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专题09 最值问题-2023-2024学年九年级数学上册期末选填解答压轴题必刷专题训练（华师大版）
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这是一份专题09 最值问题-2023-2024学年九年级数学上册期末选填解答压轴题必刷专题训练（华师大版），文件包含专题09最值问题原卷版docx、专题09最值问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
A．6B．C．3D．0
【答案】A
【详解】解：∵实数满足，
∴、是方程的两个根，
∴，
∴
∵，且，
∴的最小值是，
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【详解】解：将绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 在线段上；如图：
两点是直线与坐标轴的交点
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴ ，
，
所在的直线为：
的最小值为点到的距离：
故选：B．
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4a，E在BC上，BE＝2a，，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（ ）
A．6aB．5aC．4aD．2a
【答案】D
【详解】解：如图，连接，
∵四边形为菱形，，，
∴关于对称，，，
∴，
则，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为的长，
又，，
∴为等边三角形，
，
∴，
∴，
即的最小值为，
故选：D．
4．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
∴，当三点共线时最小即，当时最短，即为所求，
∵， 是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵平分，
∴
∵，
设，则
在中，
∵
∴
解得
∴
∵
∴
故选A．
5．如图，已知中，，，平分交于，是边上的点，且：：，：：，连结交于，连结，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
，，
，：：，
，，
，
，
，
，
，
，即，
平分交于，
，，
，
，
，
当时，最大，即的面积最大，
的最大值为： ，
故选：D．
6．如图，等边边长为6，点是中线上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．当在点运动过程中，取得最小值时，的面积等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：取线段的中点，连接，如图所示．
,
为等边三角形，，且直线为的对称轴，
，,，
∴，
由旋转可知：，，
∴，
．
又∵，
≌，
．
当时，最小，
∵,，
∴，
∴，
点为的中点，
∴为的中位线，
∴点为的中点，．
∴，
点为的中点，
∴，
∵≌，
∴．
故选：D．
7．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，AE⊥CD于点E，F是OA的中点，P是AB边上的一个动点，则PE﹣PF的最大值是______．
【答案】
【详解】解：连接EF，作EH⊥AC于H，当P、E、F在同一直线上时，PE﹣PF取最大值，最大值为EF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，
∴AD＝AB＝CD＝BC＝8，
∵∠ABC＝60°，
∴AC＝AD＝CD＝8，OA＝4，
∵F是OA的中点，
∴AF＝2，CF＝6，
∵AE⊥CD，
∴ED＝EC＝4，
∴CH＝＝2，HE＝2，HF＝CF﹣CH＝6﹣2＝4，
∴EF＝＝＝2，
即PE﹣PF的最大值是2，
故答案为：2．
8．如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是______．
【答案】
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，点A落在点M处，得到△CDM，
∴，，，
是等腰直角三角形，
，
当最大时，值最大，
∵，
，
最大值为，
最大值为，
故答案为：．
9．如图，在矩形中，，垂足为，动点 分别在上，则的长为_____，的最小值为_____．
【答案】
【详解】解：设，则，
∵四边形为矩形，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得，
∴， ，
如图，设A点关于的对称点为，连接，
则，
∴当三点在一条线上，且时，最小，
∴由三角形的面积公式知，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
10．如图，在中，，，，点P在的内部（不包括边上），且的面积等于的面积的一半，设点D为的重心，点P、D两点之间的距离为d，那么d的最小值为___________．
【答案】1
【详解】解：过作于点，设、的中点分别为、，连接、与交于点，则与的交点便是的重心点，如下图，
，
，
点为的重心，
，
