四川省内江市第二中学2024届高三上学期12月月考数学（文）试题（Word版附解析）

这是一份四川省内江市第二中学2024届高三上学期12月月考数学（文）试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的定义及集合间的关系求解即可.
【详解】阴影部分表示在全集范围内属于集合不属于的集合，故图中阴影部分所表示的集合为.
故选：B.
2. 如果是实数，那么“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦函数性质，结合充分必要条件的判断即可求解.
【详解】由可得，
但不能得到，比如，但是，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
3. 已知，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数除法求得后，根据定义可得．
【详解】，所以虚部为．
故选：C．
4. 已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的模长可得，进而由夹角公式即可求解.
【详解】由得，
将代入可得，
所以，所以，
由于，所以，
故选：B
5. 己知，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式性质可判断选项A，B，C；取特殊值可判断选项D.
【详解】对于选项A：当时，若，由不等式性质可知，故选项A 错误；
对于选项B：由不等式性质可知若，则成立，故选项B正确；
对于选项C：当时，若，由不等式性质可知，故选项C错误；
对于选项D：当时，，故选项D错误.
故选：B
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知等式，从而求得.
【详解】因为，
即，两边平方可得，
解得.
故选：A
7. 已知等比数列满足，则（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解.
【详解】设的公比为，
因为，解得，
所以.
故选：B.
8. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为35、28，则输出的a=（ ）
A. 1B. 14C. 7D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的值，即可得到结论.
【详解】由，
则变为，
由，则变为，
由，则变为，
由，则变为，
由，则输出的.
故选：C
9. 已知定义在上的偶函数，满足是奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 1012
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇偶性求出函数的周期，利用周期可得答案.
【详解】因为是偶函数，所以，
因为是奇函数，
所以.
又因为，
所以，
即，
所以，
所以.
又当时，，
所以，
，
因为
所以.
故选：C.
10. 净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】首先由条件抽象出经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量的函数，再结合指对运算，解不等式.
【详解】设经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为，则，
令，解得，两边取常用对数得，即
即，因为，，
所以，解得，因为，所以的最小值为9．
故选：A
11. 若函数有最小值，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导得，分类讨论判断得单调性，进而根据最值分析求解.
【详解】由题意可得：
∵，则
当，则当时恒成立，即
∴在上单调递减，则在上无最值，即不成立
当，则当时恒成立，即
∴在上单调递增，则在上无最值，即不成立
当，令，则
∴在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立
故选：A.
12. 设，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造，，求导得到函数单调性，从而得到，故，再构造，，求导得到函数单调性，从而得到，得到，得到答案.
【详解】设，，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
又，故，即，
故，
令，，
则在恒成立，
故在上单调递增，
又，故，即，
故，
综上：.
故选：D
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
13. 计算______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分数指数幂和换底公式可得.
【详解】
.
故答案为：.
14. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用 求解
【详解】数列的前n项和，
可得；
时，，不满足，
则，
故答案为：.
15. 已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同切线，则______.
【答案】
【解析】
【分析】可先设交点为，利用利用两函数在该点处的函数值和切线斜率相同列方程，可求的值.
【详解】易知：必有.
设两曲线的交点为，，，由题意：，
两式相除得：，∵，∴.
代入得：
解得a=e2.
故答案为：
16. 在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】由是的重心，得到，再由三点共线，得到，结合题意，得出方程组求得，结合基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】如图所示，设边上的中点为，因为是的重心，可得，
根据向量的线性运算法则，可得，
又因为三点共线，可得，即，
可得，
因为，可得，
所以，整理得，即，其中，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第12-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：60分
17. 已知函数．
（1）求的最大值及相应的取值集合：
（2）设函数，若在区间上有且仅有1个极值点，求的取值范围．
【答案】（1），的取值集合为
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求解即得.
（2）求出函数解析式，确定相位的范围，再结合极值的意义列式求解即得.
