期中测试卷01（测试范围：第1-3章）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）

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一、单选题
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1，2，3B．1，，2C．，， D．5，12，13
【答案】D
【分析】根据勾股数的定义进行判断作答即可．
【解析】解：A中，不是勾股数，故不符合要求；
B中不是正整数，不是勾股数，故不符要求，
C中，，不是正整数，不是勾股数，故不符要求，
D中，是勾股数，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数．解题的关键在于熟练掌握：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．
3．下列正确的选项是（ ）
A．命题“同旁内角互补”是真命题
B．“作线段AC”这句话是命题
C．“对顶角相等”是定义
D．说明命题“若x＞y，则a2x＞a2y”是假命题，只能举反例a＝0
【答案】D
【分析】根据利用平行线的性质对作出判断；根据命题的定义：对一件事情作出判断的语句叫命题对作出判断；根据定义、命题、公理、定理的定义对判断；根据不等式的基本性质对作出判断.
【解析】A. 只有当两直线平行时，才有同旁内角互补，所以“同旁内角互补”不是真命题，该选项错误；
B. 没有作出判断，不是命题，该选项错误；
C. “对顶角相等”是对顶角的性质定理，该选项错误；
D. 说明命题“若x＞y，则a2x＞a2y”是假命题，只能举反例，该选项正确．
故选：
【点睛】D
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强．
4．已知，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先将不等式两边都除以3得a＞﹣2b，再两边都加上1知a+1＞﹣2b+1，结合﹣2b+1＞﹣2b﹣1利用不等式的同向传递性可得答案．
【解析】解：∵3a＞﹣6b，
∴
故A正确；
∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
∴a+1＞﹣2b+1，
故B正确；
∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
得不到
故C不正确；
∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
∴
故D正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项
5．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）．
A．100°B．40°C．40°或100°D．40°或70°
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：
（1）当这个40°的角是顶角时；
（2）当这个40°的角是底角时，求出顶角即可．
【解析】当这个40°的角是顶角时，则这个等腰三角形的顶角为40°；
当这个40°的角是底角时，则顶角度数为：=100°；
综上所述，这个等腰三角形的顶角为40°或100°，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论，注意考虑问题要全面，体现了数学中的分类讨论思想．
6．如图，在ABC中，AD是它的角平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则＝（ ）
A．3：4B．4：3C．16：9D．9：16
【答案】B
【分析】过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， 根据角平分线的性质定理及三角形的面积即可求得．
【解析】过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，如图
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∴以AB和AC为底的△ABD和△ACD的高相等
∴
故选：B
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积，关键是作垂线便于使用角平分线的性质定理．
7．如图，在和中，，，，在同一条直线上，下面给出四个论断：①；②；③；④．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到的命题中，真命题有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】（1）①③④为条件，②为结论，可以证明，为真命题；（2）①②④为条件，③为结论，可以证明，为真命题；（3）①②③为条件，④为结论，无法证明，为假命题；（4）②③④为条件，①为结论，无法证明，为假命题．
【解析】解：（1）①③④为条件，②为结论；
证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
故本命题为真命题；
（2）①②④为条件，③为结论；
证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
故本命题为真命题；
（3）①②③为条件，④为结论；
无法证明，
故本命题为假命题；
（4）②③④为条件，①为结论；
无法证明，
故本命题为假命题．
综上所述：可得到4个命题，其中真命题有2个．
故选B．
【点睛】本题主要考查了命题真假的判断、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据证，推出，得出，代入求出即可．
【解析】解：，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有，，，，（直角三角形）．
9．如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据作图可知平分，，由三线合一，解，即可求得．
【解析】平分,,
,
点F为的中点
的周长为:
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出边是解题的关键．
10．如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长为（ ）

A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】设于G,交于H，由等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，根据垂直的定义得到，根据勾股定理得到，设,根据等边三角形的性质列方程求解即可．
【解析】解：设于G,交于H，
∵是等边三角形，
∴，
∵将沿折叠，点与点对应，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
设,
∴，
∴
∴，
∴．
故选：A．