、分别是、的中点，
，
，
点在的内部（不包括边上），且的面积等于的面积的一半，
点在线段上（不与、重合），
当与重合时，、之间的距离为最小，其值为，
故答案为：
11．如图，点M为正方形边上一动点，，将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，若E、F分别为中点，当取到最小值时， _______．
【答案】2
【详解】解：如图：过点P作，使，连接，
将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，
，
，
在和中，
，
,
，
E、F分别为PN、PC中点，
，
当取最小值时，有最小值，
即取最小值时，有最小值，
当时，取最小值，
此时，，，，
四边形是矩形，
，
当EF取到最小值时，，
故答案为：2．
12．如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是___________
【答案】
【详解】解：延长交于点，
∵G是的重心，
∴，是的中点，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴（负值舍去），
∴，
当时，的面积最大，最大值为，
故答案为：．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为边CD的中点，点P在线段AB上运动，F是CP的中点，则△CEF的周长的最小值是_____．
【答案】2．
【详解】解：作D点关于AB的对称点G，连接CG交AB于点P，连接DP，
∵E是CD的中点，F是CP的中点，
∴EF是△CDP的中位线，CE＝，CF＝，
∴EFDP，
∴EF+FC＝DP+＝，
由对称性可知，DP＝PG，
∴DP+PC＝PG+PC≥CG，
当C、P、G三点共线时，DP+CP的值最小，也是EF+FC的值最小，
∵AD＝3，
∴DG＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，∠ADC＝90°，
∴CG，
∴DP+CP的最小值为2，则EF+FC的最小值为，
∵△CEF的周长＝EF+FC＋CE＝EF+FC＋2，
∴△CEF的周长的最小值是2，
故答案为：2．
14．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是________．
【答案】
【详解】解：设正方形的中心为，由AE＝CF可知经过点．
连接，取中点，连接，，则，为定长，过点作于．
∴，MH∥AD，，
∴
∴，，
由勾股定理可得，，
，
当，，三点共线时，最小值为，
故答案为：．
15．温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值_____________．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为________．
【答案】 112 3
【详解】解：温故知新：
∵，
∴，
∴，即，
∵整数k只有一个，
∴，
解得：，
当时，或均符合，与整数k只有一个矛盾，舍去；
当时，符合，与整数k只有一个相符；
此时n的最大值为112；
故答案为：112；
阅读理解：
，
∴，
故答案为：3．
16．如图，在中，，，作直线，点E为直线上的一个动点，连接，在右侧作等腰直角，使得，，连接，则的周长最小值为___________；
【答案】
【详解】解：连接，作点关于的对称点连接交于点，连接
∴，
当点与点重合时，，
即最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
又，
，
∴，
∴，
∴，
∴当的周长最小时，的周长最小，
最小值为的周长倍，
∵的最小值为，
∴的周长最小值为，
∴的周长最小值为，
故答案为：．
17．如图，正方形中，，是中点，上有一动点，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为______．
【答案】5
【详解】如图所示：在上取，连接、DG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=DC=4．
∴．
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=2．
由翻折的性质可知．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴的最小值为5．
故答案为：5．
18．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△ABE面积的最大值是______．
【答案】
【详解】解：连接DE，
∵，，
∴，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴∠CDE=∠CBA，，
∴，
∴△DEF∽△ABF，
∴，
∴，，
∴，，
当最大时，最大，最大，
过点D作DG⊥AB于G，
∵，
∴当DG最大时，最大，
∵，
∴当AB⊥BC时，DG最大=BD=，此时，
∴
故答案为：．
19．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为．
(1)当时，的最长边的长度是______（请直接写出答案）；
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）；
(3)若x为整数，求的最大值．