【小问1详解】
依题意，，
当，即时，，
此时，的取值集合为．
【小问2详解】
由（1）知，，
当时，，由在区间上有且仅有1个极值点，
得，解得，
所以的取值范围是．
18. 记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
（1）求角B大小；
（2）若点D在边AC上，BD平分∠ABC，，，求线段BD长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理以及二倍角公式得出结果；
（2）由角平分线结合面积公式、余弦定理得出结果.
【小问1详解】
由已知，
根据正弦定理，得，
因为，所以，
故有，
即有，
因为，所以，则，
所以，，则．
【小问2详解】
依题意，，
即，也即为，
所以．
在△ABC中，根据余弦定理，
有，即，
解得，或（舍去），
所以．
19. 疫情期间，某校使用视频会议的方式上网课．
（1）调查知前7天能完成全部网课的班级数y如下表所示：
已知y与t具有线性相关关系，求y关于t的线性回归方程；（t的系数精确到0.01）
（2）假定某天老师甲和学生乙两人需要在本班视频会议中见面，且两人在上午9时至11时的时间段中随机进入本班的视频会议中，求这两人等待不超过0.5小时的概率．
参考公式：在线性回归方程中，，
参考数据：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由公式计算线性回归方程；
（2）数形结合，求面积型几何概型.
【小问1详解】
由题可知，，
，，，，
所以，
，所以关于的线性回归方程为．
【小问2详解】
记9时为0时，11时为2时，设老师甲进入的时间为x，学生乙进入的时间为y，
则，其对应的区域如图中正方形所示，
若这两人等待不超过0.5小时，则，其对应的区域如图中阴影部分所示．
记“这两人等待不超过0.5小时”为事件A，
则．
故这两人等待不超过0.5小时的概率为．
20. 已知数列满足.
（1）证明：数列是等比数列.
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义，结合的条件即可证明；
（2）利用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
证明：因为，
所以.
又，所以，
所以数列是等比数列，且首项为4，公比为2.
【小问2详解】
解：由（1）知，
即，则.
，
，
则
，
所以.
21. 已知函数.
（1）求证：函数在区间上为单调递增函数；
（2）若函数在上的最大值在区间内，求整数的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，对导函数因式分解，进而得到导函数大于等于0，得到函数单调递增；
（2）求导，结合隐零点得到在上单调递增，在上单调递减，求出的最大值，进而构造函数，得到，得到整数的值.
【小问1详解】
，
当时，，，，
∴单调递增；
【小问2详解】
，
令，则，所以在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，即，即，
故当时，，当时，，
又当时，（等号仅在时成立），所以当时，，
当时，（等号仅在时成立），
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
令，，则，，
所以在上单调递增，则，，
所以，所以.
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
（二）选考题：共10分.考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题记分.
22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线（为参数）．
（1）求的极坐标方程；
（2）已知点，曲线的极坐标方程为，与的交点为，与的交点为，，求的面积．
【答案】22.
23.
【解析】
【分析】（1）首先将的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；
（2）设点、的极坐标分别为、，即可求出、的极坐标，从而求出，求出点到直线的距离，即可求出面积.
【小问1详解】
曲线（为参数）消去参数可得，
又，代入上式得，整理得，
即的极坐标方程为.
【小问2详解】
设点、的极坐标分别为、，
由，解得，即的极坐标为，
由，解得，即的极坐标为，
所以，
又点到曲线的距离为，
所以.
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）记函数的最小值为m，正实数a，b满足，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合绝对值不等式的解法，分类讨论，即可求解；
（2）由（1）求得函数最小值，得到，
解法1：利用三角换元法，结合三角函数的性质，即可求解；
解法2：利用柯西不等式得到，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，可得，
当时，不等式，即为，此时不等式无解；
当时，不等式，即为，解得；
当时，不等式，即为，解得，
综上，不等式的解集为．
【小问2详解】
解：由（1）知，当时，函数为递减函数，可得；
当时，函数为递减函数，可得；
当时，函数为递增函数，可得，
故的最小值，所以，
解法1：令，，
则（其中）．
解法2：由柯西不等式得，即，第t天
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