期末重难点真题特训之易错必刷题型（浙教版上册）（92题23个考点）-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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易错必刷题一、二次函数
1．（2023上·河南周口·九年级统考期末）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022上·山东烟台·九年级统考期中）若是关于x的二次函数，则m的值是 ．
3．（2022上·九年级课时练习）已知函数y=（a+1） +（a﹣2）x（a为常数），求a的值：
(1)函数为二次函数；
(2)函数为一次函数．
4．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
易错必刷题二、二次函数的图象
1．（2023上·浙江衢州·九年级统考期中）抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ ）
A．1B．C．或D．或
2．（2023上·浙江衢州·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的表达式是 ．抛物线与y轴交点为C，当时，C点经过的路径长为 ．
3．（2023上·安徽滁州·九年级校联考期末）设二次函数，的图像的顶点坐标分别为，．若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”．
(1)请写出二次函数的“反倍顶二次函数”；
(2)已知关于的二次函数和二次函数．若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值．
4．（2021上·江西南昌·九年级统考期中）如图，在正方形中，已知：点A，点B在抛物线上，点C，点D在x轴上．
(1)求点A的坐标；
(2)连接交抛物线于点P，求点P的坐标．
易错必刷题三、二次函数的性质
1．（2023上·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，点的横坐标1，点，点是该抛物线上一点，则下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②；③若，则；④若，则或．其中正确的有（ ）
A．②③B．①②③C．①②④D．①②③④
2．（2023上·浙江温州·九年级校考期中）已知二次函数，在有最大值7，则所有满足条件的实数的值为 ．
3．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线，
(1)当时，求抛物线与x轴交点坐标；
(2)求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值；
(3)若点，点在抛物线上，且．求n的取值范围．
4．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）【问题初探】
（1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，y的取值范围为 ；

①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成形式，确定抛物线对称轴为直线，通过、h和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 ；
【类比分析】
（2）张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数，当时，求y的取值范围；
【学以致用】
（3）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求a的值．
易错必刷题四、二次函数的应用
1．（2023上·浙江温州·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，在第三象限的抛物线上有一动点，连接、，点在运动过程中，若面积最大时，则点的坐标（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．跳起来最高可达米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 .
3．（2023上·浙江·九年级校联考阶段练习）近几年，随着网络的发展，“网络直播”已成为商家销售商品的一种手段．某商家在直播间销售一种进价为每件16元的商品时，经过市场调查发现，该商品每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
设销售这种商品每天的利润为W（元）
(1)求每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)要使每天销售的利润W达到1280元，求该商品的销售单价；
(3)当销售单价不低于30元，且每天销售量超过60件时，求W的最大值．
4．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点、，交y轴于点，在y轴上有一点，连接．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．
易错必刷题五、事件的可能性
1．（2023·浙江杭州·统考中考真题）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2D．平均数是3，众数是2
2．（2021下·江苏无锡·八年级统考期末）在一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，摸到 色的球的可能性最大．(填“红”、“白”或“黑”)
3．（2022上·九年级课时练习）世界杯决赛分成8个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，选出2个队进入16强，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
(1)求每小组共比赛多少场？
(2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定事件，还是不确定事件？
4．（2022下·江苏镇江·八年级镇江市外国语学校校考期中）数学课上，师生进行了摸球试验：一只不透明的袋子中装有编号分别为1、2、3、…、的小球（除编号外完全相同）：
活动一：当时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．
活动二：当时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．
（1）若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．
（2）若事件：“记录的编号中出现三个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．
活动三：在这只装有编号分别为1、2、3、…、的小球（除编号外完全相同）的不透明的袋子中，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？
易错必刷题六、简单事件的概率
1．（2023上·浙江嘉兴·九年级校联考阶段练习）若实数为不大于的非负整数，则使关于的分式方程的解为整数的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江·模拟预测）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1，2，3，4，若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作，把作为点的横、纵坐标．则点在函数的图象上的概率为 ．

3．（2023上·浙江台州·九年级校考阶段练习）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为除了现金之外的一种常见的支付方式．在一次购物中，徐老师和喻老师随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中各选一种方式进行支付．
(1)喻老师使用“微信”支付的概率为______；
(2)求两位老师恰好都选择“支付宝”支付的概率．（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
4．（2023上·浙江·九年级校联考阶段练习）为提高学生的反诈意识，某学校组织学生参加了“反诈知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（不合格），B（一般），C（良好），D（优秀），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人，其中成绩为一般的学生人数______人；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)学校要从答题成绩为D的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去参加市里组织的“反诈小达人”比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率．
易错必刷题七、用频率估计概率
1．（2023上·浙江·九年级专题练习）某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023下·上海浦东新·九年级校考阶段练习）一个不透明的盒子里装有20个红、黄两种颜色的小球，这些小球除颜色外其他完全相同．每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中黄球有 个
3．（2023上·浙江·九年级专题练习）已知一个不透明布袋中装有形状、大小、材质完全相同的红球和白球共5个，小明进行多次摸球试验，并将数据记录如下表：
(1)从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为 ；
(2)从这个布袋中随机摸出两个球，请用树形图或列表法求摸出的两个球恰好“一红一白”的概率．
4．（2023上·浙江金华·九年级校考期中）某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录．
(1)估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为________千克；
(2)按此市场调节的规律来看，若特级柑橘的售价定为元每千克，估计日销售量，并说明理由．
(3)考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘（只售完好的柑橘），且售价保持不变，求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．
易错必刷题八、概率的简单应用
1．（2022·浙江宁波·九年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校联考阶段练习）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ）
A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜
B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜
C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得6分，游戏结束后，累计得分高的人获胜
D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜
2．（2022下·北京顺义·七年级统考期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可）
3．（2023上·浙江杭州·九年级浙江师范大学附属杭州笕桥实验中学校考期中）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，两人到1至4层的任意一层出电梯，
(1)请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
(2)小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．
4．（2023上·浙江杭州·九年级统考期中）如图是两个转盘，每个转盘都被圆的半径三等分，甲转盘的三个扇形上标有数字2，4，6，乙转盘的三个扇形上标有数字1，3，5，小明和小力分别转动甲、乙转盘，每入转动一次，记录转盘停止后指针指向的数字，若指针指在分界线上则重转．