【答案】(1)3；(2)；(3)的最大值为7
【详解】（1）
解：当，，
∵，
∴的最长边的长度是3；
故答案为：3．
（2）
解：由二次根式有意义的条件得
解得：，
所以＝5－x，4－()2＝x．
所以
＝
＝；
（3）
解：由（2）可得，且．
∴x越越大，
∴当x=4时，三边为，1，4，
∵+1＜4，
∴不合题意舍去．
当x=3时，三边为2，2，3，符合三角形三条边的关系，
∴．
即的最大值为7．
20．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树高是6米，另外一棵点高4米；与树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟，忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．
(1)问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？
(2)求的最小值 ．
【答案】(1)4米远；(2)
【详解】（1）解：由题意得：米，米，米，
设为米，则为米，
在和中，
，，
又，
，
，
答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有4米远；
（2）构造图形如图所示，于，于，其中，，，点是上一点，
设，则，作点关于的对称点，过作，交的延长线于，则，，，，
，
，，
，
当、、三点依次在同一直线上时，的值最小，
此时，，
的最小值为，
故答案为：
21．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，∵，∴当即时，的最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
(1)当时，的最小值为___________；当时，的最大值为___________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为3，的面积为6，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)4，；(2)；(3)
【详解】（1）解：∵，
∴当即时，的最小值为4；
当时，，
∵，
∴，
∴当即时，的最大值为；
故答案为：4；
（2）
，
当，即时，的最小值是．
（3）设的面积为，
∵，
即，
∴．
四边形的面积，
当时，
即时，四边形面积最小为．
22．阅读理解
对于任意正实数，，，，，只有当时，等号成立．
结论：在均为正实数中，若为定值，则只有当时，有最小值．
根据上述内容，回答下列问题：
(1)若，只有当______时，有最小值______．
(2)探索应用
如图，已知，，为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．
(3)实践应用
建筑一个容积为，深为的长方体蓄水池，池壁每平方米造价为元，池底每平方米造价为元，如何设计池底的长、宽，使总造价最低？
【答案】(1)1，2；(2)四边形面积的最小值为12，四边形是菱形
(3)池底长和宽均为为10m时，使总造价最低
【详解】（1）
解：根据题意得：，
即，
当时，有最小值2，
即，
解得：m=1或-1（舍去），
即当1时，有最小值2．
故答案为：1，2；
（2）
解： 设，则，，
∵，，
∴，，
∴，
∵x>0，
∴，即，
∴有最小值4，
此时有最小值12．
∵只有当时，即x=2时，等号成立．
∴四边形ABCD面积的最小值为12．
此时，P（2，3），C（2，0），D（0，3），
∴OA=OC=2，OB=OD=3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
（3）
解：设池底的一边为xm，另一边为
根据题意得：
∵，即，
当时，即x=10时，
此时有最小值20，y有最小值37600元．
∴池底长和宽均为为10m时，使总造价最低．
23．由得，；如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子x+的最小值为___；当，则当___时，式子取到最大值；
(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和18，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)8；-3；(2)长为8米，宽为4米；最短篱笆为16米；(3)50
【详解】（1）
∵，
∴，
∴式子的最小值为为8，
故答案为：8；
∵，
∴＞，
∴，
当且仅当，时，等号成立，
解得不符合题意，舍去，取，
∴，
∴，
∴当时，式子取到最大值，
故答案为：-3；
（2）
设篱笆的长为，则宽为，
∴篱笆的周长为，
∵，
∴，
当且仅当，时，等号成立，
解得或（舍去），
∴=4，
即长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；
（3）
过B点作BE⊥AC，交AC于E点，过D点作DF⊥AC，交AC于F点，如图，
则有点B到AC的距离为BE，点D到OC的距离DF，
设BE=，DF=，
∵、的面积分别是8和18，
∴OA=，OC=，
∴AC=OA+OC=+，
∴
(+)
=26++，
∵，
∴+，
∴26++，
∴四边形面积的最小值50．
24．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
