(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习18《三角函数的图象与性质》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
x∈[0,2π]，y＝eq \r(tan x)＋eq \r(－cs x)的定义域为( )
A.[0，eq \f(π,2)) B.(eq \f(π,2)，π] C.[π，eq \f(3π,2)) D.(eq \f(3π,2)，2π]
【答案解析】答案为：C.
解析：法一：由题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x≥0，,－cs x≥0，,x∈[0，2π]，))所以函数的定义域为[π，eq \f(3π,2)).故选C.
法二：x＝π时，函数有意义，排除A、D；x＝eq \f(5,4)π时，函数有意义，排除B.故选C.
函数y＝sin(x﹣eq \f(π,4))的图象的一个对称中心是( )
A.(﹣π，0) B.(﹣eq \f(3π,4)，0) C.(eq \f(3π,2)，0) D.(eq \f(π,2)，0)
【答案解析】答案为：B.
解析：令x﹣eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，得函数图象的对称中心为(eq \f(π,4)+kπ，0)，k∈Z.
当k＝﹣1时，y＝sin(x﹣eq \f(π,4))的图象的一个对称中心为(﹣eq \f(3π,4)，0).故选B.
函数f(x)＝sin(2x﹣eq \f(π,6))﹣cs 2x的图象的一条对称轴的方程可以是( )
A.x＝﹣eq \f(π,6) B.x＝eq \f(11π,12) C.x＝﹣eq \f(2π,3) D.x＝eq \f(7π,12)
【答案解析】答案为：B.
解析：f(x)＝sin(2x﹣eq \f(π,6))﹣cs 2x＝eq \f(\r(3),2)sin 2x﹣eq \f(3,2)cs 2x＝eq \r(3)sin(2x﹣eq \f(π,3)).
令2x﹣eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，可得x＝eq \f(5,12)π＋eq \f(k,2)π(k∈Z).
令k＝1可得函数图象的一条对称轴的方程是x＝eq \f(11,12)π.
已知函数f(x)＝2sin(eq \f(π,4)﹣2x)，则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.[eq \f(3π,8)＋2kπ，eq \f(7π,8)＋2kπ](k∈Z) B.[﹣eq \f(π,8)＋2kπ，eq \f(3π,8)＋2kπ](k∈Z)
C.[eq \f(3π,8)＋kπ，eq \f(7π,8)＋kπ](k∈Z) D.[﹣eq \f(π,8)＋kπ，eq \f(3π,8)＋kπ](k∈Z)
【答案解析】答案为：D.
解析：依题意，f(x)＝2sin(eq \f(π,4)﹣2x)＝﹣2sin(2x﹣eq \f(π,4))，
令﹣eq \f(π,2)＋2kπ≤2x﹣eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，故﹣eq \f(π,4)＋2kπ≤2x≤eq \f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)，
解得f(x)的单调递减区间为[﹣eq \f(π,8)＋kπ，eq \f(3π,8)＋kπ](k∈Z).故选D.
下列函数中，周期为π，且在[eq \f(π,4)，eq \f(π,2)]上单调递增的奇函数是( )
A.y＝sin(2x＋eq \f(3π,2)) B.y＝cs(2x﹣eq \f(π,2))
C.y＝cs(2x＋eq \f(π,2)) D.y＝sin(eq \f(π,2)﹣x)
【答案解析】答案为：C.
解析：y＝sin(2x＋eq \f(3π,2))＝﹣cs 2x为偶函数，排除A；y＝cs(2x﹣eq \f(π,2))＝sin 2x在[eq \f(π,4)，eq \f(π,2)]上为减函数，排除B；y＝cs(2x＋eq \f(π,2))＝﹣sin 2x为奇函数，在[eq \f(π,4)，eq \f(π,2)]上单调递增，且周期为π，符合题意；y＝sin(eq \f(π,2)﹣x)＝cs x为偶函数，排除D.故选C.
已知函数y＝sin(2x＋φ)(﹣eq \f(π,2)＜φ＜eq \f(π,2))的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，则φ的值为( )
A.eq \f(π,6) B.﹣eq \f(π,6) C.eq \f(π,3) D.﹣eq \f(π,3)
【答案解析】答案为：B.
解析：由题意得f(eq \f(π,3))＝sin(eq \f(2π,3)＋φ)＝±1，∴eq \f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
∴φ＝kπ﹣eq \f(π,6)，k∈Z.∵φ∈(﹣eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，∴φ＝﹣eq \f(π,6).
下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(eq \f(π,2)，π)上为减函数的是( )
A.y＝sin 2x B.y＝2|cs x| C.y＝cs eq \f(x,2) D.y＝tan(﹣x)
【答案解析】答案为：D.
解析：A选项，函数在(eq \f(π,2)，eq \f(3π,4))上单调递减，在(eq \f(3π,4)，π)上单调递增，故排除A；B选项，函数在(eq \f(π,2)，π)上单调递增，故排除B；C选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.
关于函数y＝tan(2x﹣eq \f(π,3))，下列说法正确的是( )
A.是奇函数 B.在区间(0，eq \f(π,3))上单调递减
C.(eq \f(π,6)，0)为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π
【答案解析】答案为：C.
