专题03 一元二次方程的应用-2023-2024学年九年级数学上册期末选填解答压轴题必刷专题训练（华师大版）

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1．（数字问题）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．
【答案】24
【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），
根据题意得：3x（x+2）=10x+（x+2），
整理得：3x2-5x-2=0，
解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去），
∴x+2=4，
∴这个两位数为24．
2．（体积问题）如图1，将一张长，宽的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒底面积为，求该有盖纸盒的高．（单位：）
【答案】若纸盒的底面积是48，纸盒的高为2cm．
【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得，
化简，得：，
解得：．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
答：若纸盒的底面积是，纸盒的高为．
3．（增长率问题）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为3.92亿元．
(1)求该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率；
(2)若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过5.5亿元？
【答案】(1)；(2)不能
【详解】（1）解：设该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
即该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为；
（2）解：若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，
该企业2022年的利润为：，
故该企业2022年的利润不能超过5.5亿元．
4．（销售问题）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件，同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元，设销售单价为x元，平均月销售量为y件．
(1)写出y与x的函数关系式
(2)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？
【答案】(1)函数的关系式为：；
(2)当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利元．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴函数的关系式为：；
（2）解：由题意得：
，
解得，（不符合题意，舍去），
答：当销售单价为元时，销售这种童装每月可获利元．
5．（面积问题）已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
(2)在（1）中，的面积能否等于？请说明理由．
【答案】(1)1秒后的面积等于；(2)的面积不能等于，理由见解析
【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为，则
，
整理得：，
解得：，
∵当时，，
∴不合题意，
答：1秒后的面积等于；
（2）解：的面积不能等于，理由如下∶
设经过t秒以后△PBQ面积为，则
，
整理得：，
，
所以此方程无解，
故的面积不能等于．
6．（行程问题）某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21．
（1）甲运动4后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
【答案】（1）甲运动4后的路程是14；（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3．
【详解】(1)当时，
（），
答：甲运动4后的路程是14；
（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21，甲走过的路程为，乙走过的路程为4，
则，
解得：或（不合题意，舍去），
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3．
7．（销售问题）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克茶叶应降价多少元？
【答案】每千克茶叶应降价元
【详解】设每千克茶叶应降价元，每周利润为，则平均每周可售出千克，
依题意，得：，
解得：，
∵为尽可能让利于顾客，赢得市场，
∴，
答：每千克茶叶应降价元．
8．（销售问题）国庆节期间，某种水果的进价是每千克12元，当销售价为每千克22元时，每天可售出160千克；每千克若降价3元，每天的销售量将增加120千克．如果超市每天要获得销售利润1800元，又要尽可能让顾客得到实惠，这种水果的销售价应为每千克多少元？
【答案】17
【详解】解：设每千克水果降低元，超市每天要获得销售利润1800元，
由题意，得，
整理，得，
或，
要尽可能让顾客得到实惠，
，
售价为（元/千克）
答：这种水果的销售价应为每千克17元．
9．（增长率问题、销售问题）某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利125元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为80元，平均每天可售出20件．
(1)求平均每次降价的百分率；
(2)为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2250元，每件应降价多少元？
【答案】(1)平均每次降价盈利减少的百分率为；(2)若商场每天要盈利2250元，每件应降价65元．
【详解】（1）解：设盈利减少的平均百分率为a，
根据题意，得：，
解得：（舍）或，
答：平均每次降价盈利减少的百分率为；
（2）设每件应降价x元，
根据题意，得，
解得：，
∵尽快减少库存，
∴，
答：若商场每天要盈利2250元，每件应降价65元．
10．（传播率问题）某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
【答案】9台
【详解】解设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：
，
整理得，
解得（舍去），
答：每轮感染中平均一台电脑感染9台电脑.