∵无论x取何实数，总有．
∴，即的最小值是．
即无论x取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
(1)已知，求证y是正数；
(2)知识迁移：如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒时S最大，请求出t和S的值，
【答案】(1)见解析(2)t=，S最大值=
【详解】（1）证明：（1）
．
∵．
∴．
∴．
∴y是正数．
（2）解：∵，，．
∴
．
∵．
∴当时，S有最大值，最大值为．
25．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题：
(1)若，是方程的两根，则_____，______；若2，3是方程的两根，则______，______；
(2)已知，满足，，求的值；
(3)已知，，满足，，则正整数的最小值为______．
【答案】(1)，，，6；(2)或2；(3)4
【详解】（1），；
，；
（2）由题意，、是方程的解，
①若，则，，
∴，
∴，
②若，则；
（3）∵，
∴，
把、看作方程的两个根，
∵，
∴，且是正整数，
∴的最小值是4
26．阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下．∵，由，得；∴代数式的最小值是4．
(1)①仿照上述方法求代数式的最小值为 ．
②代数式的最大值为 ．
(2)延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边面积为．当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
【答案】(1)①；②11；(2)当分别为15m，30m时，羊圈的面积最大，最大为．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∴代数式的最小值为，
故答案为：；
②∵，，
∴
∴，
∴代数式的最大值为11，
故答案为：11；
（2）解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴当时，S最大，最大值为450，
∴当分别为15m，30m时，羊圈的面积最大，最大为．
27．（1）如图1，MN⊥PQ于N，△ABC是等腰直角三角形，，等腰直角△ABC的顶点C、B分别在射线MN，射线NQ上滑动（顶点C、B与点N不重合）在滑动过程中，点A到直线MN的距离AH CN（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）如图2，在（1）的条件下，等腰直角△ECF中，，且△ECF的顶点C、F也分别在射线NM、射线NP上滑动（顶点C、F与点N不重合），连接AE交MN于点D，试探究AD与ED的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图2，，，在△ECF和△ABC保持原来滑动状态的过程中，△ACE的面积是否有最大值？若有，请求出△ACE的最大面积并求此时BF的长度；若△ACE的面积没有最大值，请说明理由．
【答案】（1）＝；（2）AD＝ED，证明见解析；（3）△ACE的最大面积为6，．
【详解】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，，
∴AC=BC，∠ACH+∠BCN=90°，
∵MN⊥PQ于N，
∴∠MNQ=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACH=∠CBN，
在△ACH和△CBN中，，
∴△ACH≌△CBN（AAS），
∴AH＝CN，
故答案为：＝；
（2）AD＝ED，
证明：过点A作AH⊥MN于点H，过点E作EI⊥MN于点I，
同（1）可证△ACH≌△CBN，△ECI≌△CFN，
∴AH＝CN，EI＝CN，
∴AH＝EI，
又∵∠EDI＝∠ADH，∠EID＝∠AHD＝90°，
∴△EID≌△AHD（AAS），
∴AD＝ED；
（3）∵，，
∴由勾股定理可得BC＝，CF＝，
如图，∵△ACH≌△CBN，△ECI≌△CFN，
∴，，
∵△EID≌△AHD，
∴，
∴，
过点F作FT⊥BC交BC延长线于T，则，
∵FC≥FT，
∴当FC＝FT＝，即FC与BC垂直时，最大，
此时，
∴△ACE的最大面积为6，此时．
28．旋转是图形变换的一种，它能解决很多的数学问题．
(1)如图1：点P是等边△ABC内的一点，把△PBC绕点B旋转到的位置，请确定△PBP′的形状，并证明你的结论．
(2)如图2：在（1）的条件下，连接PA，若PA＝，PB＝3，PC＝2，求∠BPC的度数．
(3)类比学习：如图3，点P是等腰三角形ABC内的一动点，∠ACB＝90°，若AC＝，设a＝PA+PB+PC，当a取最小值时，求此时a2的值．
【答案】(1)等边三角形，证明见解析；(2)150°；(3)16+8
【详解】（1）
解：是等边三角形，理由如下：
如图，连接，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵把△PBC绕点B旋转到的位置，
∴
∴是等边三角形；
（2）
∵把△PBC绕点B旋转到的位置，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（3）
如图3，将△ACP绕点C逆时针旋转60°，得到，连接，过点作⊥BC，交BC的延长线于点D，
∵将△ACP绕点C逆时针旋转60°，得到，