(1)两人分别转动甲、乙转盘后，可能出现的全部可能有哪些？请用列表或画树状图的方法表示．
(2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小力赢，此游戏公平吗？为什么？
易错必刷题九、圆
1．（2023上·浙江绍兴·九年级统考期中）中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径画，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内B．点在上
C．点在外D．以上均不可能
2．（2023上·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．

3．（2023上·浙江温州·九年级统考期中）如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）．
(1)在图1中画出格点外接圆的圆心，并保留作图痕迹．
(2)在图2中找到一个格点，使得．
4．（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．

(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
易错必刷题十、图形的旋转
1．（2023上·浙江·八年级专题练习）如图，点，点B在y轴的正半轴上，，将绕原点O顺时针旋转后得到，当点恰好落在上时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图三条直线互相平行，且与的距离为2，与的距离为4，等边的三个顶点分别在三条平行线上，则等边的面积为 ．
3．（2023上·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
4．（2019·福建龙岩·九年级福建省龙岩第一中学校考期中）阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图1等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数．
为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时≌，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出________；
(2)基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图2，中，，，，为上的点且，求证：；
(3)能力提升
如图3，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值．
易错必刷题十一、垂径定理
1．（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）绍兴是著名的“桥乡”，其中有一座美丽的圆弧形石拱桥——古纤道太平桥（如图），已知桥拱的顶部C距水面的距离为，桥弧所在的圆的半径为，则水面的宽度是（）
A．B．C．D．
2．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为 ．

3．（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）已知是的直径，弦 ，垂足为，，，点在弧上，射线与射线相交于点．
(1)求的半径；
(2)如图，若时，求的长．
4．（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）根据素材解决问题．
易错必刷题十二、圆心角
1．（2023下·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
2．（2023上·九年级课时练习）如图，是的弦，是的中点，交于点．

（1）若，则 ；
（2）若，则 ．
3．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，，是的两条弦，点，分别在，上，且，是的中点．
(1)求证：；
(2)过作于点，当，时，求的半径．
4．（2022上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．

(1)求证：；
(2)如果的半径为5，，求的长．
易错必刷题十三、圆周角
1．（2023上·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，是的直径，，点是圆上不与重合的点，平分，交于平分，交于点．则以下说法：①点是的中点；②；③的最大值为18；④的最大值为．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023上·浙江温州·九年级校考期中）如图，在中，直径交弦于点，点是的三等分点，连结交于点．若的半径为，则的长为 ．
3．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，是的直径，弦于点H，点F为圆上一点且，连接，过点C作交AB于点G，交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的直径．
4．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，以为直径的经过的顶点C，，分别平分和， 的延长线交于点D，连接．
(1)判断的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求的长．
易错必刷题十四、圆内接四边形
1．（2023上·浙江湖州·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，点C、D、E在上，若，，且，则为（）
A．B．6C．D．
2．（2023上·浙江绍兴·九年级绍兴市元培中学校联考期中）如图，四边形内接于，为的直径，，，，则的长为 ．

3．（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若是中点，证明是的直径．
4．（2019上·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校考阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
图1 图2 图3
(1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
(2)在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
(3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
易错必刷题十五、正多边形
1．（2023上·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图，在圆内接正六边形中，分别交于点，则的度数为（）
A．B．C．D．
2．（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）已知正方形与正六边形都内接于圆，若正方形边长为，则 ．

3．（2020·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．

(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
4．（2023下·浙江台州·九年级校考期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；
(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
易错必刷题十六、弧长及扇形面积
1．（2023上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，点O是半圆的圆心，是半圆的直径，点在半圆上，且，，，则过点D作于点C，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·浙江杭州·九年级统考期中）如图，有一张四边形纸片，已知，小丽和小明各做了如图操作，则小丽所画面积最大扇形的弧长是 ，小明所画面积最大扇形的弧长是 （结果保留）．
3（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，以的一边为直径作交于点，，与边的交点恰好为的中点，连结．
(1)求证：．
(2)若，求弧的长．
4．（2023上·浙江湖州·九年级统考阶段练习）如图，在中，，以腰为直径画半圆，分别交，于点D，E．
(1)求证：；
(2)若，，求阴影部分弓形的面积．
易错必刷题十七、比例线段
1．（2021上·上海宝山·九年级统考期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为10cm，则的长为 cm．（结果保留根号）