解析：函数y＝tan(2x﹣eq \f(π,3))是非奇非偶函数，A错；函数y＝tan(2x﹣eq \f(π,3))在区间(0，eq \f(π,3))上单调递增，B错；最小正周期为eq \f(π,2)，D错；由2x﹣eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，得x＝eq \f(kπ,4)＋eq \f(π,6)，k∈Z.当k＝0时，x＝eq \f(π,6)，所以它的图象关于(eq \f(π,6)，0)对称.
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，eq \f(π,2)]时，f(x)＝sin x，则f(eq \f(5π,3))的值为( )
A.﹣eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(7,16) D.eq \f(\r(3),2)
【答案解析】答案为：D
解析：∵f(x)的最小正周期是π，∴f(eq \f(5π,3))＝f(eq \f(5π,3)﹣2π)＝f(﹣eq \f(π,3))，
∵函数f(x)是偶函数，∴f(eq \f(5π,3))＝f(﹣eq \f(π,3))＝f(eq \f(π,3))＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).故选D.
函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)对任意x都有f(eq \f(π,6)＋x)＝f(eq \f(π,6)﹣x)，则f(eq \f(π,6))的值为( )
A.2或0 B.﹣2或2 C.0 D.﹣2或0
【答案解析】答案为：B.
解析：因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f(eq \f(π,6)＋xeq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(,,,,)))＝f(eq \f(π,6)﹣x)，所以该函数图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.
函数f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,3))﹣eq \f(1,3)在区间(0，π)内的所有零点之和为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(7π,6) D.eq \f(4π,3)
【答案解析】答案为：C.
解析：函数零点即y＝sin(2x＋eq \f(π,3))与y＝eq \f(1,3)图象交点的横坐标，在区间(0，π)内，y＝sin(2x＋eq \f(π,3))与y＝eq \f(1,3)的图象有两个交点，由2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，得x＝eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，取k＝1，得x＝eq \f(7π,12)，可知两个交点关于直线x＝eq \f(7π,12)对称，故两个零点的和为eq \f(7π,12)×2＝eq \f(7π,6).故选C.
设函数f(x)＝eq \r(3)sin ωx＋cs ωx(ω＞0)，其图象的一条对称轴在区间(eq \f(π,6)，eq \f(π,3))内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )
A.(eq \f(1,2)，1) B.(0,2) C.(1,2) D.[1,2)
【答案解析】答案为：C.
解析：由题意f(x)＝eq \r(3)sin ωx＋cs ωx＝2sin(ωx＋eq \f(π,6))(ω＞0).
令ωx＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq \f(π,3ω)＋eq \f(kπ,ω)，k∈Z.
∵函数图象的一条对称轴在区间(eq \f(π,6)，eq \f(π,3))内，∴eq \f(π,6)＜eq \f(π,3ω)＋eq \f(kπ,ω)＜eq \f(π,3)，k∈Z，
∴3k＋1＜ω＜6k＋2，k∈Z.又∵f(x)的最小正周期大于π，
∴eq \f(2π,ω)＞π，解得0＜ω＜2.∴ω的取值范围为(1,2).故选C.
二、填空题
函数y＝tan(eq \f(π,2)﹣x)(x∈[﹣eq \f(π,4)，eq \f(π,4)],且x≠0)的值域为________.
【答案解析】答案为：(﹣∞，﹣1]∪[1，＋∞).
解析：∵﹣eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)且x≠0，∴eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)﹣x≤eq \f(3π,4)且eq \f(π,2)﹣x≠eq \f(π,2).
由函数y＝tan x的单调性，可得y＝tan(eq \f(π,2)﹣x)的值域为(﹣∞，﹣1]∪[1，＋∞).
函数y＝lg2(sin x)的定义域为________.
【答案解析】答案为：(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z).
解析：根据题意知sin x＞0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z).
函数y＝cs(eq \f(π,4)﹣2x)的单调递减区间为________.
【答案解析】答案为：[kπ＋eq \f(π,8)，kπ＋eq \f(5π,8)](k∈Z)
解析：由y＝cs(eq \f(π,4)﹣2x)＝cs(2x﹣eq \f(π,4))，得2kπ≤2x﹣eq \f(π,4)≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(5π,8)(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为[kπ＋eq \f(π,8)，kπ＋eq \f(5π,8)](k∈Z).
已知函数f(x)＝2|cs x|sin x＋sin 2x，给出下列四个命题：
①函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称；
②函数f(x)在区间[﹣eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]上单调递增；
③函数f(x)的最小正周期为π；
④函数f(x)的值域为[﹣2,2].
其中是真命题的序号是________.(将你认为是真命题的序号都填上)
【答案解析】答案为：②④.
解析：对于函数f(x)＝2|cs x|sin x＋sin 2x，
由于f(﹣eq \f(π,4))＝﹣2，f(eq \f(3π,4))＝0，所以f(﹣eq \f(π,4))≠f(eq \f(3π,4))＝，
故f(x)的图象不关于直线x＝eq \f(π,4)对称，故排除①.