∴是等边三角形，
∴，
∴PA+PB+PC＝，
∴当点，点，点P，点B四点共线时，a＝PA+PB+PC有最小值为的长度，
∵∠ACD＝90°，＝60°，
∴＝30°，
∵⊥BC，
∴，
∴DB＝CD+BC＝，
∴，
∴a2的值为．
A．6B．C．3D．0
【答案】A
【详解】解：∵实数满足，
∴、是方程的两个根，
∴，
∴
∵，且，
∴的最小值是，
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【详解】解：将绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 在线段上；如图：
两点是直线与坐标轴的交点
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴ ，
，
所在的直线为：
的最小值为点到的距离：
故选：B．
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4a，E在BC上，BE＝2a，，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（ ）
A．6aB．5aC．4aD．2a
【答案】D
【详解】解：如图，连接，
∵四边形为菱形，，，
∴关于对称，，，
∴，
则，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为的长，
又，，
∴为等边三角形，
，
∴，
∴，
即的最小值为，
故选：D．
4．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
∴，当三点共线时最小即，当时最短，即为所求，
∵， 是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵平分，
∴
∵，
设，则
在中，
∵
∴
解得
∴
∵
∴
故选A．
5．如图，已知中，，，平分交于，是边上的点，且：：，：：，连结交于，连结，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
，，
，：：，
，，
，
，
，
，
，
，即，
平分交于，
，，
，
，
，
当时，最大，即的面积最大，
的最大值为： ，
故选：D．
6．如图，等边边长为6，点是中线上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．当在点运动过程中，取得最小值时，的面积等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：取线段的中点，连接，如图所示．
,
为等边三角形，，且直线为的对称轴，
，,，
∴，
由旋转可知：，，
∴，
．
又∵，
≌，
．
当时，最小，
∵,，
∴，
∴，
点为的中点，
∴为的中位线，
∴点为的中点，．
∴，
点为的中点，
∴，
∵≌，
∴．
故选：D．
7．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，AE⊥CD于点E，F是OA的中点，P是AB边上的一个动点，则PE﹣PF的最大值是______．
【答案】
【详解】解：连接EF，作EH⊥AC于H，当P、E、F在同一直线上时，PE﹣PF取最大值，最大值为EF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，
∴AD＝AB＝CD＝BC＝8，
∵∠ABC＝60°，
∴AC＝AD＝CD＝8，OA＝4，
∵F是OA的中点，
∴AF＝2，CF＝6，
∵AE⊥CD，
∴ED＝EC＝4，
∴CH＝＝2，HE＝2，HF＝CF﹣CH＝6﹣2＝4，
∴EF＝＝＝2，
即PE﹣PF的最大值是2，
故答案为：2．
8．如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是______．
【答案】
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，点A落在点M处，得到△CDM，
∴，，，
是等腰直角三角形，
，
当最大时，值最大，
∵，
，
最大值为，
最大值为，
故答案为：．
9．如图，在矩形中，，垂足为，动点 分别在上，则的长为_____，的最小值为_____．
【答案】
【详解】解：设，则，
∵四边形为矩形，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得，
∴， ，
如图，设A点关于的对称点为，连接，
则，
∴当三点在一条线上，且时，最小，
∴由三角形的面积公式知，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
10．如图，在中，，，，点P在的内部（不包括边上），且的面积等于的面积的一半，设点D为的重心，点P、D两点之间的距离为d，那么d的最小值为___________．
【答案】1
【详解】解：过作于点，设、的中点分别为、，连接、与交于点，则与的交点便是的重心点，如下图，
，
，
点为的重心，
，
、分别是、的中点，
，
，
点在的内部（不包括边上），且的面积等于的面积的一半，
点在线段上（不与、重合），
当与重合时，、之间的距离为最小，其值为，
故答案为：
11．如图，点M为正方形边上一动点，，将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，若E、F分别为中点，当取到最小值时， _______．