11．（数字问题）一个两位数，两个数字的和为5，把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736，求原两位数．
【答案】23或32．
【详解】解：设原两位数字的十位数字为x，则个位数字为（5-x），
根据题意得（10x+5-x）[10（5-x）+x]=736，
整理得：x2-5x+6=0，
解得：x1=2，x2=3，
∴5-x=3或2，
∴原两位数是23或32．
故答案为：23或32．
12．（面积问题）某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A-B-C表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点F可能在线段上，也可能在线段的延长线上．
(1)如图，当点F在线段上时，
①设的长为x米，则___________米；（用含x的代数式表示）
②若围成的饲养场的面积为132平方米，求饲养场的宽的长；
(2)如图当点F在线段延长线上，所围成的饲养场的面积能否为156平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)①，②11米
(2)不能，见解析
【详解】（1）①设的长为x米，则（米）．
故答案为：．
②依题意得：，
整理得∶，解得：．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：饲养场的宽的长为11米．
（2）不能达到，理由如下：
设的长为y米，则米，
依题意得：，
整理得：，
∵， 该方程没有实数根，
即当点F在线段延长线上，所围成的饲养场的面积不能达到156平方米．
13．（面积问题）某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为．
(1)用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路面积；
(2)若草坪面积为时，求这时道路宽度．
【答案】(1)花园内温室花房的面积为平方米，小路面积为：平方米
(2)道路宽度的值为米．
【详解】（1）解：小路宽度为米，温室花房边长是小路宽度的倍，
温室花房边长是米，
∴花园内温室花房的面积为平方米
小路面积为平方米，
故小路面积为：平方米；
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：这时道路宽度的值为米．
14．（增长率问题）某厂工业废气年排放量为400万立方米，为改善大气环境质量，决定分两期投入治理，使废气的年排放量减少到256万立方米．若每期治理中，废气减少的百分率相同，则：
(1)求每期减少的百分率是多少?
(2)预计第一期治理中每减少1万立方米废气，需投入2万元；第二期治理中每减少1万立方米废气，需投入3万元．那么，两期治理完成后共需投入多少万元?
【答案】(1)20%；(2)352万元
【详解】（1）解：设每期减少的百分率是,
根据题意得，
解得，（舍去），
所以每期减少的百分率为．
（2）解：根据题意有（万元），
（万元），
∴（万元），
答：两期治理完成后需要投入万元．
15．（增长率问题）奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传播性很强，某次一名奥密克戎携带者未被有效隔离，经过两轮传播后，共有100名感染者．求每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（假设每轮传染人数相同）
【答案】每轮传染中，平均每个人传染9个人．
【详解】解：设每轮传染中，平均每个人传染了x个人，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中，平均每个人传染9个人．
16．（增长率问题、销售问题）某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为每件元时，一月份销售件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率；
(2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价元，销售量增加5件．为尽可能让利顾客，赢得市场、问：该商品售价定为多少时，商场当月获利元？
【答案】(1)二、三这两个月的销售量月平均增长率为
(2)该商品售价定为72元时，商场当月获利元
【详解】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意得，
，
，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为；
（2）解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵要尽可能让利顾客，赢得市场，
∴，
即该商品售价定为元时，商场当月获利元．
17．（销售问题）车厘子，其含铁量是水果之首，它营养丰富，深受消费者喜爱．某超市准备花20000元购进一批车厘子，实际购买时，由于在原进价的基础上打了8折，结果用同样的钱比预期多购进100斤．
(1)车厘子的实际进价为每斤多少元？
(2)若该品种的车厘子市场售价为80元/斤，可售出200斤，根据销售经验，降低售价会促进销量的增加，即售价每斤降价1元，销量相应增加10斤，超市决定将部分车厘子降价促销，售价定为多少元时，可使促销部分的车厘子获利9000元？
【答案】(1)车厘子的实际进价为每斤40元；
(2)售价定为70元时，可使促销部分的车厘子获利9000元．
【详解】（1）解：设原进价为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：车厘子的实际进价为每斤40元；
（2）解：设售价定为m元时，可使促销部分的车厘子获利9000元，
根据题意得：，
化简整理得：，
解得，
答：售价定为70元时，可使促销部分的车厘子获利9000元．
18．（增长率问题、销售问题）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为；
(2)该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
19．（动点问题、面积问题）如图，在中，，cm，cm，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为1cm/s．
(1)设点Q、点P运动时间为ts，则CP=_______cm，BQ=_______cm．
(2)点P、点Q运动几秒时，它们相距15cm？
(3)的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
【答案】(1)t；t；(2)9秒或12秒；(3)不能，理由见解析
【详解】（1）解：，，
（2）解：设运动秒时，，两点相距15厘米，
依题意，得：，
