四川省内江市威远中学2023-2024学年高三上学期第三次月考数学（理）试题（Word版附解析）

这是一份四川省内江市威远中学2023-2024学年高三上学期第三次月考数学（理）试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了12， 下列命题不正确的是， 已知数列满足，则等内容，欢迎下载使用。
2023.12.8
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.
1. 设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，则集合B中元素的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，即集合B中的元素有0，1，-1．
【详解】解：由于集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，
∵-1∈A且1∈A，0的相反数是0，0∈A∴-1∈B，1∈B，0∈B．
∴B={-1，0，1}
故B中元素个数为3个；
故选C．
【点睛】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．
2. 复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.
【详解】复数在复平面内对应的点为，则，
所以.
故选：C．
3. 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为，则第n个图中阴影部分的面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】每一个图形的面积是前一个图形面积的，根据等比数列公式得到答案.
【详解】根据题意：每一个图形的面积是前一个图形面积的，即面积为首项为，公比为的等比数列，
故第n个图中阴影部分的面积为.
故选：D.
【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4. 实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】举反例即可判定ABD，由，得出，利用指数函数性质即可判定C.
【详解】取,满足,但,所以A错误；
取,满足,但，所以B错误；
若，则,,所以C正确；
取,则,所以D错误.
故选:C.
5. 下列命题不正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 若为假命题，则，至少有一个为假命题
C. 命题“若则有且只有一个零点”的逆命题为真命题
D. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
【答案】C
【解析】
【分析】A选项，解出不等式，根据条件间的逻辑关系即可判定；B选项，由“或且非”联结的命题的真假公式即可判定；C选项，由零点的定义求解，即可判定；D选项，由否命题的定义即可判定.
【详解】由可得，解得或，
则“”是“”的充分不必要条件，故选项A正确；
，中有一个假命题，则为假命题,
则若为假命题，则，至少有一个为假命题，故选项B正确；
原命题的逆命题为：若有且只有一个零点，则，
若有且只有一个零点，
当时，，，成立
当时，，解得
故或故选项C错误；
“若，则”的否命题为“若，则”，故选项D正确；
故选：C.
6. 在如图所示的程序框图中，程序运行的结果为3840，那么判断框中可以填入的关于的判断条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】模拟程序的运行过程，即可得出判断框中应填入的判断条件.
【详解】模拟程序的运行过程，如下：

程序进行第一次循环：，此时，继续运行.
程序进行第二次循环：，此时，继续运行.
程序进行第三次循环：，此时，继续运行.
程序进行第四次循环：，此时，结束运行.
所以时，程序退出循环，而时，程序运行不退出循环.
结合选项分析可得：选项C满足.
故选：C
7. 为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加，，三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（ ）
A. 24种B. 36种C. 48种D. 64种
【答案】B
【解析】
【分析】分3：1：1与2：2：1分配进行选派，结合排列组合知识简单计算即可.
【详解】若按照3：1：1进行分配，则有种不同的方案，
若按照2：2：1进行分配，则有种不同的方案，故共有36种派遣方案.
故选：B
8. 已知函数，且的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇偶性定义判断A、B的奇偶性，在，趋向于0时的符号，结合排除法即得答案.
【详解】由且定义域为，
所以为偶函数，排除A；
由且定义域为，
所以为偶函数，排除B；
对于，当，趋向于0时，趋向正无穷，趋向于1，故趋向于正无穷，排除C.
故选：D
9. 多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（ ）
A. 1B. 243C. 64D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项展开式表示项系数比项系数多35求出的值，然后令，即求出各项系数之和.
【详解】根据二项式的展开式，
当时，的系数为，
当时，的系数为，
因为多项式的项系数比项系数多35，
所以，解得，
所以其各项系数之和，即当时，系数和为0，
故选：D.
10. 已知数列满足，则（ ）
A. 2023B. 2024C. 2027D. 4046
【答案】C
【解析】
【分析】由可得，进而可得，则有数列的偶数项是以为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解.
【详解】由①，得，
②，
由②①得，
所以数列的偶数项是以为公差的等差数列，
则，
所以.
故选：C.
11. 已知，，且，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，两边取对数得到，再设，两边取对数，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为，
所以，
设，
则，
则，当且仅当，即时，等号成立，
故选：B
12. 已知函数，之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的个数为（ ）
①函数在处的切线与函数在处的切线平行；②方程有两个实数根；③若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则．④若，则的最小值为．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】对于①利用导数的几何意义即可判断，对于②先利用导数求单调性，再根据，当时即可判断，对于③利用分析即可判断，对于④结合已知条件可得，构造函数利用函数的单调性求解最值即可.
【详解】①由题意可知，，，，
因为，，
所以函数在处的切线为，函数在处的切线为，
两切线平行，①说法正确；
②令解得，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
令解得，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，