【答案】2
【详解】解：如图：过点P作，使，连接，
将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，
，
，
在和中，
，
,
，
E、F分别为PN、PC中点，
，
当取最小值时，有最小值，
即取最小值时，有最小值，
当时，取最小值，
此时，，，，
四边形是矩形，
，
当EF取到最小值时，，
故答案为：2．
12．如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是___________
【答案】
【详解】解：延长交于点，
∵G是的重心，
∴，是的中点，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴（负值舍去），
∴，
当时，的面积最大，最大值为，
故答案为：．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为边CD的中点，点P在线段AB上运动，F是CP的中点，则△CEF的周长的最小值是_____．
【答案】2．
【详解】解：作D点关于AB的对称点G，连接CG交AB于点P，连接DP，
∵E是CD的中点，F是CP的中点，
∴EF是△CDP的中位线，CE＝，CF＝，
∴EFDP，
∴EF+FC＝DP+＝，
由对称性可知，DP＝PG，
∴DP+PC＝PG+PC≥CG，
当C、P、G三点共线时，DP+CP的值最小，也是EF+FC的值最小，
∵AD＝3，
∴DG＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，∠ADC＝90°，
∴CG，
∴DP+CP的最小值为2，则EF+FC的最小值为，
∵△CEF的周长＝EF+FC＋CE＝EF+FC＋2，
∴△CEF的周长的最小值是2，
故答案为：2．
14．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是________．
【答案】
【详解】解：设正方形的中心为，由AE＝CF可知经过点．
连接，取中点，连接，，则，为定长，过点作于．
∴，MH∥AD，，
∴
∴，，
由勾股定理可得，，
，
当，，三点共线时，最小值为，
故答案为：．
15．温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值_____________．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为________．
【答案】 112 3
【详解】解：温故知新：
∵，
∴，
∴，即，
∵整数k只有一个，
∴，
解得：，
当时，或均符合，与整数k只有一个矛盾，舍去；
当时，符合，与整数k只有一个相符；
此时n的最大值为112；
故答案为：112；
阅读理解：
，
∴，
故答案为：3．
16．如图，在中，，，作直线，点E为直线上的一个动点，连接，在右侧作等腰直角，使得，，连接，则的周长最小值为___________；
【答案】
【详解】解：连接，作点关于的对称点连接交于点，连接
∴，
当点与点重合时，，
即最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
又，
，
∴，
∴，
∴，
∴当的周长最小时，的周长最小，
最小值为的周长倍，
∵的最小值为，
∴的周长最小值为，
∴的周长最小值为，
故答案为：．
17．如图，正方形中，，是中点，上有一动点，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为______．
【答案】5
【详解】如图所示：在上取，连接、DG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=DC=4．
∴．
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=2．
由翻折的性质可知．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴的最小值为5．
故答案为：5．
18．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△ABE面积的最大值是______．
【答案】
【详解】解：连接DE，
∵，，
∴，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴∠CDE=∠CBA，，
∴，
∴△DEF∽△ABF，
∴，
∴，，
∴，，
当最大时，最大，最大，
过点D作DG⊥AB于G，
∵，
∴当DG最大时，最大，
∵，
∴当AB⊥BC时，DG最大=BD=，此时，
∴
故答案为：．
19．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为．
(1)当时，的最长边的长度是______（请直接写出答案）；
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）；
(3)若x为整数，求的最大值．
【答案】(1)3；(2)；(3)的最大值为7
【详解】（1）
解：当，，
∵，
∴的最长边的长度是3；
故答案为：3．
（2）
解：由二次根式有意义的条件得
解得：，
所以＝5－x，4－()2＝x．
所以
＝
＝；
（3）
解：由（2）可得，且．
∴x越越大，
∴当x=4时，三边为，1，4，
∵+1＜4，
∴不合题意舍去．