3．（2023上·浙江金华·九年级校联考阶段练习）已知，判断下列比例式是否成立，并说明理由．
(1)．
(2)．
4（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
(1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则______．
(2)如图，在等腰直角中，，、为直线上两点，满足．
①如图2，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点；
②如图3，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，求的长．
易错必刷题十八、由平行线截得的比例线段
1．（2023上·浙江·九年级周测）如图，中，，，，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·九年级课时练习）如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则 ．

83．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点
(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)若点P恰好落在以为直径的圆上，求的值．
4．（2023上·江苏无锡·九年级文林中学校考阶段练习）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：
【问题原型】如图①，中，点为边上的点，过点作交为边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，，，则 ．
【结论应用】（1）如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．
求证：；
（2）如图③，中，，，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是 ．

易错必刷题十九、相似三角形
1．（2023上·江苏徐州·九年级统考期末）如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与BC相交于点G，的延长线经过点C．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·河南驻马店·九年级统考期末）如图，在矩形中，，若分别是边上的动点，且，与交于点，连接．则的最小值为 ．

3．（2023·浙江·一模）如图，在的网格中，线段的端点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请用无刻度的直尺画出符合要求的图形，并保留画图痕迹（不要求写画法）．

(1)在图1中画出一个以为边的，使顶点在格点上．
(2)在图2中的线段上找出一点，使．
4．（2021上·浙江湖州·九年级统考期末）如图，已知由边长为1的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，为格点三角形，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）画出绕点顺时针旋转后得到的；
（2）在边上找一点，连结，使得的面积与的面积之比是2:1．
（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
易错必刷题二十、两个三角形相似的判定
1、（2023上·河北邢台·九年级邢台市第七中学校联考阶段练习）在和中，已知，，如果从下列条件中增添一个条件，与仍不一定相似，那么这个条件是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．

3．（2023上·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接．
(1)求证：平分．
(2)求证：．
4．（2023上·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考阶段练习）如图，和都是的高，相交于F点，连接．

(1)求证：；
(2)若点D是的中点，，则的长为__________．
易错必刷题二十一、相似三角形的性质及其应用
1．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在中，，，，点是的重心，则等于( )
A．B．C．D．4
2．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，是由20个边长为1的正方形组成的的网格．的三个顶点都在正方形的顶点上，若的三个顶点也都是图中正方形的顶点，且，记，则k的所有可能值为 ．
3．（2023上·浙江温州·九年级校考期中）如图，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，请在方格纸上按要求画出格点三角形：
(1)在图①中画，使得，且相似比为．
(2)以点为旋转中心，将顺时针旋转，使得点落到点处，点落到点处，在图②中画出．
4．（2023上·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边的中点重合．将绕点E旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点P，射线与线段相交于点G，与射线相交于点Q．
(1)求证：；
(2)当，，求的长．
易错必刷题二十二、相似多边形
1．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图，正方形，点在对角线上，，分别交、于点、，若随机向正方形内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（ ）

A．B．C．D．
2．（2022上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，已知矩形中， ，在上取一点 E ，沿将向上折叠，使得 B 点落在上的 F 点，若矩形与矩形相似，则矩形与矩形的周长比为
3．（2022上·浙江杭州·九年级统考期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
(2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
4．（2022上·浙江·九年级专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶
(1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？
(2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．
易错必刷题二十三、图形的位似
1、（2023上·全国·九年级专题练习）如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心．若，四边形的面积是100，则四边形的面积是（ ）

A．4B．16C．36D．
2．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．

3．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
(1)以原点O为位似中心，画出所有满足条件的，使和位似，且；
(2)在（1）中，点O与的中点的距离是______．
、
4．（2022上·浙江金华·九年级期中）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是个单位长度）．
(1)画出绕点C顺时针旋转得到的，并求点B经过的路径长为 ；
(2)以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是 ；
(3)求的面积．
销售单价x／元
…
25
26
27
…
每天销售数量y／件
…
150
140
130
…
射击总次数n
10
20
50
100
200
500
1000
击中靶心的次数m
8
17
40
79
158
390
780
击中靶心的频率
摸球次数
10
20
40
60
100
150
200
红球出现次数
5
9
18
26
41
61
81
红球出现的频率
0.5
0.45
0.45
0.433
0.41
0.407
0.405
特级柑橘的售价(元/千克)
14
15
16
17
18
特级柑橘的日销售量(千克)
1000
950
900
850
800
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，查阅资料知道桥拱半径为，测得水面宽

素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式

素材2
问题解决
任务1
确定拱顶离水面的距离（C，D分别是弧和弦的中点）
求的长
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
我们可以发现，当两条直线与一组平行践相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所傅的对应线段成比例，（简称“平行钱分线段成比例“