(π,4)﹣2α)＝eq \f(17,18).故选A.
答案为：D.
解析：sin415°﹣cs415°＝(sin215°﹣cs215°)(sin215°＋cs215°)
＝sin215°﹣cs215°＝﹣cs 30°＝﹣eq \f(\r(3),2).故选D.
答案为：B.
解析：A.sin 15°cs 15°＝eq \f(1,2)sin 30°＝eq \f(1,4) eq \f(π,12)﹣sin2eq \f(π,12)＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).
C.eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝tan 60°＝eq \r(3).D. eq \r(\f(1＋cs 30°,2))＝cs 15°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).故选B.
答案为：C.
解析：因为sin2eq \f(A,2)＋cs(A＋eq \f(π,3))＝eq \f(5－\r(15),10)，所以eq \f(1－cs A,2)＋eq \f(1,2)cs A﹣eq \f(\r(3),2)sin A＝eq \f(5－\r(15),10)，
即eq \f(1,2)﹣eq \f(\r(3),2)sin A＝eq \f(5－\r(15),10)，解得sin A＝eq \f(\r(5),5).因为A为钝角，所以cs A＝﹣eq \r(1－sin2A)＝﹣eq \f(2\r(5),5).由sin B＝eq \f(\r(10),10)，且B为钝角，可得cs B＝﹣eq \r(1－sin2B)＝﹣eq \f(3\r(10),10).所以cs(A＋B)＝cs Acs B﹣sin Asin B＝eq \f(\r(2),2).又A，B都为钝角，即A，B∈(eq \f(π,2)，π)，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝eq \f(7π,4)，故选C.
二、填空题
答案为：eq \f(1,3)
解析：∵tan α＝2，∴tan(α﹣eq \f(π,4))＝eq \f(tan α－1,1＋tan α)＝eq \f(1,3).
答案为：eq \r(2).
解析：eq \r(3)cs 15°﹣4sin215°cs 15°＝eq \r(3)cs 15°﹣2sin 15°·2sin 15°cs 15°
＝eq \r(3)cs 15°﹣2sin 15°·sin 30°＝eq \r(3)cs 15°﹣sin 15°
＝2cs(15°＋30°)＝2cs 45°＝eq \r(2).
答案为：﹣eq \f(4,3).
解析：由题可知，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝2，∴tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝﹣eq \f(4,3).
答案为：eq \f(π,3).
解析：依题意有sin αcs β﹣cs αsin β＝sin(α﹣β)＝eq \f(3\r(3),14).
又0＜β＜α＜eq \f(π,2)，∴0＜α﹣β＜eq \f(π,2)，故cs(α﹣β)＝eq \r(1－sin2α－β)＝eq \f(13,14)，
而cs α＝eq \f(1,7)，∴sin α＝eq \f(4\r(3),7)，于是sin β＝sin[α﹣(α﹣β)]
＝sin αcs(α﹣β)﹣cs αsin(α﹣β)＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(13,14)﹣eq \f(1,7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(\r(3),2)，故β＝eq \f(π,3).
三、解答题
解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cs2x＋sin 2x﹣cs 2x
＝1＋sin 2x﹣cs 2x
＝eq \r(2)sin(2x﹣eq \f(π,4))＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)证明：由(1)可知，f(x)＝eq \r(2)sin(2x﹣eq \f(π,4))＋1.
当x∈[0，eq \f(π,2)]时，2x﹣eq \f(π,4)∈[﹣eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)]，
sin(2x﹣eq \f(π,4))∈[﹣eq \f(\r(2),2)，1]，eq \r(2)sin(2x﹣eq \f(π,4))＋1∈[0，eq \r(2)＋1].
当2x﹣eq \f(π,4)＝﹣eq \f(π,4)，即x＝0时，f(x)取得最小值0.
所以当x∈[0，eq \f(π,2)]时，f(x)≥0.
解：(1)∵f(x)＝sin xcs x﹣sin2x﹣eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)(sin 2x＋cs 2x)﹣1＝eq \f(\r(2),2)sin(2x＋eq \f(π,4))﹣1，
∴f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
由2kπ﹣eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得kπ﹣eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[kπ﹣eq \f(3π,8)，kπ＋eq \f(π,8)]，k∈Z.
(2)∵f(α)＝eq \f(\r(2),2)sin(2α＋eq \f(π,4))﹣1＝eq \f(3\r(2),10)﹣1，∴sin(2α＋eq \f(π,4))＝eq \f(3,5).
由α∈(eq \f(π,8)，eq \f(3π,8))知2α＋eq \f(π,4)∈(eq \f(π,2)，π)，∴cs(2α＋eq \f(π,4))＝﹣eq \f(4,5).
∴f(α﹣eq \f(π,8))＝eq \f(\r(2),2)sin[2(α﹣eq \f(π,8))＋eq \f(π,4)]﹣1＝eq \f(\r(2),2)sin[(2α＋eq \f(π,4))﹣eq \f(π,4)]﹣1
＝eq \f(\r(2),2)[sin(2α＋eq \f(π,4))cseq \f(π,4)﹣cs(2α＋eq \f(π,4))sineq \f(π,4)]﹣1＝﹣eq \f(3,10).
解：(1)由题知cs(eq \f(π,6)＋α)·cs(eq \f(π,3)﹣α)
＝cs(eq \f(π,6)＋α)·sin(eq \f(π,6)＋α)＝eq \f(1,2)sin(2α＋eq \f(π,3))＝﹣eq \f(1,4)，
∴sin(2α＋eq \f(π,3))＝﹣eq \f(1,2).
∵α∈(eq \f(π,3)，eq \f(π,2))，∴2α＋eq \f(π,3)∈(π，eq \f(4π,3))，
∴cs(2α＋eq \f(π,3))＝﹣eq \f(\r(3),2)，
∴sin 2α＝sin[(2α＋eq \f(π,3))﹣eq \f(π,3)]＝sin(2α＋eq \f(π,3))cs eq \f(π,3)﹣cs(2α＋eq \f(π,3))sin eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
(2)由(1)得cs 2α＝cs[(2α＋eq \f(π,3))﹣eq \f(π,3)]
＝cs(2α＋eq \f(π,3))·cs eq \f(π,3)＋sin(2α＋eq \f(π,3))sin eq \f(π,3)＝﹣eq \f(\r(3),2)，
∴tan α﹣eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)﹣eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin2α－cs2α,sin αcs α)＝eq \f(－2cs 2α,sin 2α)＝2eq \r(3).
解：(1)由已知，有f(x)＝eq \f(1－cs 2x,2)﹣eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))),2)
＝eq \f(1,2)(eq \f(1,2)cs 2x+eq \f(\r(3),2)sin 2x)﹣eq \f(1,2)cs 2x＝eq \f(\r(3),4)sin 2x﹣eq \f(1,4)cs 2x＝eq \f(1,2)sin(2x﹣eq \f(π,6)).
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)因为f(x)在区间[﹣eq \f(π,3)，﹣eq \f(π,6)]上是减函数，在区间[﹣eq \f(π,6)，eq \f(π,4)]上是增函数，
且f(﹣eq \f(π,3))＝ ﹣eq \f(1,4)，f(﹣eq \f(π,6))＝﹣eq \f(1,2)，f(eq \f(π,4))＝eq \f(\r(3),4)，
所以f(x)在区间[﹣eq \f(π,3)，eq \f(π,4)]上的最大值为eq \f(\r(3),4)，最小值为﹣eq \f(1,2).