当x=3时，三边为2，2，3，符合三角形三条边的关系，
∴．
即的最大值为7．
20．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树高是6米，另外一棵点高4米；与树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟，忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．
(1)问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？
(2)求的最小值 ．
【答案】(1)4米远；(2)
【详解】（1）解：由题意得：米，米，米，
设为米，则为米，
在和中，
，，
又，
，
，
答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有4米远；
（2）构造图形如图所示，于，于，其中，，，点是上一点，
设，则，作点关于的对称点，过作，交的延长线于，则，，，，
，
，，
，
当、、三点依次在同一直线上时，的值最小，
此时，，
的最小值为，
故答案为：
21．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，∵，∴当即时，的最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
(1)当时，的最小值为___________；当时，的最大值为___________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为3，的面积为6，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)4，；(2)；(3)
【详解】（1）解：∵，
∴当即时，的最小值为4；
当时，，
∵，
∴，
∴当即时，的最大值为；
故答案为：4；
（2）
，
当，即时，的最小值是．
（3）设的面积为，
∵，
即，
∴．
四边形的面积，
当时，
即时，四边形面积最小为．
22．阅读理解
对于任意正实数，，，，，只有当时，等号成立．
结论：在均为正实数中，若为定值，则只有当时，有最小值．
根据上述内容，回答下列问题：
(1)若，只有当______时，有最小值______．
(2)探索应用
如图，已知，，为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．
(3)实践应用
建筑一个容积为，深为的长方体蓄水池，池壁每平方米造价为元，池底每平方米造价为元，如何设计池底的长、宽，使总造价最低？
【答案】(1)1，2；(2)四边形面积的最小值为12，四边形是菱形
(3)池底长和宽均为为10m时，使总造价最低
【详解】（1）
解：根据题意得：，
即，
当时，有最小值2，
即，
解得：m=1或-1（舍去），
即当1时，有最小值2．
故答案为：1，2；
（2）
解： 设，则，，
∵，，
∴，，
∴，
∵x>0，
∴，即，
∴有最小值4，
此时有最小值12．
∵只有当时，即x=2时，等号成立．
∴四边形ABCD面积的最小值为12．
此时，P（2，3），C（2，0），D（0，3），
∴OA=OC=2，OB=OD=3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
（3）
解：设池底的一边为xm，另一边为
根据题意得：
∵，即，
当时，即x=10时，
此时有最小值20，y有最小值37600元．
∴池底长和宽均为为10m时，使总造价最低．
23．由得，；如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子x+的最小值为___；当，则当___时，式子取到最大值；
(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和18，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)8；-3；(2)长为8米，宽为4米；最短篱笆为16米；(3)50
【详解】（1）
∵，
∴，
∴式子的最小值为为8，
故答案为：8；
∵，
∴＞，
∴，
当且仅当，时，等号成立，
解得不符合题意，舍去，取，
∴，
∴，
∴当时，式子取到最大值，
故答案为：-3；
（2）
设篱笆的长为，则宽为，
∴篱笆的周长为，
∵，
∴，
当且仅当，时，等号成立，
解得或（舍去），
∴=4，
即长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；
（3）
过B点作BE⊥AC，交AC于E点，过D点作DF⊥AC，交AC于F点，如图，
则有点B到AC的距离为BE，点D到OC的距离DF，
设BE=，DF=，
∵、的面积分别是8和18，
∴OA=，OC=，
∴AC=OA+OC=+，
∴
(+)
=26++，
∵，
∴+，
∴26++，
∴四边形面积的最小值50．
24．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
∵无论x取何实数，总有．
∴，即的最小值是．
即无论x取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
(1)已知，求证y是正数；
(2)知识迁移：如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒时S最大，请求出t和S的值，