【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题
11．“两个全等的三角形的周长相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假．
【分析】交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．
【解析】“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，
故答案为：假．
【点睛】本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．
12．直角三角形的两条边长分别为5，12，那么它斜边上的中线长是 ．
【答案】6.5或6
【分析】根据题意不能确定斜边，分情况讨论，当以12为斜边时，根据直角三角形的性质得出答案；当以12,5为直角边时，根据勾股定理求出斜边，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出答案．
【解析】当以12为斜边时，即，
在中，为斜边的中线，
所以；
当以5,12为直角边时，如图，根据题意可知，，
勾股定理可知．
因为是斜边上的中线，
所以．
故答案为：6.5或6．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法．
13．若不等式的解集为，则的值是 ．
【答案】
【分析】由不等式，得，不等式两边同时除以，根据所得结果等于，即可求得的值．
【解析】解：∵，
∴
∵不等式的解集是，
∴，
解得：．
故答案是：．
【点睛】本题考查了解不等式以及不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质，在不等式两边同加或同减一个数或式子，不等号的方向不变，在不等式两边同乘或同除一个正数，不等号的方向不变在不等式两边同乘或同除一个负数，不等号的方向改变．
14．如图，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东的方向，C处在B处的北偏东的方向，则从C处观测A，B两处的视角的度数为 ．

【答案】
【分析】根据方向角的定义，即可求得，，，的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．
【解析】根据题意，得，，，，
∴，
∵，
，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查方位角与三角形的内角和定理，理解方位角的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
15．如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，与交于点，则的长是 ．

【答案】
【分析】连接，利用等腰三角形的性质可知是的垂直平分线，利用勾股定理求出，再利用等积法求出，再利用勾股定理求即可．
【解析】解：连接，如图，

∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，运用等积法求出的长是解题的关键
16．图1是小馨在“天猫双12”活动中购买的一张多档位可调节靠椅．档位调节示意图如图2所示，已知两支脚米，米，为上固定连接点，靠背米．档位为Ⅰ档时，，档位为Ⅱ档时，．当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端向后靠的水平距离（即）为 米．

【答案】0.14
【分析】过点A作于点G，过点O分别作于点H，于点M，交于点N，证明,即可解决．
【解析】过点A作于点G，过点O分别作于点H，于点M，交于点N，如图所示，则，，
∵米，米，
∴米，
∴米，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴米，
∴米，
故答案为：0.14．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
三、解答题
17．解不等式（组）
(1)．
(2)利用数轴解不等式组并求出不等式组的整数解．
【答案】(1)
(2)，整数解为，，，．
【分析】（1）按步骤解不等式即可；
（2）先分别求出每个不等式的解集，利用数轴求出两个解集的公共部分，即不等式组的解集，然后在求出的范围内找出满足条件的所有整数解．
【解析】（1）解：去分母，得
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得．
（2）
解不等式①，得．
解不等式②，得．
将不等式①②的解集在数轴上表示如下