解得：，，
运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米．
（3）解：的面积不能等于60平方厘米，理由如下：
设运动秒时，的面积等于60平方厘米，
依题意，得：，
整理，得：，
，
原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米．
20．（工程问题）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
【答案】(1)甲最多施工2500米；(2)a的值为6
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得： ，
整理，得：，
解得：，，
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴符合题意；
答：a的值为6．
21．（工程问题）为了满足铁路交通的快速发展，安庆火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
【答案】甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月
【详解】解：设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x﹣5）个月，由题意，得
x（x﹣5）=6（x+x﹣5），
解得：x1=2（舍去），x2=15．
∴乙队单独完成这项工程需要15﹣5=10个月
答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月．
22．（图表问题）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）．
(1)补全下列表格：
(2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？
【答案】(1)40，，29，26；(2)他今日检测总人数为人
【详解】（1）
解：设检测人数为，人均检测时间为秒，
由题意得：、，
补全表格如下：
（2）
解：由题意得，，
解得，，
当时，检测总人数为人，
每位大白的检测人数不超过人，
不符合题意，舍去，
当时，检测总人数为人，
答：他今日检测总人数为人．
23．（比赛问题）某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各进行一场比赛），计划一共举行场比赛．
(1)求该邀请赛的参赛选手人数；
(2)为了保证比赛正常进行，该单位需要为每场比赛至少准备只羽毛球，且计划购买的羽毛球数量为的整数倍．计划购买的某品牌羽毛球原价元/只，现有甲，乙两家公司促销该品牌羽毛球．甲公司促销方案：在原价的基础上，在一定范围内每多购买只，每个的单价可降低元，例如购买只时的单价为元，最低单价不能低于元；乙公司一律按折促销．若该单位选择甲，乙中的一家公司购买，经过计算发现，分别选择在这两家公司购买的总金额相差元，从节约成本的角度考虑，判断该单位应选择哪家公司购买，并求其计划购买的羽毛球数量．
【答案】(1)该邀请赛的参赛选手为人
(2)该单位应选择甲公司购买，购买的羽毛球数量为只
【详解】（1）解：设该邀请赛的参赛选手为人．
则比赛场次为．
依题意，．
整理得：．
解得（舍去），．
所以该邀请赛的参赛选手为人．
（2）解：设该单位计划购买的羽毛球数量为（为正整数）．
则，
所以．
若选择乙公司购买，则单价为（元）．
若选择甲公司购买，则单价为元，
∵，
∵．
∵，
∴该单位应选择甲公司购买．
依题意，．
化为．
解得（应舍去），或．
则（只）
所以该公司计划购买的羽毛球数量为只．
24．（增长率问题、销售问题）今年2月北京和张家口举办了第24届冬奥会，其中吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，某超市在今年1月份销售“冰墩墩”饰扣64个，2月和3月的销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到100个．
(1)求“冰墩墩”饰扣2月和3月销售足的月平均增长率；
(2)“冰墩墩”饰扣每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年4月份进行降价销售，经调查发现，售价每降低1元，销售量就增加4个，若要4月份出售“冰墩墩”饰扣获利1200元，则“冰墩墩”饰扣每个需要降价多少元？
【答案】(1)“冰墩墩”饰扣2月和3月销售足的月平均增长率为．
(2)当“冰墩墩”每个降价5元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利元．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为25%；
（2）设“冰墩墩”每个降价m元，则每个“冰墩墩”的销售利润为元，月销售量为个，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：当“冰墩墩”每个降价5元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利元．
25．（销售问题）某水果批发商场经销一种高档水果，进价20元每千克，如果每千克30元销售，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销售量相应减少10千克．
(1)若以每千克35元的单价出售，求每天的利润为多少元；
(2)现该商场要保证每天盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)每天的利润为6750元；(2)每千克应涨价10元
【详解】（1）解：以每千克35元的单价出售，每天的利润为：
（元）
答：若以每千克35元的单价出售，每天的利润为6750元．
（2）解：设每千克应涨价x元，根据题意得：
，
解得：，，
为了使顾客得到实惠舍去，
答：每千克应涨价10元．
26．（图表问题）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）
【答案】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确
【详解】（1）证明：设中间的数为，
∴
．
（2）解：设这五个数中最大数为，
由题意，得，
解方程，得，（不合题意，舍去）．
答：这5个数中最大的数是29．
（3）他的说法不正确．
解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），
依题意，得：y（y−14）＝120，
解得：y1＝20，y2＝−6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，
∴不符合题意，
∴小明的说法不正确．
检测人数（人）
人均检测时间（秒）
检测人数人
人均检测时间秒