【答案】(1)见解析(2)t=，S最大值=
【详解】（1）证明：（1）
．
∵．
∴．
∴．
∴y是正数．
（2）解：∵，，．
∴
．
∵．
∴当时，S有最大值，最大值为．
25．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题：
(1)若，是方程的两根，则_____，______；若2，3是方程的两根，则______，______；
(2)已知，满足，，求的值；
(3)已知，，满足，，则正整数的最小值为______．
【答案】(1)，，，6；(2)或2；(3)4
【详解】（1），；
，；
（2）由题意，、是方程的解，
①若，则，，
∴，
∴，
②若，则；
（3）∵，
∴，
把、看作方程的两个根，
∵，
∴，且是正整数，
∴的最小值是4
26．阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下．∵，由，得；∴代数式的最小值是4．
(1)①仿照上述方法求代数式的最小值为 ．
②代数式的最大值为 ．
(2)延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边面积为．当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
【答案】(1)①；②11；(2)当分别为15m，30m时，羊圈的面积最大，最大为．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∴代数式的最小值为，
故答案为：；
②∵，，
∴
∴，
∴代数式的最大值为11，
故答案为：11；
（2）解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴当时，S最大，最大值为450，
∴当分别为15m，30m时，羊圈的面积最大，最大为．
27．（1）如图1，MN⊥PQ于N，△ABC是等腰直角三角形，，等腰直角△ABC的顶点C、B分别在射线MN，射线NQ上滑动（顶点C、B与点N不重合）在滑动过程中，点A到直线MN的距离AH CN（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）如图2，在（1）的条件下，等腰直角△ECF中，，且△ECF的顶点C、F也分别在射线NM、射线NP上滑动（顶点C、F与点N不重合），连接AE交MN于点D，试探究AD与ED的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图2，，，在△ECF和△ABC保持原来滑动状态的过程中，△ACE的面积是否有最大值？若有，请求出△ACE的最大面积并求此时BF的长度；若△ACE的面积没有最大值，请说明理由．
【答案】（1）＝；（2）AD＝ED，证明见解析；（3）△ACE的最大面积为6，．
【详解】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，，
∴AC=BC，∠ACH+∠BCN=90°，
∵MN⊥PQ于N，
∴∠MNQ=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACH=∠CBN，
在△ACH和△CBN中，，
∴△ACH≌△CBN（AAS），
∴AH＝CN，
故答案为：＝；
（2）AD＝ED，
证明：过点A作AH⊥MN于点H，过点E作EI⊥MN于点I，
同（1）可证△ACH≌△CBN，△ECI≌△CFN，
∴AH＝CN，EI＝CN，
∴AH＝EI，
又∵∠EDI＝∠ADH，∠EID＝∠AHD＝90°，
∴△EID≌△AHD（AAS），
∴AD＝ED；
（3）∵，，
∴由勾股定理可得BC＝，CF＝，
如图，∵△ACH≌△CBN，△ECI≌△CFN，
∴，，
∵△EID≌△AHD，
∴，
∴，
过点F作FT⊥BC交BC延长线于T，则，
∵FC≥FT，
∴当FC＝FT＝，即FC与BC垂直时，最大，
此时，
∴△ACE的最大面积为6，此时．
28．旋转是图形变换的一种，它能解决很多的数学问题．
(1)如图1：点P是等边△ABC内的一点，把△PBC绕点B旋转到的位置，请确定△PBP′的形状，并证明你的结论．
(2)如图2：在（1）的条件下，连接PA，若PA＝，PB＝3，PC＝2，求∠BPC的度数．
(3)类比学习：如图3，点P是等腰三角形ABC内的一动点，∠ACB＝90°，若AC＝，设a＝PA+PB+PC，当a取最小值时，求此时a2的值．
【答案】(1)等边三角形，证明见解析；(2)150°；(3)16+8
【详解】（1）
解：是等边三角形，理由如下：
如图，连接，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵把△PBC绕点B旋转到的位置，
∴
∴是等边三角形；
（2）
∵把△PBC绕点B旋转到的位置，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（3）
如图3，将△ACP绕点C逆时针旋转60°，得到，连接，过点作⊥BC，交BC的延长线于点D，
∵将△ACP绕点C逆时针旋转60°，得到，
∴是等边三角形，
∴，
∴PA+PB+PC＝，
∴当点，点，点P，点B四点共线时，a＝PA+PB+PC有最小值为的长度，
∵∠ACD＝90°，＝60°，
∴＝30°，
∵⊥BC，
∴，
∴DB＝CD+BC＝，
∴，
∴a2的值为．
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