在区间[﹣eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]上，f(x)＝2|cs x|sin x＋sin 2x＝2sin 2x，2x∈[﹣eq \f(π,2),eq \f(π,2)]单调递增，故②正确.
函数f(eq \f(π,3))＝eq \r(3)，f(eq \f(4π,3))＝0，所以f(eq \f(π,3))≠f(eq \f(4π,3))，故函数f(x)的最小正周期不是π，故③错误.
当cs x≥0时，f(x)＝2|cs x|sin x＋sin 2x＝2sin xcs x＋sin 2x＝2sin 2x，故它的最大值为2，最小值为﹣2；
当cs x＜0时，f(x)＝2|cs x|sin x＋sin 2x＝﹣2sin xcs x＋sin 2x＝0，
综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为﹣2，故④正确.
三、解答题
求函数y＝sin x＋cs x＋3cs xsin x的最值.
【答案解析】解：令t＝sin x＋cs x，则t∈[﹣eq \r(2)，eq \r(2)].
∵(sin x＋cs x)2﹣2sin xcs x＝1，
∴sin xcs x＝eq \f(t2－1,2)，
∴y＝eq \f(3,2)t2＋t﹣eq \f(3,2)，t∈[﹣eq \r(2)，eq \r(2) ]，
∵对称轴t＝﹣eq \f(1,3)∈[﹣eq \r(2)，eq \r(2) ]，
∴ymin＝f(﹣eq \f(1,3))＝eq \f(3,2)×eq \f(1,9)﹣eq \f(1,3)﹣eq \f(3,2)＝﹣eq \f(5,3)，ymax＝f(eq \r(2))＝eq \f(3,2)＋eq \r(2).
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝|tan x|；
(2)f(x)＝cs(2x﹣eq \f(π,6))，x∈[﹣eq \f(π,2)，eq \f(π,2)].
【答案解析】解：(1)观察图象可知，y＝|tan x|的单调递增区间是[kπ， kπ＋eq \f(π,2))，k∈Z，
单调递减区间是[kπ﹣eq \f(π,2)，kπ]，k∈Z.
(2)当2kπ﹣π≤2x﹣eq \f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，
即kπ﹣eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(π,12)，k∈Z时，函数f(x)是增函数；
当2kπ≤2x﹣eq \f(π,6)≤2kπ＋π(k∈Z)，
即kπ＋eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(7π,12)，k∈Z时，函数f(x)是减函数.
因此函数f(x)在[﹣eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]上的单调递增区间是[﹣eq \f(5π,12)，eq \f(π,12)]，
单调递减区间为[﹣eq \f(π,2)，﹣eq \f(5π,12)]，[eq \f(π,12)，eq \f(π,2)].
已知函数f(x)＝2cs2(x﹣eq \f(π,6))＋2sin(x﹣eq \f(π,4))sin(x＋eq \f(π,4)).
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心；
(2)求f(x)在区间[0，eq \f(π,2)]上的最大值和最小值.
【答案解析】解：(1)∵f(x)＝2cs2(x﹣eq \f(π,6))＋2sin(x﹣eq \f(π,4))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(,,,,))·sin(x＋eq \f(π,4))
＝cs(2x﹣eq \f(π,3))＋1＋2sin(x﹣eq \f(π,4))sin(x＋eq \f(π,2)﹣eq \f(π,4))
＝cs(2x﹣eq \f(π,3))＋2sin(x﹣eq \f(π,4))cs(x﹣eq \f(π,4))＋1
＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＋sin(2x﹣eq \f(π,2))＋1
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x﹣eq \f(1,2)cs 2x＋1
＝sin(2x﹣eq \f(π,6))＋1，
∴f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(kπ,2)，1))，k∈Z.
(2)x∈[0，eq \f(π,2)]时，2x﹣eq \f(π,6)∈[﹣eq \f(π,6)，eq \f(5π,6)]，
当2x﹣eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,3)时，函数有最大值2；
当2x﹣eq \f(π,6)＝﹣eq \f(π,6)，即x＝0时，函数有最小值eq \f(1,2).
已知函数f(x)＝a(2cs2eq \f(x,2)＋sin x)＋b.
(1)若a＝﹣1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值.
【答案解析】解：已知函数f(x)＝a(1＋cs x＋sin x)＋b＝eq \r(2)asin(x＋eq \f(π,4))＋a＋b.
(1)当a＝﹣1时，f(x)＝﹣eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4))＋b﹣1，
由2kπ＋eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，
得2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为[2kπ＋eq \f(π,4)，2kπ＋eq \f(5π,4)](k∈Z).
(2)∵0≤x≤π，∴eq \f(π,4)≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
∴﹣eq \f(\r(2),2)≤sin(x＋eq \f(π,4))≤1，依题意知a≠0.
①当a＞0时，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)a＋a＋b＝8，,b＝5，))∴a＝3eq \r(2)﹣3，b＝5.
②当a＜0时，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝8，,\r(2)a＋a＋b＝5，))∴a＝3﹣3eq \r(2)，b＝8.
综上所述，a＝3eq \r(2)﹣3，b＝5或a＝3﹣3eq \r(2)，b＝8.