∴原不等式组的解集为．
∴该不等式组的整数解为，，，．
【点睛】本题考查不等式和不等式组的解法，以及不等式组的整数解问题．熟练掌握不等式的解题步骤是解题的关键．步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为．其中，去分母时容易漏乘；系数化为时如果左右两边同乘的是正数，不等号方向不变；如果左右两边同乘的是负数，不等号方向改变．找整数解时注意，一定结合数轴，做到不重不漏．
18．如图，在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请按下列要求画图．
（1）在图1中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形．
（2）在图2中涂黑两块小正方形，使涂黑的五个小正方形组成一个轴对称图形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据已知图形判断即可；
（2）根据已知条件作图即可；
【解析】解：（1）如图1中，图形即为所求．
（2）如图2中，图形即为所求．
【点睛】本题主要考查了根据轴对称图形的定义作图，准确分析判断是解题的关键．
19．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=25°，求∠ACF的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）65°．
【分析】（1）运用HL定理直接证明△ABE≌△CBF，即可解决问题．
（2）证明∠BAE=∠BCF=25°；求出∠ACB=45°，即可解决问题．
【解析】证明：（1）在Rt△ABE与Rt△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（HL）．
（2）∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠BCF=20°；
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=65°．
【点睛】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出图形中隐含的相等或全等关系是解题的关键．
20．如图，已知在中，，D，E是边上的两点，且．
（1）求证：．
（2）若，且，，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据已知条件证明即可；
（2）过点A作交于点F，证明是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出BC即可得到结果；
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点A作交于点F，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，DE=2-1=1，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的性质和勾股定理计算是解题的关键．
21．如图，是等边三角形，D是边上一点，以为边作E等边，交于点F，连接，
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）直接利用证明即可；
（2）如图，作于点G，利用全等三角形的性质得到，再由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，，进而得到，则由勾股定理可得．
【解析】（1）证明：∵与是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴．
（2）解：如图，作于点G，
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品10件和乙商品8件，共需要资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要资金380元．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？
(2)该超市计划购进这两种商品共50件，而可用于购买这两种商品的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一件甲商品可获利10元，销售一件乙商品可获利15元．该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元．则该超市有哪几种进货方案？
【答案】(1)甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元
(2)方案一：购进甲商品件，乙商品件；方案二：购进甲商品件，乙商品件；方案三：购进甲商品件，乙商品件
【分析】（1）设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元，根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据题意，建立一元一次不等式组，解不等式组，求得整数解即可求解．
【解析】（1）解：设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元，根据题意得，
解得：
答：甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元；
（2）解：设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据题意得，
解得：
∵为正整数，故
∴有三种进货方案，
方案一：购进甲商品件，乙商品件；
方案二：购进甲商品件，乙商品件；
方案三：购进甲商品件，乙商品件；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组或不等式组是解题的关键．
23．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形对角线所在直线上的一点，，，则点P为四边形的准等距点．

(1)作图：①如图2，在直线AC上标出正方形的一个准等距点P；
②如图3，在直线上作出四边形的一个准等距点Q；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)如图4，在四边形中，与相交于点O，，若点O是四边形的准等距点．下列判断正确的有 ．
①，；②；③平分；
(3)如图5，在四边形中，P是上的点，，延长交于点E，延长交于点F，且，，求证：点P是四边形的准等距点．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)①③
(3)见解析
【分析】（1）①根据正方形的性质，在正方形的对角线上找出除中心外的任意一点即可；
②找出线段的中点Q即可；
（2）推出是线段的垂直平分线，即可判断；
（3）先证明，推出，再证明，可推出，即可证明点P是四边形的准等距点．
【解析】（1）解：①如图，点P即为所作(不唯一)；

②如图，点Q即为所作，

（2）解：由题意得，，，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，；平分；
不能推出；
故答案为：①③；
（3）证明：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴点P是四边形的准等距点．
【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定和性质等知识点，解题关键在于理解新定义，灵活运用所学知识进行解题.
24．已知：如图1，线段，点从点出发沿射线方向运动，以为底作等腰三角形．

(1)中，若．
①如图2，当时，求证：；
②当时，在线段上是否存在点，使得与全等，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由：
(2)如图3，过点作，交的延长线于点，作点关于的对称点，当三点共线，且时，求的长．
【答案】(1)①见解析②的长为或8
(2)的长为
【分析】（1）①根据等腰三角形“三线合一”的性质证明即可；②分两种情况讨论：当时，可设，则，结合，求出，可得；当时，点与重合，结合等腰三角形的性质，即可获得答案；
（2）连接，过作于点，设，在中，由勾股定理得，因为点与关于对称，三点共线，易得，由勾股定理可得，结合，，可得，解得的值，即可获得答案．
【解析】（1）①证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
②如图4，当时，

可有，
∵，
可设，则，
又∵，
∴，解得 ，
∴；
如图2，当时，此时与重合，

∴，
又∵，
∴，即，
∵，
∴．
综上所述，的长为或8；
（2）如图3，连接，过作于点，

∵，，
∴，
∴，
设，在中，由勾股定理得，
∵点与关于对称，三点共线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
解得或（舍去），
∴，即的长为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质、轴对称的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．