当，即时，显然有，
令，则，
令，则，
令解得，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即恒成立，所以在上单调递减，
又，所以当时，
所以当时，，即，
又因为，所以结合单调性可知方程仅有一个根，②说法错误；
③由②可知，
因为，所以或，
令，则，
令解得，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，则无解，所以舍去，
同理可得，所以（即）或（与矛盾舍去），
所以，
又由即可得，所以，③说法正确；
④的定义域为，
根据对数函数的图象和性质当时，，当时，，
所以时得，，
又，所以，，
令，则，由解得，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，，即的最小值为，④说法正确；
综上①③④正确，
故选：C
【点睛】本题考查导数的应用，综合性强，难度较大，涉及利用导数求解零点和判定函数单调区间问题，解决零点、交点、根的个数问题常根据函数单调性结合零点存在定理解决.
本题难点在于根据解析式找到和的关系，即，并由此进一步分析求解.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大共4小题 ，每小题5分，满分20分．
13. 设满足约束条件，则的最大值为__．
【答案】4
【解析】
【分析】根据可行域结合几何意义求最值.
【详解】作出可行域如下，
由可得，
当直线过点时，最小，则最大，
此时.
故答案为:4.
14. 定义在上的奇函数满足，且时，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性即可得到周期性，进而可求解.
【详解】由于为奇函数，，所以，故为周期为4的周期函数，
所以，
故答案为：
15. 已知点在同一平面，且三点不共线，且满足，其中，，，则的值为__________，则的面积为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用，得出，两边平方可得；利用可求夹角的余弦值，结合三角形面积公式可求的面积.
【详解】因为，
所以，所以，
故，解得.
又因为，所以，
所以；
故答案为：；.
16. 已知等差数列的公差为，集合，若，则________．
【答案】##1.25
【解析】
【分析】首先根据等差数列的公差为，得出，再就前三项的关系分类讨论后得出集合中元素，进而得出答案．
【详解】因为等差数列的公差为，所以，
所以，所以数列是周期为3的数列，
又，故中必有两者相等，
不妨设，
则（舍）或，
而或，
若，
故，，
连续三个中第三数为或为，
此时或.
若，
则，，
此时这两个数的中间数，此时或.
综上，.
故答案为：
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17. 直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
（1）计算变量，的相关系数（结果精确到0.01）．
（2）求变量，之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额．
（3）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：
请填写上表，并判断是否有90%把握认为参加直播带货与性别有关．
参考数据：，，，
，．
参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率，截距．
附：，其中．
【答案】（1）0.99
（2），1118万元
（3）表格见解析，有
【解析】
【分析】（1）直接代入求相关系数即可；
（2）根据线性回归方程求解回归方程即可；
（3）零假设之后计算，再比较大小判断零假设否成立即可.
【小问1详解】
【小问2详解】
因为，，，，
所以，，
所以变量，之间的线性回归方程为，
当时，（万元）．
所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元．
【小问3详解】
补全完整的列联表如下．
零假设：参加直播带货与性别无关，
根据以上数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验我们推断不成立，即参加直播带货与性别有关，该判断犯错误的概率不超过.
18. 设函数.
（1）求函数的最小正周期及图象的对称轴；
（2）在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程是直线，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换，化简得出，进而得出周期.解，，即可得出函数的对称轴；
（2）根据已知可推得，的外接圆半径，进而根据正弦定理可得出，化简得出.然后根据已知得出的范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得出答案.
【小问1详解】
因为
，
所以函数的最小正周期，
令，，解得，，
所以对称轴方程是直线，.
【小问2详解】
因为为锐角三角形，所以，.
因为，所以，
所以，所以.
因为能盖住的最小圆为的外接圆，设半径为，
所以，得.
由正弦定理可得，可得，
，.
所以，
.
因为为锐角三角形，所以，
即，解得，所以，
根据正弦函数的图象以及性质可知，
所以，
所以的取值范围是.
19. 已知函数
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）若直线是曲线的一条切线，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后，根据正负可确定在上的单调性，由单调性可确定最值点并求得最值；
（2）设切点为，结合切线斜率可构造方程组求得和的值.
【小问1详解】
当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，
又，，.
【小问2详解】
由题意知：，
设直线与相切于点，
则，消去得：，解得：，
则，解得：.
20. 在数列中，，，是公差为1的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设______，为数列的前项和，证明：.
从下面三个条件中任选一个补充在题中横线处，并解答问题.
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由等差数列的定义可得，由累乘法即可求解通项，
（2）根据裂项求和即可结合选项逐一求证.
【小问1详解】
由，可知.
由题设条件可知，所以，
当时，，
所以
当时，满足，故的通项公式为.
【小问2详解】
选择①，由（1）可知，
所以
.
选择②，由（1）可知，
所以
.
选择③，由（1）可知，
所以.
21. 已知函数，.
（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值；
（2）设，若有两个极值点为，，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）将有两个极值点为，，转化为方程在上有两个不同的根，根据根的判别式求出的取值范围，将不等式恒成立，转化为恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.
【小问1详解】
的定义域为，
由，得，则，
因为经过点的直线与函数的图像相切于点，
所以，
所以，解得，
【小问2详解】
，则，
因为有两个极值点为，，
所以在上有两个不同的根，
此时方程在上有两个不同的根，
则，且，解得，
若不等式恒成立，则恒成立，
因为
不妨设，
则，
因为，所以，
所以在上递减，所以，
所以，
即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程在上有两个不同的根，求出的范围，再将不等式恒成立，则恒成立，然后构造关于的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
注：22与23题为选做题，2选1，均为10分．
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求．
【答案】（1）；当时，直线的直角坐标方程为，当时，直线的参数方程为．
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方法，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；
（2）根据直线参数方程中参数的几何意义进行求解即可.
小问1详解】
，
，
曲线的直角坐标方程为；
当时，，
当时，可得直线的参数方程为；
【小问2详解】
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，
整理可得：．①
因为
所以曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，
则方程①有两解，设为，
则，
故，解得的倾斜角为．
23. 已知.
（1）求的最小值M；
（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）确定，，，相加得到答案.
（2）根据得到，解得答案.
【小问1详解】
，则，，
，
则，所以，
当且仅当时等号成立，的最小值为．
【小问2详解】
，
当且仅当且时取最大值．
的最大值为，
解得．
月份
1
2
3
4
5
带货金额/万元
350
440
580
700
880
参加过直播带货
未参加过直播带货
总计
女性
25
30
男性
10
总计
0.15
0.10
0.05
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
参加过直播带货
未参加过直播带货
总计
女性
25
5
30
男性
15
10
25
总计
40
15
55